1、3.1导数的概念及运算,第三章导数及其应用,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即x趋于0时，如果 ，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0)_ .,知识梳理,平均变化率趋于一个固定的值,(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.2.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何
2、意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k .,f(x0),3.基本初等函数的导数公式,0,x1,cos x,sin x,ex,axln a,4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x) ；(2)f(x)g(x) ；,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.af(x)bg(x)af(x)bg(x).3.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这
3、点处的切线越“陡”.,【知识拓展】,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1) f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2) f(x0)与 f(x0)表示的意义相同.()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(4)函数 f(x)sin(x)的导数是 f(x)cos x.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,7,题组二教材改编2.若 f(x)xex，则f(1) .,1,2,4,5,6,答案,解析,2e,3,7,解析f(x)exxex，f(1)2e.,3.曲线y 在点M(，0)处的切线方程为_.,xy0,题组三易错自纠4.如图所示为函
4、数yf(x)，yg(x)的导函数的图像，那么yf(x)，yg(x)的图像可能是,解析,1,2,4,5,6,3,7,答案,解析由yf(x)的图像知，yf(x)在(0，)上是减少的，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也是减少的，故可排除A，C.又由图像知yf(x)与yg(x)的图像在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图像在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.,1,2,4,5,6,3,7,1,2,4,5,6,3,7,答案,解析,1,2,4,5,6,3,7,6.(2018青岛调研)已知f(x) x22xf(2 018)2 018ln x，则f(2 018)等于 A.2 018
5、 B.2 019C.2 019 D.2 018,答案,即f(2 018)(2 0181)2 019.,7.已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a .,解析,1,2,4,5,6,3,7,答案,1,解析f(x)3ax21，f(1)3a1，又 f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，又点(2,7)在切线上，可得a1.,题型分类深度剖析,1. f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于 A.e2 B.1 C.ln 2 D.e,题型一导数的计算,自主演练,解析,答案,解析f(x)2 018ln xx 2 019ln x，故由
6、f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得x01.,2.若函数f(x)ax4bx2c满足 f(1)2，则 f(1)等于 A.1 B.2C.2 D.0,解析,答案,解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且 f(1)2， f(1)2.,3.已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0) .,解析,答案,4,解析f(x)2x2 f(1)， f(1)22 f(1)，即 f(1)2. f(x)2x4， f(0)4.,导数计算的技巧求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量.,命题点1求切线方程典例 (1)曲线f(x) 在x0处的切线方程为 .,解析,题型二导数
7、的几何意义,多维探究,解析根据题意可知切点坐标为(0，1)，,答案,2xy10,则直线的方程为y(1)2(x0)，即2xy10.,(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 .,答案,xy10,解析,解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.,解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.,本例(2)中，若曲线yxln x上点P的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是 .,答案,(e，e),解析,解析y1ln x，令y2，即1ln x2，x
8、e，点P的坐标为(e，e).,命题点2求参数的值典例 (1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab .,1,答案,解析由题意知，yx3axb的导数y3x2a，,由此解得k2，a1，b3，2ab1.,解析,(2)(2018届东莞外国语学校月考)曲线y4xx2上两点A(4,0)，B(2,4)，若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标是 A.(3,3) B.(1,3)C.(6，12) D.(2,4),答案,解析,解析设点P(x0，y0)，A(4,0)，B(2,4)，,在点P处的切线l平行于弦AB，kl2.根据导数的几何意义知当xx0时，y42x02，即x03，点P(
9、x0，y0)在曲线y4xx2上，,命题点3导数与函数图像典例 (1)已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是,解析由yf(x)的图像是先上升后下降可知，函数yf(x)图像的切线的斜率先增大后减小，故选B.,解析,答案,解析,(2)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3) .,0,答案,g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，,导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方
10、面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0).,(3)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况.,跟踪训练 (1)(2017山西孝义模拟)已知f(x)x2，则曲线yf(x)过点P(1,0)的切线方程是 .,解析,f(x)2x，切线方程为y02x0(x1)，,y0或4xy40,答案,解得x00或x02，所求切线方程为y0或y4(x1)，即y0或4xy40.,解析,1,答案,典例 若存在过点O(0,0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.,求曲线的切线方程,现场纠错,纠错心得,现场纠错,错解展示,几何画板展示,错
11、解展示：,现场纠错,解易知点O(0,0)在曲线yx33x22x上.(1)当O(0,0)是切点时，由y3x26x2，得当x0时，y2，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.,依题意44a0，得a1.,(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点P(x0，y0)，,纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.,课时作业,1.函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为 A.2(x2a2) B.2(x2a2)C.3(x2a2) D.3(x2a2),基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析
12、f(x)(xa)2(x2a)(2x2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2).,解析,答案,2.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图所示，则导函数f(x)的图像可能是,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,解析原函数的单调性是当x0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x0；当x0时，f(x)的符号变化依次为，.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2017西安质检)曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为 A.(1,3) B.(1,3
13、)C.(1,3)或(1,3) D.(1，3),答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，故选C.,解析,4.若直线yx是曲线yx33x2px的切线，则实数p的值为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析y3x26xp，设切点为P(x0，y0)，,5.(2018广州调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,
14、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为切线过点(0,0)，所以ln x01，,6.(2017重庆诊断)已知函数 f(x) sin x，其导函数为f(x)，则 f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)的值为 A.0 B.2C.2 017 D.2 017,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)2.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中a
15、为实数，f(x)为f(x)的导函数，若 f(1)3，则a的值为_.,3,由于f(1)a(1ln 1)a，又 f(1)3，所以a3.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2016全国)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_.,2xy0,解析设x0，则x0时，f(x)ex1x，f(x)ex11，故f(1)2，所以曲线在点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即y2x.,解析,解析,9.设点P是曲线yx3 上的任意一点，P点处切线倾斜角的取值范围为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
