1、第五章 不定积分第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质第二节第二节 不定积分的基本积分公式与性不定积分的基本积分公式与性质质第三节第三节 换元积分法换元积分法第四节第四节 分部积分法分部积分法第五节第五节 简单有理分式函数的积分简单有理分式函数的积分第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、简单的不定积分问题举例二、简单的不定积分问题举例v 定义定义1 设函数设函数f 与与F 在区间在区间I上有定义，若上有定义，若则称则称F为为f 在区间在区间I上的一个原函数上的一个原函数一、原函数与不定积分的概念()()()(),F xf xdF x
2、f x dxx I或n问题：（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？）什么条件下，一个函数的原函数存在？（2）任意两个原函数之间有什么关系？）任意两个原函数之间有什么关系？任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量 )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间),0(内的原函数内的原函数.二、简单的不定积分问题举例第二节 不定积分的基本积分公式与性质一、基本积分表一、基本积分表二、不定积分的性质二、不定积分的性质一、基本积分表二、不定积分的性质第三节 换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法）一、第一换元积分法（凑微分法）二、第二换
3、元积分法二、第二换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()(dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.常用的微分形式常用的微分形式二、第二换元积分法例例1 1 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t例例2 2 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2,0ttdttadxtansec dxax221dttatta t
4、antansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 说明说明以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 第四节 分部积分法问题问题?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,vuvuuv ,vuuvvu ,
5、dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式例例2 2 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式第五节 简单有理分式函数的积分两个多项式的商表示的函数称为有理函数两个多项式的商表示的函数称为有理函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中 都是非负整数；都是非负整数；及及 都是实数，并且都是实数，并且 .nm,naaa,10nbbb,100,000 ba假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和分式之和.1)简单分式的积分法2)化有理真分式为简单分式3)有理函数的积分法
