1、第八节解三角形,总纲目录,教材研读,2.实际问题中的常用角,考点突破,3.解关于解三角形的应用题的一般步骤,考点二测量高度问题,考点一测量距离问题,考点三测量角度问题,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.,教材研读,2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平线上方的角叫仰角,目标视线在水平线下方的角叫俯角(如图甲).,(2)方向角一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北偏西45等.(3)方位角从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的方位角为(如图乙).(
2、4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比),3.解关于解三角形的应用题的一般步骤(1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算等的要求.,1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40的方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为?()?A.a kmB.?a kmC.?a kmD.2
3、a km,B,答案B在ABC中,ACB=180-(20+40)=120,AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120=a2+a2-2a2?=3a2,AB=?a(km),故选B.,答案A对于,由正弦定理可确定A,B间的距离;对于,由余弦定理可确定A,B间的距离;对于,不能确定A,B间的距离,故选A.,A,3.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60,30,则A点离地面的高度AB等于?()?A.?B.?C.?aD.,答案B因为D=30,ACB=60,所以CAD=30,故CA=CD=a,所以AB=asin 60=?.,B,4.一船自西向东匀速航行
4、,上午10时到达灯塔P的南偏西75,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度为海里/小时.,答案,解析如图,由题意知MPN=75+45=120,PNM=45.?在PMN中,?=?,MN=68?=34? 海里.,又由M到N所用的时间为14-10=4小时,此船的航行速度v=?=? ?海里/小时.,5.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部所连的线成30角,则两条船相距m.,5.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角
5、分别为45和60,而且两条船与炮台底部所连的线成30角,则两条船相距m.,答案10,10,解析由题意画示意图,如图,?OM=AOtan 45=30(m),ON=AOtan 30=?30=10?(m),在MON中,由余弦定理得,MN=?=?=10?(m).,典例1(1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于?()?A.240(?-1)mB.180(?-1)mC.120(?-1)mD.30(?+1)m,考点一测量距离问题,考点突破,(2)如图,某观测站C在城A的南偏西20的方向上,从城A出发有一条走向为南偏东40的公路,在C
6、处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离为21 km,这时此车距离A城千米.,答案(1)C(2)15,解析(1)如图,ACD=30,ABD=75,AD=60 m,在RtACD中,CD=?=?=60? m,在RtABD中,BD=?=?=?=60(2-?)m,BC=CD-BD=60?-60(2-?)=120(?-1)m.?(2)在BCD中,BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,由余弦定理得cos,BDC=?=?=-?,所以cosADC=?,所以sinADC=?.在ACD中,CD=21 km,CAD=60,
7、所以sinACD=sin(60+ADC)=?+?=?.由正弦定理得?=?,所以AD=?=15 km.,方法技巧求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题;(2)明确所求的距离在哪个三角形中,有几个已知元素;(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(对于解答题,应作答).,1-1设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB=45,CAB=105,则可以计算出A,B两点间的距离为?()?A.50? mB.50? mC.25? mD.? m,A,答案A由题意,易得B=30.由正弦定理,得?=?,AB=?=?=50?(m).,100,答案1
8、00,解析依题意有AB=600 m,CAB=30,CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB.ACB=45,在ABC中,由?=?,得?=?,解得CB=300? m,在RtBCD中,CD=CBtan 30=100? m,则此山的高度CD为100? m.,易错警示解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念.(2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平
9、面图形的结合.,2-1在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60,则塔高是?()A.? 米B.? 米C.200? 米D.200米,A,答案A如图所示,AB为山高,CD为塔高,则由题意知,在RtABC中,BAC=30,AB=200米.?则AC=?=?(米).在ACD中,CAD=60-30=30,ACD=30,ADC=120.由正弦定理得?=?,CD=?=?(米).,解析如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x小时,?则AC=14x(n mile),BC=10x(n mile),ABC=120.,根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xco
10、s 120,解得x=2(负值舍去).故AC=28 n mile,BC=20 n mile.根据正弦定理得?=?,解得sin =?=?.所以,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时间为2小时,角的正弦值为?.,易错警示解决测量角度问题的注意事项(1)明确方向角的含义;(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步;(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的综合运用.,3-1如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向,相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线前往B处救援,求cos 的值.,解析在ABC中,AB=40海里,AC=20海里,BAC=120,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,所以BC=20?海里.由正弦定理,得sinACB=?sinBAC=?.由BAC=120,知ACB为锐角,故cosACB=?.故cos =cos(ACB+30)=cosACBcos 30-sinACB sin 30=?.,
