1、,30.2 二次函数的图像和性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优九年级数学下（JJ） 教学课件,第1课时 二次函数y=ax的图像和性质,第三十章 二次函数,学习目标,1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax的图像，概括出图像的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax的二次函数图像的性质，并会应用.（难点）,导入新课,情境引入,讲授新课,例1 画出二次函数y=x2的图像.,9,4,1,0,1,9,4,典例精析,1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：,2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）,3.
2、连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图像,-3,3,o,3,6,9,当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：,x,y,二次函数y=x2的图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.,这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴.,对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点.,练一练：画出函数y=-x2的图像.,根据你以往学习函数图像性质的经验，说说二次函数y=x2的图像有哪些性质，并与同伴交流.,x,o,y=x2,议一议,1.yx2是一条抛物线; 2.图像开口向上; 3.图像关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图像有最低点,y,说说二次函数y=-x2的图
3、像有哪些性质,与同伴交流.,o,x,y,y=-x2,1.y-x2是一条抛物线; 2.图像开口向下; 3.图像关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图像有最高点,1. 顶点都在原点;,3.当a0时，开口向上； 当a0时，开口向下,二次函数y=ax2 的图像性质：,知识要点,2. 图像关于y轴对称;,观察下列图像，抛物线y=ax2与y=-ax2（a0)的关系是什么？,二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.,x,y,O,y=ax2,y=-ax2,交流讨论,二次函数y=ax2的性质,问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？,对于抛物线 y = ax 2 （a0） 当x0
4、时，y随x取值的增大而增大； 当x0时，y随x取值的增大而减小.,知识要点,问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？,对于抛物线 y = ax 2 （a0） 当x0时，y随x取值的增大而减小； 当x0时，y随x取值的增大而增大.,知识要点,解：分别填表，再画出它们的图像，如图,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图像,思考1：从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？,当a0时，a越大，开口越小.,练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图像,-8,-4.5,-2,-0.5,0,-8,-4
5、.5,-2,-0.5,-8,-4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,当a0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.,思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？,对于抛物线 y = ax 2 ，a越大，抛物线的开口越小,位置开 口方向,对称性,顶点最值,增减性,开口向上,在x轴上方,开口向下,在x轴下方,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称，对称轴是直线x0,顶点坐标是原点（0，0）,当x=0时，y最小值=0,当x=0时，y最大值=0,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,知识要点,例1 已知二次函数y=x2 （1）判断点A（2，4）在二次
6、函数图像上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=x2的图像上吗？,典例精析,（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？,解：（1）当x=2时，y=x2=4， 所以A（2，4）在二次函数图像上；,（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；,（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；,（3）点B、C、D在二次函
7、数y=x2的图像上吗？在二次函数y=x2的图像上吗？,当x=2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图像上； 当x=2时，y=x2=4， 所以B点在二次函数y=x2的图像上； 当x=2时，y=x2=4， 所以D点在二次函数y=x2的图像上,已知 是二次函数，且当x0时，y随x增大而增大，则k= .,分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，,解得 k=2,2,练一练,例3. 已知二次函数y2x2. (1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图像上，则y1_y2； (填“”“”或“”)； (2)如图
8、，此二次函数的图像经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图像上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和,分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解； (2)由于函数图像经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图像关于y轴对称求出OAOB，即图像左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积,(2)解：二次函数y2x2的图像经过点B， 当x2时，y2228. 抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它 们的对称轴， OAOB， 在长方形ABCD内，左边阴影部分面积
9、等于右边空白部分面积，S阴影部分面积之和2816.,二次函数yax2的图像关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图像中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图像中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解,方法总结,当堂练习,1.函数y=2x2的图像的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 .,2.函数y=-3x2的图像的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而
10、 .,向上,向下,y轴,y轴,(0,0),(0,0),减小,减小,增大,增大,x,x,y,y,O,O,3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图像,则k的取值范围是 .,k1,4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：,向上,向下,向下,向上,y轴,y轴,y轴,y轴,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,O,5.若抛物线y=ax2 （a 0），过点（-1，2）. （1）则a的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在x轴的 方（除顶点外）. (4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1x20, 则y1 y2
11、.,2,y轴,向上,（0,0）,小,上,6.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围,解：二次函数y=x2， 当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， 当xm时，y最小值=0， m0,7.已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积,解：由题意得 解得 所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1) 直线y3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4. SACO CO48，SBOC 412， SABOSACOSBOC10.,课堂小结,二次函数y=ax2的图像及性质,画法,描点法,以对称轴为中心对称取点,图像,抛物线,轴对称图形,性质,重点关注4个方面,开口方向及大小,对称轴,顶点坐标,增减性,见学练优本课时练习,课后作业,
