1、专题 ：圆锥曲线的综合 2020 年 02 月 09 日 一. 选择题 1. 已知抛物线 y2= ax(a 0) 的准线与双曲线C：x 2 8 y2 4 = 1 的两条渐近线所围成的三角形面积为 22，则实 数 a 的值为为() A. 8B. 6C. 4D. 2 2. 已知抛物线C：y2= 2px(p 0) 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，M 是抛物线C 上的点，且 MFx 轴， 若以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2，则 p =() A. 2B. 22C. 4D. 42 3. 已知抛物线 x2= ay 的焦点恰好为双曲线 y2x2= 2 的上焦点，则 a =()
2、 A. 1B. 4C. 8D. 16 4. 已知两定点 A(0，2)，B(0，2)，点 P 在椭圆 x2 12 + y2 16 = 1 上，且满足 PAPB = 2，则 # PA # PB =() A. 9B. 9C. 12D. 12 5. 已知离心率 e 为 5 2 的双曲线 C： x2 a2 y2 b2 = 1(a 0，b 0) 的右焦点为 F，O 为坐标原点，以 OF 为直径 的圆与双曲线 C 的一条渐近线相交于 O，A 两点若 AOF 的面积为 2，则实数 a 的值为() A. 2B. 22C. 4D. 8 6. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1，F
3、2，这两条曲线在第一象限的 交点为 P，PF1F2PF1为底边的等腰三角形若 PF1= 12，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2 的取值范围是() A. 1 2，+ B. 1 3，+ C. 1 5，+ D. 1 9，+ 7. 已知圆C1：x2+y2= b2与椭圆C2：x 2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0)，若在椭圆C2上存在一点 P，使得由点 P 所作的 圆 C1的两条切线互相垂直，则椭圆 C2的离心率的取值范围是() A. 2 2 ， 3 2 B. 1 2，1 C. 3 2 ，1 D. 2 2 ，1 8. 已知椭圆C1：x 2 a2 1 + y2 b2 1 =
4、 1(a1 b1 0) 与双曲线C2：x 2 a2 2 y2 b2 2 = 1(a2 0，b2 0) 有相同的焦点 F1，F2，若 点 P 是C1与C2在第一象限内的交点，且 F1F2= 2PF2，设C1与C2的离心率分别为 e1，e2，则 e2e1的取 值范围是() A. 1 3，+ B. 1 3，+ C. 1 2，+ D. 1 2，+ 二. 填空题 9. 直线 y = kx1 和双曲线 x2y2= 1 的左、右两支各交于一点，则实数 k 的取值范围是. 10. 已知离心率 e = 52 的双曲线 C：x2 a2 y2 b2 = 1(a 0，b 0) 的右焦点为 F，O 为坐标原点，以 OF
5、 为直径 的圆与双曲线 C 的一条渐近线相交于 O，A 两点若 AOF 的面积为 1，则实数 a 的值为. 11. 已知直线 l：y = kx+t 与圆C1：x2+(y+1)2= 2 相交于 A，B 两点，且 C1AB 的面积取得最大值，又直线 l 与抛物线 C2：x2= 2y 相交于不同的两点 M，N，则实数 t 的取值范围是. 12. 设 F1， F2为椭圆C1：x 2 a2 1 + y2 b2 1 =1(a1b10) 与双曲线C2的公共左、 右焦点， 椭圆C1与双曲线C2在第一象 限内交于点 M， MF1F2是以线段 MF1为底边的等腰三角形， 且 MF1=2. 若椭圆C1的离心率 e1
6、 5 14， 2 5 ， 则双曲线 C2的离心率 e2的取值范围是. 三. 解答题 13. 如图，在平面直角坐标系 4xOy 中，已知椭圆C：x 2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的左焦 点为 F，右顶点为 A，动点 M 为右准线上一点 (异于右准线与 x 轴的交点)设 线段 FM 交椭圆 C 于点 P，已知椭圆 C 的离心率为 2 3，点 M 的横坐标为 9 2. (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 设直线 PA 的斜率为 k1，直线 MA 的斜率为 k2，求 k1k2的取值范围 14. 如图，已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的左、右焦点分别为
7、F1，F2，P 是椭圆 上一点，M 在 PF1上，且满足 # F1M = # MP( R)，POF2M，O 为坐标原点 (1) 若椭圆的方程为 x2 8 + y2 4 = 1，且 P(2，2)，求点 M 的横坐标； (2) 若= 2，求椭圆的离心率 e 的取值范围 15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的焦距为 2. (1) 若椭圆C 经过点 6 2 ，1 ，求椭圆 C 的方程； (2) 设 A(2，0)，F 为椭圆C 的左焦点，若椭圆C 存在点 P，满足 PA PF = 2，求椭圆C 的离心率的取值范围 参考答案解析 一、 选
8、择题 1. A 解析：抛物线 y2ax(a0)的准线为 xa 4，双曲线 C： x2 8 y2 41 的两条渐近线为 y 2 2 x，可 得两交点为 a 4， 2a 8 ， a 4， 2a 8 ，即三角形的面积为1 2 a 4 2a 4 2 2，解得 a8，故选 A. 2. B 解析：把 xp 2代入 y 22px 可得 y p，不妨设 M 在第一象限，则 M p 2，p . 又 A p 2，0 ，所以直线 AM 的方程为 yx p 2，即 xy p 20， 所以原点 O 到直线 AM 的距离 d p 2 2 2p 4 . 因为以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2，所以p 2 4
9、 p 2 8 1，解得 p2 2.故选 B. 3. C 解析：依题意可得，抛物线 x2ay 的焦点为 0，a 4 ，双曲线 y2x22 的焦点为(0， 2) 因为拋物线 x2ay 的焦点恰好为双曲线 y2x22 的上焦点，所以a 42，即 a8.故选 C. 4. B 解析：由 PAPB2，可得点 P(x，y)的轨迹是以两定点 A，B 为焦点的双曲线的上支，且 2a 2，c2，所以 b 3，所以 P 的轨迹方程为 y2x 2 31(y0) 把x 2 12 y2 161 和 y 2x 2 31 联立可解得 x 29，y24， 则PA PB(x，y2) (x，y2)x2y249449.故选 B. 5
10、. B 解析：因为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与 双曲线 C 的一条渐近线相交于 O，A 两点，所以 FAOA， 所以 FAb，OAa，所以三角形面积 S1 2ab2. 双曲线离心率 e1b 2 a2 5 2 ，所以b 2 a2 1 4，解得 a2 2，b 2.故选 B. 6. B 解析：设椭圆和双曲线的半焦距为 c，PF1m，PF2n(mn) 由于PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若 PF112，即有 m12，n2c. 由椭圆的定义可得 mn2a1，由双曲线的定义可得 mn2a2，即有 a16c，a26c(c1
11、2，可得 c3，即有 31，所以 0 1 e2 1 2.故 e2e1 的取值范围为 1 2， .故选 D. 二、 填空题 9. (1,1) 解析：设两个交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立直线与双曲线 ykx1， x2y21， 化简得(1k2)x22kx20(1k20) 因为直线 ykx1 和双曲线 x2y21 的左、右两支各交于一点， 所以两个交点的横坐标符号相反，即 x1x2 2 1k20， b20)， 由题意知 MF12， F1F2MF22c， 其中 c2a22b22a21b21，又根据椭圆与双曲线的定义得 MF1MF22a1， MF1MF22a2， 则 22c2a1
12、， 22c2a2， 即 a1a2 2c.其中 2a1,2a2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长所以 1 e1 1 e22.因为椭圆的离心率 e1 5 14， 2 5 ， 所以 1 e2 1 e12 1 2， 4 5 .所以 e2 5 4，2 ，即双曲线 C2的离心率的取值范围是 5 4，2 . 三、 解答题 13. 解析：(1) 由已知，得 c a 2 3， a2 c 9 2， 解得 a3， c2， 所以 a29， b25， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 9 y2 51. (2) 设点 P(x1，y1)(2x13)，点 M 9 2，y2 . 因为点 F，P，M 三点共线，x12，所以 kF
13、PkFM，即 y1 x12 y2 13 2 ，y2 13y1 2x12， 所以点 M 9 2， 13y1 2x12 . 因为 k1 y1 x13，k2 13y1 3x12， 所以 k1k2 y1 x13 13y1 3x12 13y21 3x12x13. 因为点 P 在椭圆 C 上，所以x 2 1 9 y21 51， 所以 y215 9(x 2 19) 所以 k1k2 13 5 9 x219 3x12x13 65 27 x13 x12 65 27 1 1 x12 . 因为2x13，所以 k1k226 9 ，所以 k1k2的取值范围是 ，26 9 . 14. 解析：(1) 因为椭圆的方程为x 2
14、8 y2 41，所以 F1(2,0)，F2(2,0) 又 P(2， 2)，所以 kOP 2 2 ，kF2M 2，kF1M 2 4 ， 所以直线 F2M 的方程为 y 2(x2)，直线 F1M 的方程为 y 2 4 (x2) 由 y 2x2， y 2 4 x2， 解得 x6 5.所以点 M 的横坐标为 6 5. (2) 设点 P(x0，y0)(y00)，M(xM，yM) 因为F1M 2MP ，所以F1M 2 3(x0c，y0)(xMc，yM)， 所以 M 2 3x0 1 3c， 2 3y0 ，F2M 2 3x0 4 3c， 2 3y0 . 因为 POF2M，OP (x0，y0)，所以2 3x 2
15、 04 3cx0 2 3y 2 00，即 x 2 0y 2 02cx0. 联立方程组 x20y202cx0， x20 a2 y20 b21， 消去 y0，得 c2x202a2cx0a2(a2c2)0. 解得 x0aac c 或 x0aac c . 因为ax0a，所以 x0aac c (0，a)， 所以 0a2acac，解得1 2e1. 所以椭圆的离心率 e 的取值范围为 1 2，1 . 15. 解析：(1) 依题意可得 2c2c1，所以 a2b21. 将点 6 2 ，1 代入椭圆方程可得 3 2a2 1 b21. 所以 a2b21， 3 2a2 1 b21， 解得 a23， b22. 所以椭圆方程为x 2 3 y2 21. (2) 可知 F(1,0)，设 P(x0，y0)，可知x 2 0 a2 y20 b21. 由PA PF 2可得 PA 22PF2. 所以(x02)2y202(x01)2y20，整理可得 x20y202. 联立方程 x20y202， x20 a2 y20 b21， a2b21， 解得 x202a2a2b22a2a2(a21)a2(3a2) 因为 x0a，a，所以 x20a2，即 0a2(3a2)a2.所以 2a23 2a 3. 所以 ec a 1 a 3 3 ， 2 2 .
