1、专题05 三角形中位线重难突破三角形中位线1三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 3相关结论：顺次连接任意四边形中点所得到的四边形是平行四边形.（连接原四边形一条对角线，由中位线定理可证）4拓展：梯形的中位线等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）过三角形一边的中点作另一边的平行线，与第三边交于一点，则这两点之间的线段为三角形的中位线.如图，过ABC的边AB的中点作平行于边BC的直线，交边AC于点E，则DE为ABC的中位线.典例1（2018春定兴县期末）如图所示，已知P
2、、R分别是四边形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么EF的长（）A逐渐增大B逐渐变小C不变D先增大，后变小【答案】C【解析】解：E、F分别是PA、PR的中点，EF=12AR，EF的长不变，故选：C【点睛】根据三角形中位线定理得到EF=12AR，判断即可本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键典例2（2018春柳州期末）在RtABC中，ACB90，AE，BD是角平分线，CMBD于M，CNAE于N，若AC6，BC8，则MN_【答案】2【解析】解：延长CM交AB于G，延长CN交AB于H
3、，ACB90，AC6，BC8，AB10，在BMC和BMG中，BMCBMG，BGBC8，CMMG，AG2，同理，AHAC6，CNNH，GH4，MN=12GH2，故答案为：2【点睛】延长CM交AB于G，延长CN交AB于H，证明BMCBMG，得到BGBC8，CMMG，同理得到AHAC6，CNNH，根据三角形中位线定理计算即可典例3（2018春成都期末）已知：如图，AD、BE分别是ABC的中线和角平分线，ADBE，ADBE2，则AC的长等于_【答案】见解析【解析】解：过D点作DFBE，AD是ABC的中线，ADBE，F为EC中点，ADDF，ADBE2，则DF1，AF=22+12=5，BE是ABC的角平分
4、线，ADBE，ABGDBG，G为AD中点，E为AF中点，AEEFCF，AC=32AF=352故答案为：352【点睛】过D点作DFBE，则DF=12BE1，F为EC中点，在RtADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC=32AF典例4（2018春吉州区期末）如图，在ABC中，已知AB6，AC10，AD平分BAC，BDAD于点D，E为BC中点求DE的长【答案】见解析【解析】解：如图，延长BD与AC相交于点F，AD平分BAC，BDAD，DABDAF，ADAD，ADBADF，ADBADF，AFAB，BDDF，AB6，AC10，CFACAFACAB1064，E为BC中
5、点，DE是BCF的中位线，DE=12CF=1242【点睛】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BDDF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=12CF，然后求解即可 典例5（2018春濮阳期末）已知等边三角形ABC的边长为a分别以这个三角形的三边中点为顶点作一个三角形，记为A1B1C1，再以A1B1C1各边中点为顶点做三角形记为A2B2C2，依次做下去，求A5B5C5的周长【答案】见解析【解析】解：等边ABC的边长为a，等边ABC的周长为3aA2、B2分别是边A1B1、B1C1的中点，A2B2是A1B1C1的中位线，A2B2=12A1B1同理，A2C2=1
6、2A1C1，C2B2=12C1B1A2B2C2的周长=12等边A1B1C1的周长=3a4同理，A3B3C3的周长=12A2B2C2的周长=3a23等边A1B1C1的周长，AnBnn的周长=12nA1B1C1的周长=3a2nA5B5C5的周长=3a2n-1=3a25=3a32【点睛】据三角形中位线定理知，A2B2C2的各边的边长是A1B1C1的各边边长的12，A3B3C3是A2B2C2的各边的边长的12，找出规律即可得出结论本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半典例6（2018春南山区期末）如图，ABC中，ABAC，AD，A
7、E分别是其角平分线和中线，过点C作CGAD于点F，交AB于点G，连接EF，则EFAB；BCG=12（ACBABC）；EF=12（ABAC）；12（ABAC）AE12（AB+AC）其中正确的是（）ABCD【答案】A【解析】解：AD平分BAC，GAFCAF，CGAD，AFGAFC90，在AFG和AFC中GAF=CAFAF=AFAFG=AFC AFGAFC（ASA），GFCF，AE为ABC的中线，BECE，EFAB，故正确；AFGAFC，AGCACB，AGCB+BCG，ACGB+BCG，BCGACBACGACB（B+BCG），2BCGACBB，BCG=12（ACBB），故正确；AFGAFC，ACAG
8、，BGABAGABAC，F、E分别是CG、BC的中点，EF=12BG，EF=12（ABAC），故正确；AFG90，EAF90，AFEAFG+EFG90，AFEEAF，AEEF，EF=12（ABAC），12（ABAC）AE，延长AE到M，使AEEM，连接BM，在ACE和MBE中AE=MEAEC=MEBCE=BE ACEMBE（SAS），ACBM，在ABM中，AMAB+AC，AEEM，2AEAB+AC，AE12（AB+AC），即12（ABAC）AE12（AB+AC），故正确；故选：A【点睛】求出F为CG中点，根据三角形的中位线性质即可判断，求出ACGAGCB+BCG，即可判断；根据三角形中位线性质
9、即可判断，求出2AEAB+BC和AEEF，即可判断巩固练习1（2018春坪山区期末）如图，在ABC中，AB5，BC6，AC7，点D，E，F分别是ABC三边的中点，则DEF的周长为（）A12B11C10D9【答案】D【解析】解：点D，E分别AB、BC的中点，DE=12AC3.5，同理，DF=12BC3，EF=12AB2.5，DEF的周长DE+EF+DF9，故选：D2（2018春抚顺期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，ADBC，PEF25，则EPF的度数是（）A100B120C130D150【答案】C【解析】解：P是对角线BD的中点，E，F分别是AB
10、，CD的中点，PE=12AD，PF=12BC，ADBC，PEPF，PFEPEF25，EPF130，故选：C3（2018春颍东区期末）如图在ABC中，M是BC中点，AP是A平分线，BPAP于P，AB12，AC22，则MP长为（）A3B4C5D6【答案】C【解析】解：延长BP交AC于N.AP是BAC的角平分线，BPAP于P，BAPNAP，APBAPN90，ABPANP（ASA），ANAB12，BPPN，CNACAN221210，BPPN，BMCM，PM是BNC的中位线，PM=12CN5故选：C4（2018春开江县期末）如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角
11、形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形，如此操作下去，那么第5个三角形直角顶点的坐标为（）A（-2116，2116）B（-118，118）C（-4332，4332）D（-8564，8564）【答案】B【解析】解：由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（2，2）；第2个三角形的直角顶点坐标：（1，1）；第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（-32，32）；第4个三角形的直角顶点坐标：（-54，54）；第5个三角形的直角顶点坐标：（-118，118）；故选：B5（2017秋洪雅县期末）如图，在ABC中，AB5，AC3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CGAD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为_【答案】1【解析】解：AD是其角平分线，CGAD于F，AGC是等腰三角形，AGAC3，GFCF，AB5，AC3，BG2，AE是中线，BECE，EF为CBG的中位线，EF=12BG1故答案为：1.
