1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数.导 语导 语一、复合函数概念的理解一、复合函数概念的理解问题1函数yln(2x1)是如何构成的？提示yln(2x1)，其中的2x1“占据”了对数函数yln x中x的位置，f(x)ln x，而f(2x1)ln(2x1)，这里有代入、代换的思想，则函数yln(2x1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数.复合函
2、数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).注意点：注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.知识梳理知识梳理例1(多选)下列哪些函数是复合函数A.yxln x B.y(3x6)2解析A不是复合函数；BCD都是复合函数.反思感悟若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数yf(g(x)或函数yg(f(x)均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数.跟踪训练1(多选)下列哪些函数是复合函数二、求复合函数的导数二、求复合函数的导数问题2如何求函数ysin 2x的导数？提示y
3、2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y2cos2x2sin2x2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数ysin u，它的导数ycos u，内层函数是幂函数的线性组合u2x，它的导数是u2，发现yxyuux.复合函数的求导法则一般地，我们有，若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yx_.注意点：注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.知识梳理知识梳理yua例2求下列函数的导数：所以yu4u5，ux3.(3)ylog2(2x1)；解设ylog
4、2u，u2x1，(4)ye3x2.解设yeu，u3x2，则yx(eu)(3x2)3eu3e3x2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁.跟踪训练跟踪训练2求下列函数的导数：解y ，设y ，u12x，则yx(2)y5log2(1x)；解函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，所以yxyuux5(log2u)(1x)三、复合函数的导数的应用三、复合函数的导数的应用例3已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l
5、，若l与圆C：x2y2 相切，求a的值.f(1)2a2，又f(1)a2ln 1a，切线l的方程为ya2(a1)(x1)，即2(a1)xya20.反思感悟正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.跟踪训练跟踪训练3曲线yf(x)e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为 ，求直线l的方程.解ye2xcos 3x的导数为y2e2xcos 3x(3sin 3x)e2xe2x(2cos 3x3sin 3x).曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0(2cos 03sin 0)2，则曲线在
6、点(0,1)处的切线方程为y2x1，解得t6或4.则直线l的方程为y2x6或y2x4.1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.(多选)函数y(x21)n的复合过程正确的是A.yun，ux21 B.y(u1)n，ux2C.ytn，t(x21)n D.tx21,ytn123412342.已知函数f(x)ln(ax1)的导函数是f(x)，且f(2)2，则实数a的值为12343.设f(x)ln(3x
7、2)3x2，则f(0)等于12344.设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析易知yaeax，kae0a，2课时对点练课时对点练基础巩固1.(多选)下列函数是复合函数的是解析A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，D由yu4，u2x3复合而成.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 162.设f(x)log3(x1)，则f(2)等于12345678910 11 12 13 14 15 163.函数yxln(2x5)的导数为12345678910 11 12 13 14 15 164.函数yf(
8、x)x(1ax)2(a0)，且f(2)5，则a等于A.1 B.1 C.2 D.2解析y(1ax)22ax(1ax)，则f(2)12a28a15(a0)，解得a1(舍负).12345678910 11 12 13 14 15 165.曲线y2xex2在点(2,4)处切线的斜率等于A.2e B.e C.6 D.2解析y2xex2，y2ex22xex2，k2e04e06，故选C.12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)下列结论中不正确的是12345678910 11 12 13 14 15 16对于B，ysin x2，则y2xcos x2，故正确；对于C，ycos 5x
9、，则y5sin 5x，故错误；12345678910 11 12 13 14 15 167.已知f(x)xln x，若f(x0)f(x0)1，则x0的值为_.解析因为f(x)ln x1.所以由f(x0)f(x0)1，得ln x01x0ln x01.解得x01.112345678910 11 12 13 14 15 168.已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_.解析设直线yx1切曲线yln(xa)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，2又y0ln(x0a)，y00，x01，a2.12345678910 11 12 13 14 15 169.求下列函数的导数：(1)
10、yln(exx2)；解令uexx2，则yln u.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)y102x3；解令u2x3，则y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2ln 10102x3.12345678910 11 12 13 14 15 16解设y ，u1x2，则yx 12345678910 11 12 13 14 15 16解ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.(4)ysin 2xcos 3x.12345678910 11 12 13 14 15 1610.
11、曲线ye2x1在点 处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程.解因为ye2x1，所以y2e2x1，所以k2，设直线l的方程为2xym0(m2)，所以直线l的方程为2xy70或2xy30.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为解析依题意得ye2x(2)2e2x，k2e202.所以曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y22x，即y2x2.在平面直角坐标系中作出直线y2x2，y0与yx的图象，如图所示.直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，1234567
12、8910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612.曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是解析设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行.解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0).12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1613.(多选)已知点P在曲线y 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值可以是因为ex0，所以y1,0)，所以tan 1,0).又因为0，)，12345678910 11 12 13 14
13、15 1612345678910 11 12 13 14 15 1614.设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f(x)是奇函数，则_.其为奇函数，又0，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.若曲线y 在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1x2|的最小值为12345678910 11 12 13 14 15 16曲线的切线斜率在1,1范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是1.不妨设在A点处切线的斜率为1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解f(x)exsin x，f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x).解设切点坐标为P(x0，y0)，由题意可知k0.解得x00，此时y01.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y10.12345678910 11 12 13 14 15 16
