1、第2课时两条直线垂直学习目标1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 导语过山车是一项富有刺激性的娱乐项目实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？一、两条直线垂直关系的判定知识梳理对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜
2、率为零，则l1与l2的位置关系是l1l2图示注意点：(1)l1l2k1k21成立的条件是两条直线的斜率都存在(2)当直线l1l2时，有k1k21或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k21，则一定有l1l2.(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率例1(1)l1经过点A(3,2)，B(3，1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，若l1l2，求a的值解(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0
3、，所以l1l2.(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在当l1的斜率不存在时，3a2，即a5，此时k20，则l1l2，满足题意当l1的斜率k1存在时，a5，由斜率公式，得k1，k2.由l1l2，知k1k21，即1，解得a0.综上所述，a的值为0或5.反思感悟利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论提醒：若已知
4、点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况跟踪训练1分别判断下列两直线是否垂直(1)直线l1的斜率为10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)(2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(2,4)，Q(2,4)(3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x3y10平行解(1)直线l1的斜率为k110，直线l2的斜率为k2，k1k2101.所以直线l1与l2垂直(2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直(3)直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，k1k21，所以直线l1与
5、l2不垂直二、求与已知直线垂直的直线方程例2求经过点A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程解方法一设直线l的斜率为k，直线l与直线2xy100垂直，k(2)1，k，又直线l经过点A(2,1)，所求直线l的方程为y1(x2)，即x2y0.方法二设与直线2xy100垂直的直线方程为x2ym0.直线l经过点A(2,1)，221m0，m0.所求直线l的方程为x2y0.反思感悟求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后点斜式求直线方程跟踪训练2(1)与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()A
6、yx4 By2x4Cy2x4 Dyx4答案D解析直线y2x1的斜率k2，则与直线y2x1垂直的直线的斜率k，因为在y轴上的截距为4，所以直线方程为yx4.(2)已知ABC的三个顶点分别是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为_答案yx3解析设BC边上的高为AD，则BCAD，所以kADkBC1，因为kBC，所以kAD1，解得kAD，所以BC边上的高所在直线的方程为y0(x5)，即yx3.三、 直线平行与垂直的综合应用问题1已知ABC的三个顶点坐标A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断ABC的形状吗？提示如图，AB边所在的直线的斜率kAB，BC边
7、所在直线的斜率kBC2.由kABkBC1，得ABBC，即ABC90.ABC是以点B为直角顶点的直角三角形问题2若已知RtABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？提示若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m7或m3或m2.例3如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，R(2t,2)，其中t0.试判断四边形OPQR的形状解由斜率公式得kOPt，k
8、QRt，kOR，kPQ.所以kOPkQR，kORkPQ，从而OPQR，ORPQ.所以四边形OPQR为平行四边形又kOPkOR1，所以OPOR，故四边形OPQR为矩形延伸探究1将本例中的四个点，改为“A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状”解由题意得A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD，由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形2将本例改为“已知矩形
9、OPQR中按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(12t,2t)，试求顶点R的坐标”解因为四边形OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，则由中点坐标公式知解得所以R点的坐标是(2t,2)反思感悟(1)利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤(2)判定几何图形形状的注意点在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标证明两直线平行时，仅仅有k1k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况跟踪训练3已知点A(0,3)，B(1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形AB
10、CD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)解设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB3，kBC0，kABkBC01，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BCCD，ADCD，kBC0，直线CD的斜率不存在，从而有x3.又kADkBC，0，即y3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3,3)(2)若AD是直角梯形的直角腰，则ADAB，ADCD，kAD，kCD，解得D点坐标为.综上，D点坐标为(3,3)或.1知识清单：(1)两直线垂直的条件(2)求垂直直线方程(3)直线平行与垂直的综合应用2方法归纳：分类讨论、数形结合3常
11、见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况1若直线ax2y10与直线x2y20互相垂直，则实数a的值是()A1 B1 C4 D4答案D解析两直线的斜率分别为，依题意得1，解得a4，故选D.2(多选)已知直线l1的斜率为a，l1l2，则l2的斜率可以为()A. B Ca D不存在答案BD解析当a0时，由k1k21知，k2，当a0时，l2的斜率不存在3已知A(2,3)，B(1，1)，C(1，2)，点D在x轴上，则当点D坐标为_时，ABCD.答案(9,0)解析设点D(x,0)，因为kAB40，所以直线CD的斜率存在则由ABCD知，kABkCD1，所以41，解得x9.4已知ABC的
12、三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m_. 答案解析设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得ADBC，则有kADkBC1，所以有1，解得m.课时对点练1直线l1的倾斜角130，直线l1l2，则直线l2的斜率为()A B. C D.答案C解析如图，直线l1的倾斜角130，直线l1l2，则l2的倾斜角等于3090120，l2的斜率为tan 120tan 60.2已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2mx30(mR)的两个根，则l1与l2的位置关系是()A平行 B垂直C可能重合 D无法确定答案B解析由方程3x2mx30
13、，知m243(3)m2360恒成立故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在设两根为x1，x2，则k1k2x1x21，所以l1l2，故选B.3若直线l1的斜率k1，直线l2经过点A(3a，2)，B(0，a21)，且l1l2，则实数a的值为()A1 B3C0或1 D1或3答案D解析因为l1l2，所以k1k21，即1，解得a1或a3.4(多选)设平面内四点P(4,2)，Q(6，4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论正确的是()APQSR BPQPSCPSQS DPRQS答案ABD解析由斜率公式知，kPQ，kSR，kPS，kQS4，kPR，PQSR，PQPS，PRQS.而k
14、PSkQS，PS与QS不平行，故ABD正确5已知A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CDAB，CBAD，则D点的坐标为()A(1,0) B(0，1)C(1,0) D(0,1)答案D解析设D(x，y)，则kCD，kAD.kAB3，kCB2，又CDAB，CBAD，即D(0,1)6若直线mx4y20与直线2x5yn0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A12 B2 C0 D10答案A解析由2m200，得m10.由垂足(1，p)在直线mx4y20上，得p2，垂足坐标为(1，2)又垂足在直线2x5yn0上，代入得n12.7已知直线l1：ax(a2)y10，l2：xay20，
15、其中aR，若l1l2，则a_，若l1l2，则a_.答案0或31或2解析因为l1l2，所以a1(a2)a0，解得a0或a3；当l1l2时，由题意知a0，解得a1或a2.8若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3b,3a)，其中ab3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_答案1解析由过两点的直线的斜率公式可得kPQ1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为1.9当实数a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解由l1l2，得(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1.当a1或a1时，l1l2.10已知在ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3
16、,4)(1)求点D的坐标；(2)试判定ABCD是否为菱形？解(1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kABkCD，kADkBC，所以解得所以D(1,6)(2)因为kAC1，kBD1，所以kACkBD1，所以ACBD，所以ABCD为菱形11已知直线l1：mxy40和直线l2：(m2)xny10(m0，n0)互相垂直，则的取值范围为_答案解析因为l1l2，所以m(m2)1(n)0，得nm22m，因为m0，所以，则0，故的取值范围为.12已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_答案1或0解析
17、l1的斜率k1a.当a0时，l2的斜率k2.因为l1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2,0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.13已知ABC的顶点B(2,1)，C(6,3)，其垂心为H(3，2)，则其顶点A的坐标为_答案(19，62)解析设A(x，y)，因为ACBH，ABCH，且kBH，kCH，所以解得所以A(19，62)14已知点A(1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是_答案(1,0)或(2,0)解析以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC
18、BC.设C(x,0)，则kAC，kBC，所以1，解得x1或x2，所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0)15直线l的倾斜角为30，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m1)，B(m,2)，则m_.答案4解析如图，直线l1的倾斜角为303060，直线l1的斜率k1tan 60.由l1l2知，直线l2的斜率k2k1.直线AB的斜率存在，且kAB.，解得m4.16已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)l1l2，a(a1)b0.又直线l1过点(3，1)，3ab40.故a2，b2.(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.故a2，b2或a，b2.
