1、第九章,概率与统计,第1讲 计数原理与排列组合,1.分类加法原理与分步乘法原理,m1m2mn,(1)分类加法原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn 种不同的方法.(2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成 n 个步骤，缺一不可，在第一个步骤中有 m1 种不同的方法，在第二个步骤中有 m2 种不同的方法，在第 n 个步骤中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N_种不同的方法.,2.排列与排列数(1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素
2、，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.(2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用,n！(nm)！,n！,1,3.组合与组合数(1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.(2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用,1,1.(2014 年辽宁)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2,),人不相邻的坐法种数为(A.144 种C.72
3、 种,B.120 种D.24 种,解析：先放 3 把空椅子，剩下 3 人带着椅子插空坐，共有 24(种)不同坐法.,D,2.(2014 年四川)6 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲,),B,或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(A.192 种B.216 种C.240 种D.288 种,3.(2013 年大纲)从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有_种.(用数,字作答),60,解析：从 6 名选手中决出 1 人得一等奖，2 人得二等奖，34.(2013 年大纲)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的,不同排法共有_种.(用数字作答)
4、,480,解析：先排除去甲、乙的其余 4 人，然后采用插空法，则,考点 1 排列问题,例 1：7 位同学站成一排：(1)共有多少种不同的排法？,(2)站成两排(前 3 后 4)，共有多少种不同的排法？(3)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)甲、乙不能站在两端的排法共有多少种？(6)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(7)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？,(8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？,(9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的,排法有多少种？,(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？,(11)
5、甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？(12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？,(14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的,排法共有多少种？,(15)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？,(9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的,排法有：,方法一，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，,此时一共有 6 个元素，,【规律方法】(1)对有约束条件的排列问题，应注意如下类,型：,某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排(即必须相邻)；某些元素要求分离(即不能相邻).(2)基本的解题方法：
6、,有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法)；,某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；,某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些,不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；,在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基.,【互动探究】1.(2017 年新课标)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有,(,),D,A.12 种,B
7、.18 种,C.24 种,D.36 种,考点 2 组合问题,例 2：从 4 名男同学和 3 名女同学中，选出 3 人参加学校的某项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？,(1)无任何限制；,(2)甲、乙必须当选；(3)甲、乙都不当选；,(4)甲、乙只有一人当选；(5)甲、乙至少有一人当选；(6)甲、乙至多有一人当选.,思维点拨：此题不讲究顺序，故采用组合数.,【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化：,“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；,“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题
8、必须十分重视“至少”或“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.,【互动探究】2.(2016 年东北三省三校一模)数学活动小组由 12 名同学组成，现将 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配,方案的种数为(,),答案：B,考点 3,排列组合的综合问题,例 3：六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)平均分成三堆，每堆两本；(2)平均分给甲、乙、 丙三人，每人两本；(3)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(4)甲得一本，乙得两本，丙得三本
9、；(5)一人得一本，一人得两本，一人得三本.,【规律方法】求解排列、组合问题的思路是：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘.”,求解排列、组合问题的常用方法,简单问题直接法：把符合条件的排列数直接列式计算.部分符合条件排除法：先求出不考虑限制条件的排列，,然后减去不符合条件的排列数.,相邻问题捆绑法：在特定条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列，它主要用于解决相邻或不相邻的问题.,相间问题插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空中，它与捆绑法有同等作用.,特殊元素位置优先安排：对问题中的特殊元素或位
10、置首先考虑排列，再排列其他一般元素或位置.多元问题分类法：将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数.至多至少间接法：“至多”“至少”的排列组合问题，需分类讨论且一般分类的情况较多，所以通常用间接法，即排除法.它适用于反面明确且易于计算的问题.均分问题作商法：平均分组问题，若 m 个元素平均分成,n 组，则分法总数为,.,【互动探究】3.(2014 年浙江)在 8 张奖券中，有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，则不同,的获奖情况有_种.(用数字作答),60,解析：不同的获奖情况分两种：1 人获
11、2 张，1 人获 1 张，不同的获奖情况有 60 种.,思想与方法分类讨论思想在排列组合问题中的应用例题：(1)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案,共有(,),A.70 种,B.80 种,C.100 种,D.140 种,答案：A,(2)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有 1 人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种,数是(,),A.152 种,B.126 种,C.90 种,D.54 种,答案：B【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其他元素的位置的选取而出现变化，故出现了分类讨论，分类讨论既不要重复，又不能遗漏，这样才能保证考虑事情的严谨性.,【互动探究】4.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为 x，y，z，当且仅当 yx，yz 时，称这样的数为“凸数”(如 243)，现从集合1，2，3，4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则,这个三位数是“凸数”的概率为(,),B,A.,23,B.,13,C.,16,D.,112,
