1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件一、函数的恒成立问题一、函数的恒成立问题例1设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0).(1)求f(x)的最小值h(t)；解f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(舍去).当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如表所示：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1m对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立
2、，等价于g(t)0对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围是(1，).反思感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.跟踪训练1设函数f(x)2x39x212x8c.(1)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围；解f(x)6x218x126(x1)(x2)，当x(0,1)时，f(x)0
3、，f(x)单调递增；当x(1,2)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(2,3)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，1)(9，).(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围.解由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，19，).二、函数的存在性问题二、函数的存在性问题(1)求函数f(x)的单调区间；令f(x)0，即1ln x0，解得0 x
4、e；令f(x)0，即1ln xe，所以f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，).(2)设g(x)f(x)x，求证：g(x)1；所以t(x)1ln xx2在(0，)上是减函数，因为t(1)1ln 1120，所以当x(0,1)时，t(x)0，g(x)0；当x(1，)时，t(x)0，g(x)0，h(x)0，故m的取值范围为(1,2).1.知识清单：(1)函数中的存在性问题.(2)函数中的恒成立问题.2.方法归纳：转化法、分离参数法、分类讨论.3.常见误区：分离参数后检验等号是否能成立.课堂小结课堂小结课时对点练课时对点练一、选择题一、选择题1.若函数f(x)x24xbln x在(0，)上是减函
5、数，则b的取值范围是A.(，2 B.(，2)C.(2，)D.2，)解析f(x)x24xbln x在(0，)上是减函数，f(x)0在(0，)上恒成立，2x24x2(x1)222，b2.123456789123456789A.a1 B.a1C.a4解析由题意知，不等式x32xax32x，令g(x)x32x，则g(x)3x220在1,2上恒成立，因此g(x)maxg(2)4，故a4.1234567893.已知函数f(x)x22ln x，若关于x的不等式f(x)m0在1，e上有实数解，则实数m的取值范围是A.(，e22)B.(，e22C.(，1 D.(，1)123456789解析由题意可知，存在x1，
6、e，使得mf(x)，则mf(x)max.f(x)x22ln x，当x1，e时，f(x)0，函数f(x)在区间1，e上是增函数，则f(x)maxf(e)e22，me22，因此实数m的取值范围是(，e22.1234567894.(多选)定义在(0，)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x1)f(x)f(x)5C.f(3)2f(1)7123456789因为(x1)f(x)f(x)x22x，所以g(x)g(2)g(3)，整理得2f(2)3f(1)5，f(3)2f(1)7，故A错误，C正确；当0 x0恒成立，f(x)单调递增，无最小值.当k0时，xln k时，f(x)0，f(x)单调递增；xln k
7、时，f(x)0，f(x)单调递减.即当xln k时，f(x)取得最小值，最小值为kkln k，由kkln k0，解得01在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围为_.1，)解析由f(x)1，得axln x1，x1，当x(1，)时，g(x)0，则g(x)在(1，)上是减函数，则g(x)2对任意的实数x恒成立，求a的取值范围.解若f(x)2对任意的实数x恒成立，即aex(2x)恒成立，令g(x)ex(2x)，则g(x)ex(1x)，令g(x)0，得x1；令g(x)1，g(x)在(，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，g(x)maxg(1)e，a的取值范围为(e，).1234567898.已知函
8、数f(x)ex2ax(aR).令f(x)0，得x0；令f(x)0，得x0；令f(x)0，得x0，所以函数f(x)exx的增区间为(0，)，减区间为(，0).123456789(2)当x2,3时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解当x2,3时，f(x)ex2ax0恒成立，1234567899.已知函数f(x)(xa)ex，其中a为常数.(1)若函数f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围；解由f(x)(xa)ex，得f(x)(xa1)ex，函数f(x)在区间1，)上是增函数，f(x)(xa1)ex0在区间1，)上恒成立，即ax1在区间1，)上恒成立，当x1，)时，x1(，0，a0.即实数a的取值范围是0，).123456789(2)若f(x)e3xex在x0,1时恒成立，求实数a的取值范围.解f(x)e3xex在x0,1时恒成立，等价于ae3x2x在x0,1时恒成立，令g(x)e3x2x，则ag(x)max，g(x)e3x20，g(x)在0,1上是减函数，g(x)在区间0,1上的最大值g(x)maxg(0)e3，ae3，即实数a的取值范围是e3，).123456789
