1、3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数 f(x)在某个区间内可导 , 如果 f(x)0,那么函数 y=f(x)在这个区间内 ; 如果 f(x)0 f(x)0 f(x)=0 -4- 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 检查方程 的根是否在定义域内 ,若在 ,则看根附近的左右两侧导数值的符号 .如果左正右负 ,那么 f(x)在这个根处取得 ;如果左负右正 ,那么 f(x)在这个根处取得 . f(x)=0 极大值 极小值 3.函数的最值 (1)在闭区间 a,b上连续的函数 f(x)在区间 a,b上必有最大值与最小值 . (2)若函数 f(x)在区间
2、 a,b上单调递增 ,则 为函数的最小值 , 为函数的最大值 ;若函数 f(x)在区间 a,b上单调递减 ,则 为函数的最大值 , 为函数的最小值 . (3)设函数 f(x)在区间 a,b上连续 ,在区间 (a,b)内可导 ,求 f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤 . 求 f(x)在区间 (a,b)内的 ; 将 f(x)的各极值与 进行比较 ,其中最大的一个是最大值 ,最小的一个是最小值 . -5- 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 f(a) f(b) f(a) f(b) 极值 f(a),f(b) 2 -6- 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 自测点评 1.下列结论正确的打
3、 “ ” ,错误的打 “ ”. (1)若函数 f(x)在 (a,b)内单调递增 ,则一定有 f(x)0. ( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 . ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点 . ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大 . ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值 ,函数的最小值也不一定是极小值 . ( ) 答案 答案关闭 (1) (2) (3) (4) (5) -7- 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 2 . ( 2 0 1 7 广东、江西、福建十校联考 ) 已知 f ( x ) = 14 x 2 + s i n 2 + ? , f ( x
4、)为 f ( x ) 的导函数 , 则 f ( x ) 的图象是 ( ) 答案 解析 解析关闭 f ( x ) =14x 2 + s i n 2+ ? =14x 2 + co s x , f ( x ) =12x - s i n x ,它是一个奇函数 ,其图象关于原点对称 ,故排除 B , D .又 f ( x ) =12- c o s x ,当 -312, f ( x ) 0, 故函数 y = f ( x ) 在区间 -3,3内单调递减 ,排除 C .故选 A . 答案解析关闭 A -8- 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 3 . ( 2017 河北保定二模 ) 已知函数 f
5、 ( x ) = ? ? 33 - bx 2 +a 2 x - 13 在 x= 1 处取得极值 0, 则 a + b = . 答案 解析 解析关闭 由题意知 f ( x ) = a x2- 2 b x+ a2, f ( x ) 在 x= 1 处取得极值 0, f ( 1 ) =a - 2 b + a2= 0, f ( 1 ) =?3- b + a2-13= 0, a= 1, b= 1 或 a= -23, b= -19. 当 a= 1, b= 1 时 , f ( x ) =x2- 2 x+ 1 = ( x - 1)2 0, 函数没有极值 , a= 1, b= 1 不成立 . a= -23, b=
6、 -19,故答案为 -79. 答案解析关闭 - 79 -9- 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 4.(2017江苏 ,11)已知函数 f(x)=x3-2x+ex- ,其中 e是自然对数的底数 .若 f(a-1)+f(2a2) 0,则实数 a的取值范围是 . 1e ? 答案 解析 解析关闭 因为 f ( - x ) = ( - x )3- 2( - x ) + e- x-1e- ?= - f ( x ), 所以 f ( x ) 为奇函数 . 因为 f ( x ) = 3 x2- 2 + ex+ e- x 3 x2- 2 + 2 e? e- ? 0( 当且仅当 x= 0 时等号成立
7、 ), 所以 f ( x ) 在 R 上单调递增 . 因为 f ( a - 1) +f (2 a2) 0 可化为 f (2 a2) - f ( a - 1 ) , 即 f (2 a2) f (1 - a ), 所以 2 a2 1 - a ,2 a2+a - 1 0, 解得 - 1 a 12, 故实数 a 的取值范围是 - 1 ,12. 答案解析关闭 - 1 , 12 -10- 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 5.(教材习题改编 P32T4)如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象 ,则 f(x)的极小值点的个数为 . 答案 解析 解析关闭 由题意知 ,只在 x=-1处 f(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正 . 答案解析关闭 1
