1、第2课时圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题导语我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？一、圆的一般方程的理解问题1如果方程x2y2DxEyF0能表示圆的
2、方程，有什么条件？提示将方程x2y2DxEyF0，配方可得22，当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示圆问题2当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示什么图形？提示当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示一个点.知识梳理1圆的一般方程的概念方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)叫作圆的一般方程(general equation of circle)2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为.3对方程x2y2DxEyF0的说明方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示
3、一个点D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项(2)二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0.例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径解(1)由表示圆的充要条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解得m0成立，则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解跟踪训练1(1)若方程2x22y22ax2ay0(a0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为_答案，解析方程2x22y22ax2ay0(a0)，可化为22，
4、故圆心坐标为，半径为.(2)点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的面积为_答案9解析圆x2y2kx2y40的圆心坐标是，由圆的性质，知直线xy10经过圆心，110，得k4，圆x2y24x2y40的半径为3，该圆的面积为9.二、求圆的一般方程例2已知ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标解设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0.将A，B，C三点坐标代入上式得解得ABC外接圆的方程为x2y26x2y150，即(x3)2(y1)225，ABC的外接圆圆心为(3,1)反思感悟应用待定系数法求圆的方
5、程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求ABC的外接圆的方程解设ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得解得即ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120.三、圆的一般方程的实际应用例3如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图圆拱跨度AB20 m，拱高OP4 m建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)解建
6、立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，由题意知，P(0,4)，B(10,0)，A(10,0)，设圆拱所在圆的方程为x2y2DxEyF0，因为点A，B，P在圆上，所以解得故圆拱所在圆的方程为x2y221y1000，将P2的横坐标x2代入圆的方程得y3.86(m)故支柱A2P2的高度约为3.86 m.反思感悟解应用题的步骤(1)建模(2)转化为数学问题求解(3)回归实际问题，给出结论跟踪训练3赵州桥的跨度是37.4 m，圆拱高约为7.2 m求这座圆拱桥的拱圆的方程(精确到0.01)解建立如图所示的坐标系，则A(18.7,0)，B(18.7,0)，P(0,7.2)，设圆的方
7、程为x2y2DxEyF0，则解得所以圆的方程为x2y241.37y349.690.1知识清单：(1)圆的一般方程的理解(2)求圆的一般方程(3)圆的一般方程的实际应用2方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法3常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件1方程2x22y24x8y100表示的图形是()A一个点 B一个圆C一条直线 D不存在答案A解析方程2x22y24x8y100，可化为x2y22x4y50，即(x1)2(y2)20，方程2x22y24x8y100表示点(1，2)2若方程x2y2xym0表示一个圆，则实数m的取值范围是()Am BmCm2 Dm2答案A解析由D2E24F0得(1)2
8、124m0，解得m，故选A.3若圆x2y22kx2y40关于直线2xy30对称，则实数k_.答案2解析由条件可知，直线经过圆的圆心(k，1)，2k(1)30，解得k2.4若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F_.答案4解析以(2，4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x2)2(y4)216.即x2y24x8y40，故F4.课时对点练1(多选)若a，方程x2y22ax2ay2a2a10表示圆，则a的值可以为()A2 B0 C1 D.答案ABD解析根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2(2a)24(2a2a1)0，解得a0答案ABD解析AB显然正确；C中方程可化为(x1)
9、2(y3)20，所以表示点(1,3)；D正确4若直线2xym0过圆x2y22x4y0的圆心，则m的值为()A2 B1 C2 D0答案D解析圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心坐标为(1，2)，直线2xym0过x2y22x4y0的圆心22m0，解得m0.5圆C：x2y24x2y0关于直线yx1对称的圆的方程是()A(x1)2(y2)25 B(x4)2(y1)25C(x2)2(y3)25 D(x2)2(y3)25答案C解析把圆C的方程化为标准方程为(x2)2(y1)25，圆心C(2，1)设圆心C关于直线yx1的对称点为C(x0，y0)，则解得故C(2,3)，圆C关于直线yx1对称的圆的方程
10、为(x2)2(y3)25.6若当方程x2y2kx2yk20所表示的圆取得最大面积时，则直线y(k1)x2的倾斜角等于()A. B. C. D.答案C解析x2y2kx2yk20化为标准方程为2(y1)21k2，所以当k0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为1，故倾斜角为.7方程x2y2axbyc0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则abc_.答案2解析根据题意，得方程x2y2axbyc0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则解得abc2.8已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的一般方程为_答案x2y24x50解析设圆C的圆心坐标为(
11、a,0)(a0)，由题意可得，解得a2(a2舍去)，所以圆C的半径为3，所以圆C的方程为x2y24x50.9已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490表示一个圆(1)求t的取值范围；(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程解(1)圆的方程化为x(t3)2y(14t2)216t7t2.由7t26t10，得t1.故t的取值范围是.(2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t3,4t21)，半径为.(3)r.所以r的最大值为，此时t，故圆的标准方程为22.10已知圆的方程为x2y22(m1)x4my5m22m80.(1)求此圆的圆心与半径(2)求证：无论m为
12、何实数，它们表示圆心在同一条直线上且为半径相等的圆(1)解x2y22(m1)x4my5m22m80可化为x(m1)2(y2m)29，所以圆心为(1m,2m)，半径r3.(2)证明由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组即2ab2.所以无论m为何值，方程表示的是圆心在直线2xy20上，且半径都等于3的圆11圆x2y2ax2y10关于直线xy10对称的圆的方程是x2y24x30，则a的值为()A0 B1 C2 D3答案C解析由于圆x2y2ax2y10的圆心为M，圆x2y24x30的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线xy10对称，故有11，解得a2.12若直线l：axby10始终平
13、分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为()A. B5 C2 D10答案B解析圆M的圆心为(2，1)，由题意知点M在直线l上，所以2ab10，所以b2a1，所以(a2)2(b2)2(a2)2(2a12)25a255.13已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_答案2解析设圆的方程为x2y2DxEyF0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，得解得所以圆的方程为x2y22x4y200.令x0，则y24y200，由根与系数的关系得y1y24；令y0，则x22x200，由根与系数的关系得x1x22，故圆C与两坐标轴的四
14、个截距之和为y1y2x1x2422.14设直线2x3y10和圆x2y22x30相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是_答案3x2y30解析圆的方程x2y22x30，化为标准方程为(x1)2y24，圆心坐标为(1,0)，由kAB，得AB的垂直平分线的斜率为，且过圆心，从而所求直线方程为y0(x1)，即3x2y30.15已知点P(7,3)，圆M：x2y22x10y250，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SPSQ的最小值为()A7 B8 C9 D10答案C解析由题意知圆M的方程可化为(x1)2(y5)21，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P(7，3
15、)，连接MP，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SPSQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S，连接SP，SP，SQ，由于P与P关于x轴对称，所以SPSP，SPSP，所以SPSQSPSQPQSPSQSPSQ.故(SPSQ)minPM119.16在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆最小覆盖圆满足以下性质：线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆锐角ABC的最小覆盖圆就是其外接圆已知曲线W：x2y416，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(4,0)为曲线W上不同的四点(1)求实数t的值及ABC的最小覆盖圆的方程；(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方
16、程；(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程解(1)由题意，得t2，由于ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是ABC的最小覆盖圆设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，则解得所以ABC的最小覆盖圆的方程为x2y23x40.(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2y216.又因为OAOC24(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2y216.(3)由题意，知曲线W为中心对称图形设P(x0，y0)，则xy16.所以OP2xy(O为坐标原点)，且2y02.故OP2xy16yy2，所以当y时，OPmax，所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2y2.
