1、1第十章第十章 试验数据的统计分析试验数据的统计分析 10.1 概述概述 测量某一未知参数时，由于必须使用量测仪器测量某一未知参数时，由于必须使用量测仪器或工具，并通过观测者在一定环境下进行，因此，或工具，并通过观测者在一定环境下进行，因此，不论测定得多么仔细，也不论所使用的仪器多么完不论测定得多么仔细，也不论所使用的仪器多么完善，一切测定都不可避免地要产生误差。误差的产善，一切测定都不可避免地要产生误差。误差的产生，可能是由观测者生，可能是由观测者使用仪器不够正确使用仪器不够正确，仪器存在仪器存在缺陷缺陷，试件不可避免的差别试件不可避免的差别以及进行以及进行测量时所处的测量时所处的外界条件外
2、界条件的影响。的影响。恰当地处理测量数据，给出正确的处理结果，恰当地处理测量数据，给出正确的处理结果，并对所得结果的可靠性作出确切的估计和评价，并对所得结果的可靠性作出确切的估计和评价，这是测量工作中的基本环节之一。这是测量工作中的基本环节之一。因此，有关测量误差与测量数据处理的理论和因此，有关测量误差与测量数据处理的理论和方法是测量工作者必须掌握的基本知识和基本方法是测量工作者必须掌握的基本知识和基本技能。技能。210.2 测量误差测量误差 测量总是存在误差，而且误差究竟等于测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么，从测量值如何得到多少难以确定，那么，从测量值如何得到真实值呢？真
3、实值呢？例如，测量室温，例如，测量室温，6次测量结果分别为次测量结果分别为19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,119.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5,9.5,那么室温究竟是多少呢？那么室温究竟是多少呢？v测量值的算术平均值测量值的算术平均值?一、真值一、真值3所以，当测量次数所以，当测量次数 时，测量值的平均值（数学期时，测量值的平均值（数学期望）等于被测量的真值。望）等于被测量的真值。n分析：分析：xnnxxTxTxTx2211xniiTxn11xniiniinixiniiTxnnnTx111111将以上各式相加，得将以上各式相加，得niinxnxxxnx
4、1211)(1xTx 根据随机误差的抵偿性特根据随机误差的抵偿性特征，即征，即0lim1niin于是有于是有4测量结果最佳值测量结果最佳值算术平均值算术平均值 niixnx11算术平均值算术平均值是真值的最佳估计值是真值的最佳估计值 选用算术平均值作为真值，必须事先恰选用算术平均值作为真值，必须事先恰当的处理测量数据，测量数值需要经过当的处理测量数据，测量数值需要经过等精度、无穷多次重复测量所得的数据，等精度、无穷多次重复测量所得的数据，并且需剔除粗大误差并尽可能消除和修并且需剔除粗大误差并尽可能消除和修正系统误差正系统误差5绝对误差：若以绝对误差：若以x代表测量值，与均值代表测量值，与均值
5、之差称绝之差称绝对误差对误差 x相对误差相对误差R：绝对误差与被测量实测值：绝对误差与被测量实测值x的比值的比值xR 二、误差二、误差10.2 测量误差测量误差 6三、系统误差三、系统误差1、概念、概念 由分析过程中某些由分析过程中某些确定的确定的、经常性的经常性的因素因素而引起的误差。系统误差的而引起的误差。系统误差的特点特点：重现性、单重现性、单向性、可测性向性、可测性10.2 测量误差测量误差 7三、误差分类三、误差分类2、来源、来源10.2 测量误差测量误差 方法误差：量测方法或数学处理方法不完善所产方法误差：量测方法或数学处理方法不完善所产生的，如采用简化的测量方法或近似方法以及对生
6、的，如采用简化的测量方法或近似方法以及对某些经常作用的外界条件影响的忽略，导致测量某些经常作用的外界条件影响的忽略，导致测量结果的偏高或偏低。结果的偏高或偏低。改进试验方法改进试验方法修正系数法修正系数法8三、系统误差三、系统误差2、来源、来源10.2 测量误差测量误差 工具误差：测量工具结构上不完善或零部件加工工具误差：测量工具结构上不完善或零部件加工制作的缺陷造成的误差，如仪表刻度不均匀。制作的缺陷造成的误差，如仪表刻度不均匀。采用先进测量工具采用先进测量工具标定测量仪器标定测量仪器910.2 测量误差测量误差 条件误差：测量条件变化所造成的误差（温度条件误差：测量条件变化所造成的误差（温
7、度补偿或修正系数）。补偿或修正系数）。调整误差：由于测量人员没有调整好仪器所带来调整误差：由于测量人员没有调整好仪器所带来的误差（轴压试验出现偏心）。的误差（轴压试验出现偏心）。主观误差：个人误差，如读数偏向某一方向主观误差：个人误差，如读数偏向某一方向（固定读数）。（固定读数）。三、系统误差三、系统误差2、来源、来源1010.2 测量误差测量误差 v1采用正确的测量方法及原理。采用正确的测量方法及原理。v2选用正确的仪器仪表，准确度满足要求选用正确的仪器仪表，准确度满足要求v3测量仪器应定期校准、检定，测量前要调测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，应按照操作规程正确使用仪器。对于精密零，
8、应按照操作规程正确使用仪器。对于精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。施。v4提高操作人员的操作水平及技能。提高操作人员的操作水平及技能。三、系统误差三、系统误差3、消除、消除11四、偶然误差四、偶然误差1、概念、概念10.2 测量误差测量误差 由于一些难于控制的由于一些难于控制的随机因素随机因素引起的引起的误差误差。高斯于高斯于18091809年推导出描述随机误差统计特性年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。的解析方程式，称高斯分布规律。f()22221)(ef偶然误差偶然误差标准差标准差曲线下面的面积对应误差在该区间出现
9、的概率。曲线下面的面积对应误差在该区间出现的概率。12例如：例如：)()(bapdfba%3.68)()(pdff()()(bapdfba)()(bapdfba%3.68)()(pdf%3.68)()(pdf1310.2 测量误差测量误差 置信系数与置信度的关系置信系数与置信度的关系 由表可以看出，对一组既无系差又无粗差的等精度测量，由表可以看出，对一组既无系差又无粗差的等精度测量，当置信区间取当置信区间取3时，时，误差值落在该区间外的可能仅有误差值落在该区间外的可能仅有0.3%。因此，人们常把因此，人们常把3值称为极限误差，记为值称为极限误差，记为=32、极限误差极限误差14从正态分布曲线可
10、看出：从正态分布曲线可看出：绝对值越小，绝对值越小，愈大，说明绝对愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。值小的误差出现的概率大。大小相等符号相反的误差出现的概率大小相等符号相反的误差出现的概率相等。相等。f()(f15 愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈愈大，正态分布曲线愈平缓。说明大，正态分布曲线愈平缓。说明反映反映了测量的精密度。了测量的精密度。=1=216四、偶然误差四、偶然误差3、特点特点单峰性单峰性 误差绝对值越小，出现概率越大，误误差绝对值越小，出现概率越大，误差绝对值越大，出现概率越小差绝对值越大，出现概率越小对称性对称性 绝对值相同，符号相反的误差出现的绝对
11、值相同，符号相反的误差出现的概率相等概率相等抵偿性抵偿性 当测量次数当测量次数n时，误差总和为零时，误差总和为零有界性有界性 误差落误差落-3,3 的概率为的概率为0.997317四、偶然误差四、偶然误差4、来源及减少方法、来源及减少方法10.2 测量误差测量误差 产生原因产生原因：（1 1）随机因素随机因素（室温、湿度、气（室温、湿度、气压、电压的微小变化等）；（压、电压的微小变化等）；（2 2）个人辨别能力个人辨别能力（最小刻度值的估读等）（最小刻度值的估读等）增加平衡测试次数增加平衡测试次数?18由上图可知，在测量次数较少时（由上图可知，在测量次数较少时（n5n10n10后，随着测量次数
12、后，随着测量次数n n的继续增加，标准的继续增加，标准差的减小愈来愈不明显而逐渐趋近于恒定值差的减小愈来愈不明显而逐渐趋近于恒定值19 在日常分析中，一般平行测定：在日常分析中，一般平行测定：3 34 4次次 较高要求：较高要求：5 59 9次次 最多：最多：10101212次次 过多地增加测定次数n，所费劳力、时间与所获精密度的提高相比较，是很不合算的！是不可取的。20五、过失误差五、过失误差1、概念、概念10.2 测量误差测量误差 由由人为错误人为错误所造成的误差。如：缺乏经验，粗枝所造成的误差。如：缺乏经验，粗枝大叶，读错刻度，过渡疲劳，操作不当大叶，读错刻度，过渡疲劳，操作不当 过失过
13、失这不是误差，是责任事故！应杜绝！这不是误差，是责任事故！应杜绝！提高工作责任心！提高工作责任心！21五、过失误差五、过失误差2、剔除、剔除10.2 测量误差测量误差 3准则（拉依达准则）准则（拉依达准则）测量数据呈正态分布时，误差大于测量数据呈正态分布时，误差大于33的概率仅为的概率仅为0.00270.0027 测量列中有误差大于测量列中有误差大于33的数据，即可判定其含有粗大误差的数据，即可判定其含有粗大误差对于有限次测量（对于有限次测量（n10n10）,符合下式的的数据符合下式的的数据x xi i含粗大误差含粗大误差33法则不适应测量次数法则不适应测量次数n=10n=10的粗大误差判定的
14、粗大误差判定3xxii0.68320.95430.997xPxPxP22二、误差分类二、误差分类3、过失误差、过失误差剔除剔除10.2 测量误差测量误差 肖维纳准则肖维纳准则 由于数据较大误差出现的概率很小，则在由于数据较大误差出现的概率很小，则在n n次观次观测中，某数据的剩余误差可能出现的次数小于半测中，某数据的剩余误差可能出现的次数小于半次时，可剔除此数据次时，可剔除此数据 ZaZa为与试验次数为与试验次数n n有关，可查表得到有关，可查表得到sZxxai23 Za系数表 n Za n Za n Za 3 1.38 11 2.00 25 2.33 4 1.54 12 2.03 30 2.
15、39 5 1.65 13 2.07 40 2.49 6 1.73 14 2.10 50 2.58 7 1.80 15 2.13 100 2.80 8 1.86 16 2.15 9 1.92 18 2.20 10 1.96 20 2.2424二、误差分类二、误差分类3、过失误差、过失误差剔除剔除10.2 测量误差测量误差 格罗布斯准则格罗布斯准则 测量列中有误差大于格罗布斯测量列中有误差大于格罗布斯鉴别值鉴别值(n)(n)数据数据x xi i，即可判定其含有粗大误差，即可判定其含有粗大误差,应予以剔除应予以剔除g g0 0(n,(n,)格罗布斯准则格罗布斯准则鉴定系数鉴定系数，和测量次数，和测量
16、次数n n、显著水平显著水平有关，通过查表可得到有关，通过查表可得到显著水平显著水平定义：估计总体参数落在某一区间内，定义：估计总体参数落在某一区间内，可能犯错误的概率可能犯错误的概率 sngnnxxii),()()(025格罗布斯准则格罗布斯准则 格罗布斯准则鉴定系数格罗布斯准则鉴定系数g g0 0(n,(n,)26 应用应用 一批构件的开裂应力一批构件的开裂应力：n=10n=10 2.5 2.5 3.6 2.7 2.2 2.4 2.5 2.6 2.5 2.4 算术平均值算术平均值 标准差估值标准差估值33准则：准则：肖维纳准则肖维纳准则:格罗布斯准则：格罗布斯准则：nii 11x2.59x
17、n1352.13784.033xxii74166.03784.096.1aiiZxx8249.03784.018.20gxxii9119.03784.041.20gxxii01.1xxii2n_ii 11(x-x)0.3784n-127例如，测量室温，例如，测量室温，6次测量结果分别为次测量结果分别为19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,119.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5,9.5,那么室温究竟是多少呢？那么室温究竟是多少呢？nii 11x19.7xn21.228.173.1aiiZxx33.228.182.10gxxii48.228.194.10gxxii
18、2n_ii 11(x-x)1.28n-16.2xxii肖维纳准则：肖维纳准则：格罗布斯准则：格罗布斯准则：28不能一次同时去掉两个以上你认为可疑的测量不能一次同时去掉两个以上你认为可疑的测量值，只能剔除出他们中最大的一个。然后再重值，只能剔除出他们中最大的一个。然后再重新求得剩下的各量测值的平均值和标准差，再新求得剩下的各量测值的平均值和标准差，再来剔除偏差较大的可疑值，直至不出现有粗大来剔除偏差较大的可疑值，直至不出现有粗大偏差的值偏差的值对任何异常值，若无充分的技术上的、物理上对任何异常值，若无充分的技术上的、物理上的说明其异常的理由，则不得剔除或进行修正。的说明其异常的理由，则不得剔除或
19、进行修正。2910.3 误差的传递误差的传递 研究研究函数误差（误差的传递）函数误差（误差的传递）一般有以一般有以下两个内容：下两个内容：已知函数关系及各个测量值的误差，求已知函数关系及各个测量值的误差，求函数即间接测量的误差。函数即间接测量的误差。已知函数关系及函数的总误差，分配各已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值的误差。个测量值的误差。301函数误差传递的基本公式函数误差传递的基本公式假设间接测量的数学表达式为：假设间接测量的数学表达式为：将上式两边微分将上式两边微分),(21nxxxfy直接测量值直接测量值间接测量值间接测量值nndxxfdxxfdxxfdy2211nnxxfxx
20、fxxfy2211311函数误差传递的基本公式函数误差传递的基本公式绝对误差：绝对误差：niiinnxxfxxfxxfxxfy12211niiinnyxxfyxxfyxxfyxxfyy12211相对误差：相对误差：nnxxfxxfxxfyy lnlnln2211对数对数形式形式322.几种常见函数的误差传递公式几种常见函数的误差传递公式(1)加减运算：设y=x1x2，则(2)乘除运算：设 2121/xxyxxy或则 2121xxxxyy2211xxxxyy33(3)乘方运算：设y=x2，则(4)开方运算：设，则 xy xxyy2xxyy2134常用函数关系的误差传递公式 和的最大相对误差低于各
21、直接观测量的相对和的最大相对误差低于各直接观测量的相对误差绝对值之和误差绝对值之和差的最大相对误差将大于直接测量中的最大差的最大相对误差将大于直接测量中的最大相对误差，当差值很小时，其影响更加严重，相对误差，当差值很小时，其影响更加严重，应注意避免应注意避免积、商、幂的最大相对误差都有所增加，积积、商、幂的最大相对误差都有所增加，积与商的最大相对误差等于各个直接观测量的相与商的最大相对误差等于各个直接观测量的相对误差绝对值的和。幂的最大相对误差等于直对误差绝对值的和。幂的最大相对误差等于直接观测量的相对误差绝对值乘其指数接观测量的相对误差绝对值乘其指数开根的最大相对误差低于原始的相对误差开根的
22、最大相对误差低于原始的相对误差3510.4 一元线性回归一元线性回归确定确定物理量之间的函数关系称为物理量之间的函数关系称为回归回归vMatlab;ORIGIN;SAS;SPASS3610.4 一元线性回归一元线性回归 一元线性回归模型是回归模型的最一元线性回归模型是回归模型的最基本形式，其总体回归模型为：基本形式，其总体回归模型为：yabx其中，a、b为回归系数y yx x0 0拟合直线拟合直线?v如何选择如何选择a、b，使得，使得 与与yi 之间的偏差最小之间的偏差最小iy3710.4 一元线性回归一元线性回归 最小二乘法：基本原理最小二乘法：基本原理找到一条最佳的拟合找到一条最佳的拟合曲
23、线，这条拟合曲线曲线，这条拟合曲线上各个相应点的值与上各个相应点的值与测量值之差（误差）测量值之差（误差）的平方和在所有拟合的平方和在所有拟合曲线中是最小的曲线中是最小的y yx xY YA A量程量程0 0拟合直线拟合直线222111nnniiiiiiiiyyya bx 3810.4 一元线性回归一元线性回归222111nnniiiiiiiiyyyabx21(,)niiiQ a bya bx 对对a,b取偏导数等于零，则取偏导数等于零，则2()0iinQyabxa （1）2()0iiinQyabx xb （2）由（由（1），得），得iinayb x iiyxabybxnn 由（由（2），得）
24、，得20iiiix ya xb x 221()()1()iiiiiix yxynbxxn2()iiixxyyxx3910.4 一元线性回归一元线性回归iiyxabybxnn2()iiixxyybxxxyiiSxxyy 2()xxiSxx 记记xyxxSbS?v如何判断回归结果如何判断回归结果xyxxyySS S越大线性关系越好越大线性关系越好40考核及成绩考核及成绩考试有关问题考试有关问题考试类型考试类型 填空（填空（20分）分）名词解释（名词解释（20分）分）简答（简答（40分）分）计算题（计算题（20分）分）考试时间考试时间4月月26号号 星期五晚上星期五晚上期末考试：期末考试：70试验：试验：20（预习操作报告）（预习操作报告）课堂表现及作业：课堂表现及作业：10
