1、江苏省南京市江宁区2018-2019学年高二数学下学期期末学情调研卷（含解析）一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合，则集合_.【答案】【解析】【分析】根据集合,，求出两集合的交集即可【详解】,故答案为【点睛】本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题。2.已知为虚数单位，则复数_.【答案】【解析】【分析】由复数乘法法则即可计算出结果【详解】.【点睛】本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_.【答案】7【解析】第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;结束循环，输出考点：循
2、环结构流程图4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_【答案】【解析】试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则一次取出2只球，基本事件为、共6种，其中2只球的颜色不同的是、共5种；所以所求的概率是考点：古典概型概率5.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有_辆.【答案】150【解析】【分析】先计算出速度在以下的频率，然后再计算出车辆的数量【详解】因为速度在以下的频率为，所以速度在以下的汽车有.【点睛】本题
3、考查了频率分布直方图的应用求解实际问题，先计算出频率，然后再计算出结果，较为简单6.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】对数函数的定义域满足真数要大于零【详解】由，解得，故定义域为.【点睛】本题考查了对数的定义域，只需满足真数大于零即可，然后解不等式，较为简单7.设函数（，为常数，且，）的部分图象如图所示，则_.【答案】【解析】【分析】由图像可以计算出，的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果【详解】由图可知：，由，得，从而.将点代入，得，即，又，所以，得.所以.【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础8.记等差数列的前项和为，若，则_【答案】
4、14【解析】【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=4，d=2，由此能求出S7【详解】等差数列an的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，解得a1=4，d=2，S7=7a1+=28+42=14故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为_.【答案】【解析】【分析】由题意计算出抛物线焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标，运用双曲线知识求出的值，即可得到渐近线方程【详解】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的半焦距，解
5、得，故其渐近线方程为，即.【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，结合题意分别计算出焦点坐标和的值，然后可得渐近线方程，较为基础10.已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为_.【答案】【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得：.点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.如图，在梯形中，如果，则_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以考点
6、：向量数量积12.定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为_.【答案】【解析】【分析】画出奇函数的图像，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和【详解】由，得，则的零点就是的图象与直线的交点的横坐标.由已知，可画出的图象与直线（如下图），根据的对称性可知：，同理可得，则从而，即与的交点的横坐标.由，解得，即的所有零点之和为.【点睛】本题考查了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数交点问题，需要画出函数的图像并结合函数的性质来解答，本题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题13.在平面直角坐标系中，曲线在处的切线为，则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.【
7、答案】【解析】【分析】由题意先求出切线为的直线方程，可得直线恒过定点，在满足题意与直线相切的所有圆中计算出圆半径，即得圆的标准方程【详解】因为，所以，当时，即切点为，切线斜率，则的方程为，即，所以直线恒过定点.又直线与以点为圆心的圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，又当时，最大，所以，故所求圆的标准方程为.【点睛】本题考查了求与直线相切的圆的标准方程，需先求出切线方程，解题关键是理解题意中半径最大的圆，即圆心与定点之间的距离，需要具有转化的能力14.设，关于的不等式在区间上恒成立，其中，是与无关的实数，且，的最小值为1.则的最小值_.【答案】【解析】【分析】化简，结合单调性及题意计算出，的
8、表达式，由的最小值为1计算出结果【详解】因为，所以在上单调递增，又关于的不等式在上恒成立，所以，因为的最小为1，所以，即，所以，当且仅当，即时取“”，即的最小值为.【点睛】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，所对的边分别为，.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)运用余弦定理计算出的值(2)由正弦定理计算出的值，运用两角和的正弦公式计算出结果【详解】（1）解
9、：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.（2）解：由正弦定理，得.因为，得，所以，故【点睛】本题考查了运用正弦定理、余弦定理解三角形，熟练运用公式来解题，较为简单16.三棱锥中，平面平面，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意证得，由线面平行的结论有平面 ；(2)利用题意可得：，结合线面垂直的结论则有平面试题解析：（1），分别为，的中点 平面，平面平面 （2），为的中点 平面平面，平面平面，平面平面 平面 ， 平面，平面，平面 点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果
10、一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”17.为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，是其中心，是椭圆的长轴，是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在上选两点，使，沿、铺设管道，设，若，（1）求管道长度关于角的函数及的取值范围；（2）求管道长度的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)由三角函数值分别计算出、的长度，即可求出管道长度的表达式，求出的取值范围(2)由(1)得管道长度的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值【详解】解：（1）因为，所以，其中，.（2）由，得，令，当时，函数增函数；当时，函数为减函数.所以，当，即时，答：管道长度的最小
11、值为.【点睛】本题考查了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法18.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.椭圆的左顶点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于另一点.若直线交轴于点，且，求直线的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意中椭圆离心率和点在椭圆上得到方程组即可求出椭圆方程(2)由题意设直线斜率，分别求出、的表达式，令其相等计算出直线斜率【详解】解：（1）由题意知：解得：，所以，所求椭圆方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设为，过点，则的方程为：，联立方程组，消去整理得：，令，由，
12、得，将代入中，得到，所以，由，得：，解得：，.所以直线的斜率为.【点睛】本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在解答过程中运用设而不求的方法，设出点坐标和斜率，联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式计算出长度，从而计算出结果，需要掌握解题方法19.若各项均为正数的数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若正项等比数列，满足，求；（3）对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）见解析；（3）【解析】【分析】(1)先计算出的值，由，推出数列为等差数列，继而得到数列通项公式(2)先求出等比数列的通项公式，运用错位相减法计算出的值(3)讨论为偶数和奇
13、数时两种情况，分别求出满足要求的实数的取值范围，即可得到结果【详解】解：（1）因为，且，由得，又，所以，因为，所以，所以，所以是公差为2的等差数列，又，所以.（2）设的公比为，因为，所以（舍）或，.记，所以.（3）不等式可化为.当为偶数时，记，所以.，时，时，即，时，递增，即，当为奇数时，记，所以.，时，时，即，时，递减，所以综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题考查了求数列的通项公式，运用错位相减法求数列的和以及恒成立问题，在求解通项公式时可以运用 的方法，需要掌握错位相减法等求数列的和，在解答恒成立问题时将其转化为函数问题，注意分类讨论20.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若
14、不等式对于任意恒成立，求正实数的取值范围.【答案】(1) 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. (2) 【解析】【分析】(1)对函数求导得到，讨论a和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意，有成立，设，所以，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.【详解】（）函数的定义域为 若，则 当或时，单调递增； 当时，单调递减； 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增 （）原题等价于对任意，有成立，设，所以 令，得；令，得 函数在上单调递减
15、，在上单调递增， 为与 中的较大者 设 ，则， 上单调递增，故，所以，从而 ，即设 ，则所以在上单调递增又，所以的解为 ， 的取值范围为【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.21.已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】【分析】运用矩阵定义列出方程组
16、求解矩阵【详解】由特征值、特征向量定义可知，即，得同理可得解得，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大【答案】【解析】【分析】将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，运用点到直线的距离公式计算出最大值【详解】化简为，则直线的直角坐标方程为.设点的坐标为，得到直线的距离，即，所以：.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，运用点到直线的距离公式计算出最值问题
17、，较为基础，需要掌握解题方法23.已知，是正数，求证：.【答案】见证明【解析】【分析】运用基本不等式即可证明【详解】证明：因为，是正数，所以.所以.即.当且仅当，时取等号【点睛】本题考查了基本不等式，较为简单，注意需要满足“一正二定三相等”的条件24.如图，平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】可以以为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，写出的空间坐标，通过证明得证平面通过求平面和平面的法向量得证二面角的余弦值。【详解】（1）根据题意，建立以为轴、为轴、为轴的空间直角坐标系，则， ，因为，所以因为平面，且， 所以平面 （2）设
18、平面的法向量为，则因，所以令，则所以是平面的一个法向量 因为平面，所以是平面的法向量所以由此可知，与的夹角的余弦值为根据图形可知，二面角的余弦值为。【点睛】在计算空间几何以及二面角的时候，可以借助空间直角坐标系。25.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.【答案】（1）E=；（2）【解析】试题分析：（1）抛掷5次的得分可能为，且正面向上和反面向上的概率相等，都为，所以得分的概率为，即可得分布列和数学期望；（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面，因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，即求得恰好得到分的概率试题解析：（1）所抛5次得分的概率为，其分布列如下（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即于是是以为首项，以为公比的等比数列所以，即恰好得到分的概率是考点：等可能事件的概率；分布列和数学期望；“恰好”事件的概率
