1、公众号码：王校长资源站12.3离散型随机变量的分布列及期望、方差最新考纲考情考向分析1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列2.了解超几何分布，并能进行简单应用3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中低档.1离散型随机变量如果随机变量X
2、的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率为p1，p2，pn，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质：pi0_(i1,2,3，n)；p1p2pn1；P(xixxj)pipi1pj.3常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布(2)超几何分
3、布设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(nN)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当Xm时的概率为P(Xm)(0ml，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布4离散型随机变量的数学期望与方差设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，xn，这些值对应的概率是p1，p2，pn.(1)数学期望称E(X)x1p1x2p2xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平(2)方差称D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xn
4、E(X)2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差5期望与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)概念方法微思考1随机变量和函数有何联系和区别？提示区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域2离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？提示代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的3
5、如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？提示可用pi0，i1,2，n及p1p2pn1检验4随机变量的期望、方差与样本期望、方差的关系是怎样的？提示随机变量的期望、方差是一个常数，样本期望、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的期望、方差趋于随机变量的期望与方差题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布()(4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的
6、概率之和可以小于1.()(5)随机变量的期望是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定()(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离期望的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()题组二教材改编2设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p为()A. B. C. D.答案C解析由分布列的性质知，p1，p1.3已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A. B4 C1 D1答案A解析E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33.4有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_答案0,1,2,3解析因为次
7、品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.题组三易错自纠5袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A至少取到1个白球B至多取到1个白球C取到白球的个数D取到的球的个数答案C解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.6一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为_答案解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X4).题型一分布列的求法例1 设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时
8、，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；(2)求他所耗用的子弹数X的分布列解记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)，P(k)，k1,2,3,4,5.(1)方法一他前两发子弹只命中一发的概率为P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2).方法二由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为PC.(2)X的所有可能值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(1 2)，P(X3)P(A12 3)P(1A2A3)22，P(X4)P(A1
9、2A3A4)P(1A23 4)33，P(X5)P(A12A34)P(1A23A4)2222.故X的分布列为X2345P思维升华 求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识跟踪训练1 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100
10、元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P题型二期望与方差例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上
11、，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300150PE(X1)300(150)200.若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为X25003000PE(X2)500(300)0200.D(X1)(300200)2(150200)235 000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.E(X1)E(X2)，D(X1)0，所以a1，所以E(X)01.故选C.2设随机变量X的分
12、布列如下，则P(|X2|1)等于()X1234PmA. B. C. D.答案C解析由m1，得m，所以P(|X2|1)P(X1)P(X3).故选C.3有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字和为X，则X8的概率是()A. B. C. D.答案C解析由题意知，X的取值为6,9,12，又P(X9)，P(X12)，所以X8的概率为，故选C.4设随机变量的分布列为Pak(k1,2,3,4,5)，则P等于()A. B. C. D.答案C解析由题意知，分布列为1Pa2a3a4a5a由分布列的性质可得，a2a3a4a5a1，解得a.所以PPPP.故选C.5一个
13、袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是()A. B. C. D.答案A解析记得分为X，则X的可能取值为5,6,7,8，P(X7)；P(X8)，所以P(X6)P(X7)P(X8).6设X是一个离散型随机变量，其分布列为X101P23qq2则q等于()A1 B.C. D.答案C解析23qq21，q23q0，解得q.又由题意知0q2，q.7口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为_答案X345P0.10.30.6解析X的取值为3,4,5.又P(X3
14、)0.1，P(X4)0.3，P(X5)0.6.所以X的分布列为X345P0.10.30.68.随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_，公差d的取值范围是_答案解析a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，d.9在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数的分布列为_答案012P解析的所有可能值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列为012P10.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年
15、后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则估计该公司一年后可获收益的期望是_元答案4 760解析由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利25 000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是6 0000.96(25 000)0.044 760(元)11为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行
16、送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及期望解(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为2.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0,1,2，P(X1)P(A)P(B)，P(X2)P(C)，P(X0)P(D)，X的分布列为X012PE(X)012.12(2018大连模拟)某超市计划按月订购一
17、种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关，如果最高气温不低于25 ，需求量为600桶，如果最高气温(单位：)位于区间20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20 ，需求量为200桶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温()10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位
18、：桶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n(单位：桶)为多少时，Y的期望取得最大值？解(1)由已知得，X的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20 为事件A1，最高气温(单位：)位于区间20,25)为事件A2，最高气温不低于25 为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知P(X200)P(A1)，P(X400)P(A2)，P(X600)P(A3)，故六月份这种冰激凌一天的需求量X(单位：桶)的分布列为X200400600P(2)由题意得，当n200时，E(Y)2n400；当200n400时，E(
19、Y)2002(n200)(2)n2n160(400,640；当400600时，E(Y)2002(n200)(2)4002(n400)(2)6002(n600)(2)1 7602n560，所以当n400时，Y的期望取得最大值640.13已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结
20、果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望解(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA，此种情况的概率为；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为.(2)设用方案甲化验需要的化验费为(单位：元)，则的可能取值为10,18,2
21、4,30,36.P(10)，P(18)，P(24)，P(30)，P(36)，则化验费的分布列为1018243036P所以E()1018243036(元)14为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x)、推理(能力指标y)、建模(能力指标z)的相关性，并将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标wxyz的值评定学生的数学核心素养：若w7，则数学核心素养为一级；若5w6，则数学核心素养为二级；若3w4，则数学核心素养为三级为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：学生编号A1A2A3A4A5(x，y，z)(2,2,3)(3,2,2)(3,3,3)(1,
22、2,2)(2,3,2)学生编号A6A7A8A9A10(x，y，z)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(2,1,1)(2,2,2)(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量Xab，求随机变量X的分布列及期望解(1)由题意可知，建模能力指标为1的学生是A9；建模能力指标为2的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力指标为3的学生是A1，A3，A6，A8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则P(A).(2)由题意可知，数
23、学核心素养等级是一级的有A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养等级不是一级的有A4，A7，A9，A10.X的所有可能取值为1,2,3,4,5.P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5).随机变量X的分布列为X12345PE(X)12345.15设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，2，则随机变量的期望是_答案解析的可能取值为0，1,2，则P(0)，P()，P(1)，P(2).的分布列为012PE()012.16设0p1，随机变量的分布列是012P则当p在(0,1)内增大时，()AD()减小 BD()增大CD()先减小后增大 DD()先增大后减小答案D解析由题意知E()012p，D()2222222222p2p(2p1)p2p2，D()在上单调递增，在上单调递减，即当p在(0,1)内增大时，D()先增大后减小故选D.公众号码：王校长资源站
