1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值.导 语导 语一、函数极值概念的理解一、函数极值概念的理解问题1如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？提示在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.问题2你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？提示以山峰xx1处为例来研究，
2、在xx1处，它附近的函数值都比它小，且在xx1处的左侧函数是单调递增的，且有f(x)0，在xx1处的右侧函数是单调递减的，且有f(x)0，当x(x1，x1)时，都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个 ；当x(x2，x2)时，都有f(x)f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个 .函数的极大值、极小值统称为函数的 .知识梳理知识梳理极大值极小值极值注意点：注意点：(1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者
3、的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f(x0)0，则x0不一定是极值点，即f(x0)0是f(x)在xx0处取到极值的必要不充分条件，函数yf(x)的变号零点，才是函数的极值点.例1函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间(3,5)上是增函数；函数yf(x)在区间 上是减函数；函数yf(x)在区间(2,2)上是增函数；当x 时，函数yf(x)有极大值；当x2时，函数yf(x)有极大值.则上述判断中正确的序号是_.解析对于，当x(3,4)时，f(x)0，f(x)是增函数，所以错误；当x(2,3)时，f(x)0，f(x)是增函数，所以
4、正确；对于，当x(2,2)时，f(x)0，f(x)是增函数，对于，由知当x2时，函数yf(x)取得极大值，所以正确.反思感悟解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.跟踪训练1已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)在区间 内的极小值点的个数为A.1 B.2 C.3 D.4解析由图象，设f(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中cd，知在(，c
5、)，(d，b)上f(x)0，所以此时函数f(x)在(，c)，(d，b)上是增函数，在(c，d)上，f(x)2”是“函数f(x)上有极值”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件令f(x)0，可得xa1.当xa1时，f(x)a1时，f(x)0.函数yf(x)在xa1处取得极小值.(2)求函数f(x)x3x的极值.解函数f(x)的定义域为R.当x变化时，f(x)和f(x)变化情况如下表：三、由极值求参数的值或范围三、由极值求参数的值或范围例3(1)已知函数f(x)x3ax2bx27在x1处有极大值，在x3处有极小值，则a_，b_.解析f(x)3x22axb.由
6、题意知，1,3是3x22axb0的两个根，a3，b9.39(2)已知函数f(x)(m3)x2(m6)x(xR，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围.解f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.解得m3.故实数m的取值范围是(3，).反思感悟已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其
7、导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f(x)0或f(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.跟踪训练跟踪训练3若函数f(x)x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_.f(x)x24(x2)(x2).令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值且f(x)在(，2)上是增函数，在(2,2)上是减函数，在(2，)上是增函数.根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，1.知识清单：(1)函数极值的定义.(2)函数极值的判定及求法.(
8、3)函数极值的应用.2.方法归纳：方程思想、分类讨论.3.常见误区：容易混淆为导数值等于零时此点为极值点.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A.在(1,2)上函数f(x)是增函数B.在(3,4)上函数f(x)是减函数C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x3是函数f(x)在区间1,5上的极小值点1234解析根据导函数图象知，x(1,2)时，f(x)0；x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上是增函数，在(2,4)上是减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点.
9、123412342.(多选)已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个增区间是A.(，2)B.(3，)C.(2，)D.(，3)解析f(x)6x22ax36，且在x2处有极值，f(2)0，即244a360，解得a15，f(x)6x230 x366(x2)(x3)，由f(x)0得x2或x3.12343.设函数f(x)xex，则A.x1为f(x)的极大值点B.x1为f(x)的极小值点C.x1为f(x)的极大值点D.x1为f(x)的极小值点解析令f(x)exxex(1x)ex0，得x1.当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.故x1为f(x)的极小值点.12344.已知曲
10、线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则a_，b_.解析f(x)3x22axb，24课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.下列函数中存在极值的是A.y B.yxexC.y2 D.yx3解析对于yxex，y1ex，令y0，得x0.在区间(，0)上，y0；在区间(0，)上，y0.故当x0时，函数yxex取得极大值.12345678910 11 12 13 14 15 162.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数yf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大
11、值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.12345678910 11 12 13 14 15 163.函数f(x)(x1)ex的极小值点为A.(0，1)B.(0,0)C.1 D.0解析由题意得f(x)ex(x1)exxex，故f(x)在(，0)上是减函数，在(0
12、，)上是增函数，故当x0时，f(x)的极小值为f(0)1，故极小值点为0.12345678910 11 12 13 14 15 164.已知a是函数f(x)x312x的极小值点，则a等于A.4 B.2 C.4 D.2解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)是增函数；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)是减函数，f(x)的极小值点为a2.12345678910 11 12 13 14 15 165.函数f(x)x3ax2bxa2a在x1处有极值为7，则a等于A.3或3 B.3或9 C.3 D.3解析f(x)3
13、x22axb，当a3，b9时，f(x)3x26x93(x1)(x3)，当3x1时，f(x)1时，f(x)0，x1是极小值点；当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，x1不是极值点.a3.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的值可以是A.4 B.3 C.6 D.8解析由题意知f(x)3x22ax(a6)0有两个不相等的根，所以4a212(a6)0，解得a6或a3.12345678910 11 12 13 14 15 167.已知函
14、数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_.解析f(x)3x26ax3(a2)，函数f(x)既有极大值又有极小值，方程f(x)0有两个不相等的实根，36a236(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.(，1)(2，)12345678910 11 12 13 14 15 168.已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc，如果函数f(x)在x1处取得极值 ，则b_，c_.1312345678910 11 12 13 14 15 16解析f(x)x22bxc，若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；12345678910 11
15、12 13 14 15 16若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)，当3x0，当x1时，f(x)0，故b1，c3即为所求.12345678910 11 12 13 14 15 169.设函数f(x)aln x 1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；由题意知，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，解得a1.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)求函数f(x)的极值.12345678910 11 12 13 14 15 16当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上是增函数.故f(x)在x1处取得极小值
16、，极小值为f(1)3，无极大值.12345678910 11 12 13 14 15 1610.设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；解f(x)3x22x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：极小值是f(1)a1.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？12345678910 11 12 13 14 15 16解函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数
17、时，有f(x)0，曲线yf(x)与x轴至少有一个交点.f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16解析因为f(x)在x2处取得极小值，所以当x2时，f(x)为减函数，即f(x)0；当x2时，f(x)为增函数，即f(x)0.所以当x2时，yxf(x)0；当x2时，yx
18、f(x)0；当2x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0.结合选项中的图象知选C.12.若函数f(x)exaxb在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是A.(1,0)B.(0,1)C.(，1)D.(1，)解析由题意知f(x)exa.当a0时，f(x)0恒成立，则f(x)在R上为增函数，不符合题意；当a0时，令f(x)0，解得xln a，当x(，ln a)时，f(x)0.可知xln a为f(x)的极值点，ln a0，得x3；令f(x)0，得2x3，此时，函数yf(x)在x3处取得极小值，不符合题意；12345678910 11 12 13 14 15 16此
19、时，函数yf(x)在x3处取得极大值，符合题意.综上所述，a3.14.若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_.解析f(x)3x22xa，函数f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点，即f(x)0在(1,1)内恰有一个根.1,5)1a5.12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知函数f(x)ax3bx2cx的图象如图所示，且f(x)在xx0与x2处取得极值，则f(1)f(1)的值一定A.等于0 B.大于0C.小于0 D.小于或等于012345678910 11
20、 12 13 14 15 16解析f(x)3ax22bxc.令f(x)0，则x0和2是该方程的根.由题图知，f(x)0，则b0，f(1)f(1)2b，f(1)f(1)0.12345678910 11 12 13 14 15 1616.已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，当实数a 时，求函数f(x)的单调区间与极值.解f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，分以下两种情况讨论：若a ，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值12345678910 11
21、12 13 14 15 16所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.12345678910 11 12 13 14 15 16当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.12345678910 11 12 13 14 15 16
