1、15.2点到直线的距离第1课时点到直线的距离学习目标1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用导语在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？一、点到直线距离公式问题如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：AxByC0(A0，B0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？提示根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l，垂足为Q，由ll可知l的斜率为，l的方程为yy0(
2、xx0)，与l联立方程组，解得交点Q，PQ.知识梳理点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离为d.注意点：(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为AxByC0，则当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解例1已知两点A(3,2)，B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()A6或1 B或1C或 D6或答案D解析方法一依题意得，直线mxy30过线段AB的中点或与直线AB平行线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mxy30上m330，解得m6；由两直线平行知m，解得m.因此m的值为6或，故选D.方法
3、二由题意得.解得m6或m，故选D.反思感悟两点到直线距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法跟踪训练1(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使PM4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是()Ayx1 By2C4x3y0 D2xy10答案BC解析选项A中，点M到直线yx1的距离d34，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；选项B中，点M到直线y2的距离d|02|24，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以
4、该直线上不存在点P，使PM4，故D中的直线不是点M的“相关直线”故选BC.二、点到直线距离公式的简单应用例2求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，5)的距离相等的直线l的方程解方法一由题意知kAB4，线段AB的中点为C(3，1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y24(x1)，即4xy60.此直线符合题意过点P(1,2)与线段AB中点C(3，1)的直线方程为，即3x2y70.此直线也符合题意故所求直线l的方程为4xy60或3x2y70.方法二显然所求直线的斜率存在，设直线方程为ykxb，根据条件得化简得或所以或所以所求直线l的方程为y4x6或yx，即4xy60或3x2y7
5、0.反思感悟求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程AxByC0(A，B不全为0)中A0或B0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离跟踪训练2已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B2 C.1 D.1答案C解析由点到直线的距离公式得1，|a1|.a0，a1.三、点到直线距离公式的综合应用 例3(1)已知O为原点，点P在直线xy10上运动，那么OP的最小值为()A. B1 C. D2答案A解析OP的最小值为原点O到直线xy10的距离d.(2)当点P(3,2)到直线
6、mxy12m0的距离最大时，m的值是_答案1解析直线mxy12m0可化为y1m(x2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，结合图象可知当PQ与直线mxy12m0垂直时，点到直线距离最大，此时m1，解得m1.反思感悟解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的跟踪训练3(1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求OP最小时点P的坐标；(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP1，OP所在的直线方程
7、为yx.由解得点P的坐标为(2,2)(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，kOP2，所求直线方程为y2(x1)，即x2y50.1知识清单：(1) 点到直线的距离公式的推导过程(2) 点到直线的距离公式d.(3) 公式的应用2方法归纳：公式法、数形结合3常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在1原点到直线x2y50的距离为()A1 B. C2 D.答案D2(多选)已知点M(1,4)到直线l：mxy10的距离为3，则实数m等于()A0 B. C3 D2答案AB解析点M到直线l的距离d3，所以m0或.3已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy10上，则MP的最小值是()A.
8、B.C. D3答案B解析点M到直线2xy10的距离，即为MP的最小值，所以MP的最小值为.4已知直线l经过点(2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为_答案x20或5x12y260解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，符合原点到直线l的距离等于2.当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，由d2，得k，即直线l的方程为5x12y260.综上，直线l的方程为x20或5x12y260. 课时对点练1(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为()A3x4y210 B4x3y210Cx3 Dy3答案A
9、C解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x3满足条件直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y3k(x3)，即kxy33k0.由题意可得2，解得k，所以直线l的方程为3x4y210.综上，可得直线l的方程为x3或3x4y210.2已知直线l1：axy10与直线l2：xy50互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为()A1 B2 C. D2答案C解析由已知得，a，1，又l1l2，a11，解得a1.此时直线l1的方程为xy10，点(1,2)到直线l1的距离d.3若直线l平行于直线3xy20且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是()A3xy100 B3xy0Cx3y100 Dx3y0答案A解析设
10、与直线3xy20平行的直线方程为3xym0，由原点到直线l的距离为，得，则m10，所以直线l的方程是3xy100.4点P(2,3)到直线l：axy2a0的距离为d，则d的最大值为()A3 B4 C5 D7答案A解析直线方程可变形为ya(x2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线lPM时，d有最大值，结合两点间距离公式可得d的最大值为3.5(多选)已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值等于()A B C. D.答案AB解析由点到直线的距离公式可得，化简得|3a3|6a4|，解得a或.6(多选)与直线3x4y10垂直，且与点(1，1)距离为2的直线方程为
11、()A4x3y30 B4x3y170C4x3y30 D4x3y170答案AB解析设所求直线方程为4x3yC0.则2，即|C7|10，解得C3或C17.故所求直线方程为4x3y30或4x3y170.7倾斜角为60，且与原点的距离是5的直线方程为_答案xy100或xy100解析因为直线斜率为tan 60，所以可设直线方程为yxb，化为一般式得xyb0.由直线与原点的距离为5，得5，即|b|10.所以b10.所以直线方程为xy100或xy100.8经过两直线x3y100和3xy0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为_答案2解析设所求直线l的方程为x3y10(3xy)0，即(13)x(3)y100，
12、因为原点到直线的距离d1，所以3，即直线方程为x1或4x3y50，所以和原点相距为1的直线的条数为2.9已知ABC三个顶点的坐标A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC的面积S.解由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x2y30.点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高，则d.由两点间距离公式得BC2，所以SBCd24，即ABC的面积为4.10已知直线l经过点P(2,1)，且与直线xy0垂直(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程解(1)由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为y1x2，即xy30.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的
13、方程为xyc0，由点到直线的距离公式得，即|c3|2，解得c1或c5.所以所求直线m的方程为xy10或xy50.11(多选)已知点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A(1,2) B(3，4)C(2，1) D(4，3)答案AC解析设点P的坐标为(a,53a)，由题意得，解得a1或2，所以点P的坐标为(1,2)或(2，1)12当点P(2,3)到直线l：ax(a1)y30的距离d最大时，d与a的值依次为()A3，3 B5,2C5,1 D7,1答案C解析直线l恒过点A(3,3)，根据已知条件可知，当直线ax(a1)y30与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a1.
14、13已知点P(1t,13t)到直线l：y2x1的距离为，则点P的坐标为()A(0，2) B(2,4)C(0，2)或(2,4) D(1,1)答案C解析直线l：y2x1可化为2xy10，依题意得，整理得|t|1，所以t1或1.当t1时，点P的坐标为(2,4)；当t1时，点P的坐标为(0，2)14已知xy30，则的最小值为_答案解析设P(x，y)，A(2，1)，则点P在直线xy30上，且PA.PA的最小值为点A(2，1)到直线xy30的距离d.15已知直线l：y2ax(a2)过第一、三、四象限，其中aZ，则点A(1，3)到直线l的距离为_答案解析因为直线l：y2ax(a2)过第一、三、四象限，所以所
15、以0a2，又aZ，所以a1，所以直线l的方程为y2x1，即2xy10，所以点A(1，3)到直线l的距离为.16已知直线m：(a1)x(2a3)ya60，n：x2y30.(1)当a0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系解(1)联立解得即m与n的交点为(21，9)当直线l过原点时，直线l的方程为3x7y0；当直线l不过原点时，设l的方程为1，将(21，9)代入得b12，所以直线l的方程为xy120，故满足条件的直线l的方程为3x7y0或xy120.(2)设原点O到直线m的距离为d，则d，解得a或a，当a时，直线m的方程为x2y50，此时mn；当a时，直线m的方程为2xy50，此时mn.
