1、基于核心素养的数学课堂教学基于核心素养的数学课堂教学情境设情境设计计与问题与问题引引领领【普通高中课程方案和学科课程标准培训普通高中课程方案和学科课程标准培训】一、背景二、情境设计 三、问题引领四、情境与问题的关系梗梗概概学生学生学习学习：创新创新意意识，识，实实践能践能力力，学学会会学学习；习；教师教师教学教学：授之授之以以鱼不鱼不如如授之授之以以渔渔；教学教学研究研究：教和教和学学的对的对立立统一统一；集集五五大大领领域的域的综综合研合研究究。课程课程建设建设：顶层顶层设设计，计，确确定课定课程程理理念念、目目标。标。四四基、基、四四能能、三三会会。学生学生评价评价：核心核心素素养发养发展
2、展水平水平立德立德 树人树人学生学生 学习学习教学教学研究研究学生学生评价评价课程课程建设建设教师教师教学教学学习活动过程学习活动过程一、背景一、背景 实践能力实践能力 创新意识创新意识 学会学习学会学习 数学学科核心素养数学学科核心素养课程课程性质：性质：数数学教育学教育承承载着载着落落实立实立德德树人树人 根本任根本任务务、发发展素质展素质教教育育的的功能。功能。数学数学教育教育帮帮助学助学生生掌握掌握现现代生活代生活 和进一和进一步步学学习习所必需所必需的的数数学学知识、知识、技能技能、思、思想想和方和方法法；提；提升升学生的学生的 数学数学素养素养，引导引导学学生会生会用用数学眼数学眼
3、 光观光观察世察世界界，会，会用用数学数学思思维思考维思考 世界世界，会，会用用数学数学语语言表言表达达世界；世界；促进促进学生学生思思维能维能力力、实、实践践能力和能力和 创新创新意识意识的的发展发展，探寻探寻事事物变化物变化 规律规律，增，增强强社会社会责责任感任感；在学生在学生 形成形成正确正确人人生观生观、价值价值观观、世界、世界 观等观等方面方面发发挥独挥独特特作用。作用。数学学科核心素养划分为三个水平，每一个水平是通过 数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养 的四个方面进行表述的。体现数学学科核心素养的四个方面如下：情境与问题情境与问题情境主要是指现实情境、数学情境、科学
4、情 境，问题是指在情境中提出的数学问题；知识与技知识与技能能主要是指能够体现相应数学学科核心素养的知识与技能；思维与表达思维与表达主要是指数学的思维品质、表述的严谨性和 准确性；交流与反思交流与反思主要是指交流过程中的思维表现，以及交流 后的思考结果。基本理念：基本理念：高中数学教学以发展学生数学学科高中数学教学以发展学生数学学科 核心素养为导向，创设合适的教学核心素养为导向，创设合适的教学 情境，启发学生思考，引导学生把情境，启发学生思考，引导学生把 握数学内容的本握数学内容的本质质。提倡独立思考、自主学习、合作交 流等多种学习方式，激发学习数学 的兴趣，养成良好的学习习惯，促 进学生实践能
5、力和创新意识的发展。注重信息技术与数学课程的深度融 合，提高教学的实效性。不断引导 学生感悟数学的科学价值、应用价 值、文化价值和审美价值。课课标关于标关于问问题情境题情境的的论论述述教与学是 一个有机 的整体，教的根本 目的是学，是引导学 生学会学 习，形成 素养。核心素养与课程目标的关系核心素养与课程目标的关系三用三用核心素养核心素养四四能能四四基基用数学的眼光观察世界，用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界；用数学的语言表达世界；情感态度价值观素 养 形 成 过 程二、二、情情境设计境设计1.对情境的认识和理对情境的认识和理解解2.教学与情
6、境设计教学与情境设计二、情境设计二、情境设计1.对情境的认识和理解对情境的认识和理解情境包情境包括括：现实：现实情情境境、数数学学情情境境、科科学情境学情境，每种情每种情境境可以分可以分为为熟悉的熟悉的、关联的关联的、综合的综合的。问题问题情情境内涵境内涵与与特征表现特征表现1什么是问题情境？2什么是教学情境？3什么是数学情境？4什么是数学问题情境？1 1、情境的认识与理解、情境的认识与理解（1 1）、什么是问题情境？什么是问题情境？【基本解释】基本解释】：在一定时间内各种情况的相对的或结合的境况。【心理学解释】：在社会心理学中，情境指影响事物发生或对 机体行为产生影响的环境条件。也指在一定时
7、间 内各种情况的相对的或结合的境况。1 1、情境的认识与理解、情境的认识与理解要素分析显性要素：显性要素：情情境境+问问题。题。情境：情境：构成学习环境，是其学习的软件基础和硬件 基础的综合。问题：问题：诱发学生探究和数学思考的关键，是数学学 习的灵魂。内涵要素：发展学生核心素养。内涵要素：发展学生核心素养。1 1、情境的认识与理解、情境的认识与理解来自新加坡的梅陵（Mei?Ling）准备去南非做3个月的 交换生。她需要把一些新加坡元（SGD）兑换成南非兰 特（ZAR）。问题问题1 这三个月中，汇率从1新加坡元兑4.2南非兰特变为 1新加坡元兑4.0南非兰特。当梅陵把南非兰特换回新加 坡元时，
8、汇率是1新加坡元兑4.0而不是4.2南非兰特，她 满意吗？给出解释来支持你的答案。问题问题2 三个月后，梅陵回到新加坡，她还剩有3900南非兰 特（ZAR）。她把这些换回新加坡元（SGD）时，发现 汇率变成了：1新加坡元（SGD）=4.0南非兰特（ZAR）梅陵能拿到多少新加坡元？问题问题3 梅陵发现新加坡元和南非兰特的汇率是：1新加坡 元（SGD）=4.2南非兰特（ZAR），根据这个汇率，她把3000新加坡元换成南非兰特。她能拿到多少南非兰特？案例案例1 1：特征：真实真实，自然，自然 简约简约，有用，有用情境情境+问题问题1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解现实情境现实情境案例案例2
9、2：同样的若干磁铁排队：同样的若干磁铁排队情境：情境：是真的吗？形状和质量等各方面完全相同的若干磁铁（形 如一元硬币）放在水中能自动规律的排队吗？实验：1.直接投入水中沉没，没有发现。2.用双面胶将其粘在塑料瓶盖中，确保其可以 在水中自由漂浮，会发生什么现象？3.这个现象能提出什么问题吗？情境源自 科学实验问题源自 情境本身问题隐于 探究过程1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解科学情境科学情境94x 2 y 2 1所对应的曲问题情境：问题情境：运用所学的知识，你能否画出方程 线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图。）学生思路一：学生思路一：利用椭圆的定义，用绳子画图；学生思路二：学
10、生思路二：根据所学先判断其为椭圆，求与x轴y轴的交点再连结；学生思路三：学生思路三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一 象限的部分；学生思路四：学生思路四：学生可能会联系函数描点法画图（对学生方程与函数理解 要求较高）隐含的数学问题：隐含的数学问题：1.通过动手画椭圆能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与 对称轴的交点），即椭圆的顶点。2.学生联系到函数描点法作图时，认识函数与方程的区别与联系，有利于学生更好地理解数学知识间的关系。情境情境诱诱 发发问题问题1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解数学情境数
11、学情境案案例例3 3：椭椭圆的几圆的几何何性性质质（2 2）、）、什什么是教么是教学学情境情境？所谓教教学情境学情境（teaching scenarios；teaching situation manifestation；education situation）是指教师在教学过程中创设的情感氛围。“境”是 教学环境，它既包括学生所处的物理环境，如学校的各种硬件设施，也 包括学校的各种软件设施，如恰当的情境素材以及教师的技能技巧和责 任心等。教学情境也指具有一定情感氛围的教学活动。孔子说孔子说：“不不愤不启愤不启，不，不悱不悱不发发，举，举一一隅不隅不以以三隅三隅反反，则，则不不复也复也。”孔子
12、的这段话，在肯定 启发作用的情况下，尤其强调了启发前学生进入学习情境的重要性，所 以良好的教学情境能充分调动学生学习的主动性和积极性，启发学生思维、开发学生智力，是提高中学学科教学实效的重要途径。教学情境的意教学情境的意义义 ：教学情境教学情境是课堂教学的基本要素基本要素，创设教学情境是教师的一项常规教学工 作，创设有价值的教学情境则是教学改革的重要追求。1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解教学情境教学情境案例案例4 4：曲曲边边梯形梯形的的面面积积创设情境：创设情境：此图是某园博园平面示图，图中的I、II、III三块区域需要种植不同的植物进行绿化，投入的资金 与图形的面积有关，请问你能
13、帮助 园博园投资方做出投资预算吗？1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解教学情境教学情境情境价值：情境价值：教学目的：教学目的：通过学生交流互相启发，让学生悟得悟得计算“三块 地”的面积问题，其实就是计算抽象以后的三个不规则平面 图形的面积问题，进而就是计算三个曲边多边形的面积问题。在这个环节中，充分表现了学生通过抽象、归纳概括的方 式，将实际问题数学化的过程。1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解教学情境教学情境教师引导和学生活动：教师引导和学生活动：通过教师多媒体演示 刘徽的“割圆术”，引 导学生自主认识问题 的实质是如何从刘徽 的“割圆术”中得到的 启发探索解决问题的 可能思路。
14、教学目的教学目的：在辨析研讨 的基础上，逐步让学生 自主的认识到进一步将 曲边多边形进行抽象，最终以直代曲。1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解教学情境教学情境 跟进问题：跟进问题：求求 y x2与与x轴轴及及x=1所围所围成的成的 平平面图形面积？面图形面积？问题1：在等分的基础上将曲边梯形分割成 为n个小曲边梯形，求面积的过程中 需要考虑两个问题，一是如何计算每 个小曲边梯形的面积，二是如何将以 直代曲的数学思想渗透应用在求解计 算中？问题2：请同学们书写分割过程，并与课本中的分割步骤对比.教教师引导师引导和和学生活学生活动动：通 过学生自主探究，学生会得 出多种不同的分割方案，通
15、过学生之间的交流，逐步得 出合理的分割方案。1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解教学情境教学情境深化数学思考，理性思维数深化数学思考，理性思维数学学工具工具在在解决解决 实际问实际问题题中的作中的作用用和意和意义义 问题：观察不足近似和过剩近似的两个式子,我们发现曲 边多边形的面积是关于n的多项式，显然，分割越细，近 似程度越好，那么，当n变化时，S1、S2变化趋势如何？当n趋向于无穷大时，S1、S2的变化趋势如何？教师引导和学生活动教师引导和学生活动：通过问题引领，学生 自主进入问题思维过程，并自觉进入计算思 辨的过程。教学目的：教学目的：让学生在操作过程中体会逼近思 想的应用，认识定
16、积分是在此类问题中通过 面积逼近的重要数学工具。1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解教学情境教学情境数学情境是数学情境是从事从事数数学活学活动动的环的环境境,产生产生数数学行学行为为的的 条件。条件。设置数学教学情境既要紧扣教学目标、适合 学生的认知水平,靠近他们的最近发展区,又要具有较 丰富的数学信息,形式尽可能地生动直观,易于理解。以便学生提出数学问题,自己去解决自己提出的数学 问题,在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过 程。数学情境是数学情境是指数指数学学教学教学中中常见常见的的一种一种场场景景,它它有有利利于于 解决数学知解决数学知识的识的抽抽象性象性与与学生学生思思维的维的
17、具具体性体性之之间间的的 矛盾。矛盾。（3 3）、什么什么是是数学数学情情境境？1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解数学情境数学情境新数新数学学知知识的获得以识的获得以数数学问题的提学问题的提出出为基为基 础础,这这是是为数为数学学的产的产生生与发与发展展的历的历程程所证所证明明的的客客 观事观事实。实。希尔伯特提出“数学问题是数学的灵 魂”。正是他在1900年指出的23个数学问题指导着20世纪数学的发展。数学发展史中的平行公理问题、尺规作图问题、哥尼斯堡七桥问题、四色问题、费尔马问题、四元素问题等等都 清楚地表明提出数学问题的巨大价值,及随之进 行的解决数学问题的重要作用。爱爱因斯坦明
18、确因斯坦明确表表示示“提出一提出一个个问题比解决问题比解决 一个一个问题更有意问题更有意义义。”可以说,没有数学问题的 提出就没有数学问题的解决,就没有数学科学的 发展。数学情景与数学问题凸显凸显 四能四能1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解数学情境数学情境案案例例5 5：内内角角？外外角角？美籍华人陈省身教授是当代美籍华人陈省身教授是当代举举世闻世闻名名的数的数学学家，他家，他在在北京北京大大学的一学的一次次讲学讲学中语惊四座：中语惊四座：“人们常说，三角形内角和人们常说，三角形内角和等等于于180度度。但是，但是，这这是不是不对对的的!”大家愕然。怎么回大家愕然。怎么回事事?三角形三
19、角形内内角和是角和是180度度，这，这不不是数学是数学常常识识吗吗?接着，这位老教授对大家的接着，这位老教授对大家的疑疑问作问作了了精辟精辟的的解答解答：“说三说三角角形内角形内角和为和为 180度不对，不是说这个度不对，不是说这个事事实不实不对对，而，而是是说这种说这种看看问题问题的的方法不方法不对对，应当，应当 说三角形外角和说三角形外角和是是360度度。”“把眼光盯住内角，我们只把眼光盯住内角，我们只能能看到：看到：三角形内角和是三角形内角和是180度；度；四边形内角和四边形内角和是是360度；度；五边形内角和是五边形内角和是540度；度；n边形内角和是边形内角和是(n2)180度。度。
20、这就找到了一个计算内角和这就找到了一个计算内角和的的公式公式。公式公式里里出现了出现了边边数数n。1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解数学情境数学情境如果看外角呢如果看外角呢?三角形的外角和是三角形的外角和是360度；度；四四边形的外角和边形的外角和是是360度；度；五边五边形的外角和是形的外角和是360度；度；任意任意n边形外角和都边形外角和都是是360度。度。这就把多种情形用一个十分简这就把多种情形用一个十分简单单的结的结论论概概括括起起 来。用一个与来。用一个与n无关的常数无关的常数代代替了替了与与n有有关关的的 公式，找到了更一般的规律。公式，找到了更一般的规律。”归纳推理：归纳
21、推理：变化中的变化中的 不变因素。不变因素。数学情境和数学问题指向什么？数学情境和数学问题指向什么？1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解数学情境数学情境这么说，是不是在数学家眼里，事物都变得简简单单的、千巴巴的，失去了丰富的内容了呢?也不见得。有些在大家看来简简单单的图形，在数学家眼里，却 是丰富多彩的。它会告诉数学家不少信息，当然，用的是数学的语言。你如果学会用数学的眼光看它，便也能听懂它的无声的语言。案案例例6 6：数数学家学家的的直直觉觉在数学家眼里，很多事物里包含着数学。“大漠孤烟直，长河落 日圆”，画家也许据此创作一幅寥廓苍凉的塞外黄昏景象，但数学家 看来，说不定会想起一根垂直
22、于平面的直线，一个切于直线的圆呢!数学直觉和数学意识是形成数学直觉和数学意识是形成一一定数定数学学核心核心素素养的外养的外在在表现。表现。1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解数学情境数学情境什么是好的数学情境？什么是好的数学情境？1数学问题情境是学生展开学习活动的环 境载体。2好的问题情境指向关键数学问题，关注 数学本质；3好的问题情境，具有激趣特征，能激发 学生学习兴趣，引发学生自主探究；4好的问题情境，具有恰当的情境自然和 情境梯度，有利于学生挑战问题，培养科学精神。5好的问题情境具有真实而又简洁的特征，能快速诱发学生的数学思考。1 1、情境的认识与理、情境的认识与理解解数学情境数学
23、情境二、二、情情境设计境设计2.教学与情境设计教学与情境设计概念的引入与情境设计；概念的引入与情境设计；结论的应用与情境设计；结论的应用与情境设计；数学建模与情境设计。数学建模与情境设计。第一问用到了向量的合成，而第二问用到了向量的分解那么向量分解 的依据到底是什么？它对后续的学习又有什么帮助呢？问题指向：平面向量基本定理问题指向：平面向量基本定理案例案例7 7：平面向量基本定理的引入：平面向量基本定理的引入知识储备：前面从数、形两个角度学习了向量的加法、减法和数乘运算知识储备：前面从数、形两个角度学习了向量的加法、减法和数乘运算初步了解了几何诠释下的向量运算体系，并运用向量方法拓宽了几何的研
24、初步了解了几何诠释下的向量运算体系，并运用向量方法拓宽了几何的研 究思路究思路【问题情【问题情境境】：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输输.如图，一艘船从如图，一艘船从 南岸的南岸的A点出发，船速点出发，船速3km/h，方向与河岸夹角为方向与河岸夹角为60，水流速度，水流速度为为2km/h.在在A点北偏东点北偏东30的对岸有一个码头的对岸有一个码头B.1 1船能否从船能否从A处沿直线航行到处沿直线航行到B处？处？2 2若船速与水速的方向不变，要使船若船速与水速的方向不变，要使船以以12km/h的实际航行速度到达的实际航行速度到达B处，
25、则船速与水速分别是多少？处，则船速与水速分别是多少？2 2、教学与情境设、教学与情境设计计真实真实问题：问题：具具有明有明确确的的兴趣兴趣特特征征，能引，能引发发递进思递进思考考。情境来源：情境来源：源自熟悉的生活现源自熟悉的生活现象象，真，真实实而而又又存存 疑。疑。问题设计：问题设计：问题遵循数学研究问题遵循数学研究的的基本基本规规律律，重重 在发现和提出问题（数学化）在发现和提出问题（数学化），自然自然关关注注了了数数 学抽象、逻辑推理、数学建模学抽象、逻辑推理、数学建模、数学数学运运算算等等核核 心素养。心素养。案案例例反反思思2 2、教学与情境设、教学与情境设计计真实真实案例案例8
26、8：利用单位圆建立三角函数的概念及相关知识的延伸：利用单位圆建立三角函数的概念及相关知识的延伸上任取一点P（x,y），圆O与x轴正向的交点是A，将OA逆时针转到OP所成的 角记为，问题：问题：1.请写出x,y关于的表达式，并说明x,y的几何意义；2.假设由（1）得出的表达式是利用单位圆直观说明这两个函数的周期性、单调性和 对称性；问题情境意图：问题情境意图：目的是建立直观图形与抽象函数之间的联系，可目的是建立直观图形与抽象函数之间的联系，可以考察学生运用单位圆解释和分析三角函数概念、性以考察学生运用单位圆解释和分析三角函数概念、性 质以及运用单位圆的直观模型解决三角函数问题的能质以及运用单位圆
27、的直观模型解决三角函数问题的能 力。涉及的数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑力。涉及的数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑 推理和直观想象。推理和直观想象。避免了先用直角三角形，避免了先用直角三角形，初中的三角比然后再用高初中的三角比然后再用高 中的坐标系然后要来回来中的坐标系然后要来回来 去地对比。去地对比。引入单位圆，就更具体地引入单位圆，就更具体地 利用了坐标的流动性和弧利用了坐标的流动性和弧 度的一一对应，也利用了度的一一对应，也利用了 坐标在四个象限的正负表坐标在四个象限的正负表 示，把三角函数的符号、示，把三角函数的符号、函数的概念等内涵都清晰函数的概念等内涵都清晰 揭示出来了。
28、揭示出来了。情境：情境：在单位圆O：x2 y2 1x f(),y g()，2 2、教学与情境设、教学与情境设计计科学科学基于单位圆基于单位圆的三角函数的三角函数性性质、诱导公质、诱导公式式等等单位圆三角函数概念 与坐标的一一对应借助单位圆中的直观观察：诱导公式借助单位圆中的直观观察：诱导公式：sin(x+)=?其几何直观特征：建立了中心对称点的关系。其几何直观特征：建立了中心对称点的关系。自然流畅地解释了自然流畅地解释了sin(x+)和和sinx的关系的关系进一步可以延伸到更广泛的诱导公式的探究和理解进一步可以延伸到更广泛的诱导公式的探究和理解2 2、教学与情境设、教学与情境设计计科学科学问题
29、问题：在新概念建立过程中形在新概念建立过程中形成成问题问题；具有具有 明显的探究活动价值。明显的探究活动价值。情情境境来源：来源：单位单位圆圆+预设的学预设的学习习活动活动过过程程。问题设计：问题设计：针对情境针对情境特征的剖特征的剖析析，引，引导导问问题题 的深入反思，强化概念形成的的深入反思，强化概念形成的合合理性理性和和科学科学 性。期间，很好的关注了数性。期间，很好的关注了数学学抽抽象象、直直观观想想 象、逻辑推理、数象、逻辑推理、数学学运算等核运算等核心心素养素养。案例反思：案例反思：2 2、教学与情境设、教学与情境设计计科学科学结论应用与情境设计结论应用与情境设计高中高中阶段阶段研
30、研究函究函数数性质性质教学前提：教学前提：高一新生具有初中阶段高一新生具有初中阶段研研究函数性质的初步经验。究函数性质的初步经验。通过作图通过作图-直直观观观观察察-提提炼概炼概括括并形并形象象化表述化表述函数性质。函数性质。通过这样的通过这样的基基本本学情学情，设计设计具具有问有问题题引领引领的的教学教学 问题情境，问题情境，引导引导学学生展生展开开数学数学探探究活究活动动，经，经历历相关相关 数数学核心素学核心素养的养的磨磨砺过砺过程程。2 2、教学与情境设、教学与情境设计计结构结构？【问问题题】：1.在初中阶段已经学过一元一次函数、反比例函数、一元二次函数，请根据函数图象，分别述说x在哪
31、个范围变化时，y随着x的增大而增大或者 减小？x4.依据函数单调性的定义，证明函数 y x 1,x(2,)是递增的。案案例例9 9：函函数单调数单调性性【情境】：在初中阶段，学【情境】：在初中阶段，学生生已经已经初初步了步了解解一元一一元一次次函数函数、反比例反比例函函数、数、一元二次函数的图象具有单一元二次函数的图象具有单调调性的性的特特征。征。在在高中阶高中阶段段引入引入函函数单调数单调性性概念概念 时，可以从直观认识出发，时，可以从直观认识出发，提提出合出合适适的课的课堂堂讨论问讨论问题题，使，使学学生经历生经历函函数单数单 调性概念的抽象过程。调性概念的抽象过程。2 2、教学与情境设、
32、教学与情境设计计结构结构问题：具有明确的结构指向。问题：具有明确的结构指向。情境来源：情境来源：源自课程系统源自课程系统的的关键连接点关键连接点。问题设计：问题设计：问题应建立基本的联想基础，形成知识系统前后问题应建立基本的联想基础，形成知识系统前后 的的思维冲突思维冲突，从而进阶到整合与数学思考及数学内涵的一般，从而进阶到整合与数学思考及数学内涵的一般 化。化。案案例反例反思思2 2、教学与情境设、教学与情境设计计结构结构案例案例10 急刹车的急刹车的停停车车距距离离问问题题【目的】展现函数的应用，给出数学建模活动中，建立模【目的】展现函数的应用，给出数学建模活动中，建立模 型和模型求解的过
33、程。型和模型求解的过程。【情境】【情境】1.问题。建立确定急刹车停车距离的数学模型，问题。建立确定急刹车停车距离的数学模型，根据模型得到的结果，就行车安全提出建议。根据模型得到的结果，就行车安全提出建议。2提示。科学研究通常经历：选题、开题、做题、结题提示。科学研究通常经历：选题、开题、做题、结题 四个基本过程。在这个研究中，已经确定了四个基本过程。在这个研究中，已经确定了“急刹车的停急刹车的停 车距离车距离”问题的选题，还需要完成问题的选题，还需要完成“开题、做题、结题开题、做题、结题”的过程。的过程。2 2、教学与情境设、教学与情境设计计生成生成 3操作建议。操作建议。建立研究小组。建立研
34、究小组。“开题开题”。准备工作：结合问题，查阅资料，检索已有。准备工作：结合问题，查阅资料，检索已有 的成果，用的成果，用“头脑风暴头脑风暴”的形式集思广益，形成自己的的形式集思广益，形成自己的 想法，然后初步形成解决问题大致思路和初步方案，并想法，然后初步形成解决问题大致思路和初步方案，并 分析操作的可行性、可用资源等。撰写分析操作的可行性、可用资源等。撰写“开题报告开题报告”。教师组织教师组织“开题报告开题报告”的小组交流。请各组同学代表介的小组交流。请各组同学代表介 绍对上述问题的思考和结果，交流反思后，改进并确定绍对上述问题的思考和结果，交流反思后，改进并确定 实施方案。实施方案。“做
35、题做题”。实施建模过程，直至得到结果。实施建模过程，直至得到结果。“结题结题”。把建模结果写成小论文，在班里介绍建模过。把建模结果写成小论文，在班里介绍建模过 程、结果和收获，并由老师和其他同学给出评价。程、结果和收获，并由老师和其他同学给出评价。【分析】确定影响刹车停车距离的主要因素。例如，急【分析】确定影响刹车停车距离的主要因素。例如，急 刹车的停车距离与刹车前汽车行驶的速度有关；并且因刹车的停车距离与刹车前汽车行驶的速度有关；并且因 人而异，与驾驶人员的反应时间有关；因车而异，与刹人而异，与驾驶人员的反应时间有关；因车而异，与刹 车性能有关；还与一些其他因素有关，如道路状况、天车性能有关
36、；还与一些其他因素有关，如道路状况、天 气状况等随机因素。可以规定在高速公路上，主要考虑气状况等随机因素。可以规定在高速公路上，主要考虑 前三个要素，得到一个简化模型：前三个要素，得到一个简化模型：停车距停车距离离 =反应距反应距离离 +制动距离。制动距离。用用d表示停车距离表示停车距离、d1表示反应距离、表示反应距离、d2表示制动距离，表示制动距离，上述模型可以用数学符号表示为：上述模型可以用数学符号表示为：d=d1+d2。为了得。为了得 到到d1和和d2的具体表达式，可以做下面的假设。的具体表达式，可以做下面的假设。通过试验数据，得到急刹车停车距离模型：通过试验数据，得到急刹车停车距离模型
37、：d=0.21v+0.006v2。案案例反例反思思：数数学学建建模模中中的的情境思情境思考考现实问题是情境的主体；提示数学建模的活动方式也是问题情境；构建学生共同探究、小组合作的学习方式也是 问题情境。三、问题引领三、问题引领1.对问题的认识和理解2.教学与问题引领3.考试评价与问题引领问问题题是数学的灵是数学的灵魂魂。问题问题情情境境(context of problems)数数学学学学习习 论的论的基本基本概概念念之之一一，指，指个个体面体面临临的数的数学学问问题题 和它和它所具所具有有的相的相关关经验经验所所构成构成的的系统。系统。合适合适的问题的问题情情境境，指指的是的是外外部问部问题
38、题和内和内 部知部知识经识经验验条件条件的的恰当恰当程程度度的的冲冲突突，使使之之引引 起最起最强烈强烈的的思考思考动动机和机和最最佳的佳的思思维定维定向向的情的情 境境。1.对问题的认识和理解由问题情境到数学问题情境由问题情境到数学问题情境数学情数学情境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件。境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件。从它提从它提供的信息，通过联想、想象和反思，发供的信息，通过联想、想象和反思，发现现数量关数量关系系 与空间与空间形式形式的内在联系，进而提出数学问题、研究问的内在联系，进而提出数学问题、研究问题、题、解决问解决问题的策略和方法。同时还伴随着一种积极的题的策
39、略和方法。同时还伴随着一种积极的情感体情感体 验，其验，其表现为对新知识的渴求，对客观世界的探表现为对新知识的渴求，对客观世界的探索欲望，索欲望，对数学对数学的热爱等。创设问题情境能引导学生主的热爱等。创设问题情境能引导学生主动参与，激动参与，激 发学生发学生的学习积极性，使每个学生都能得到的学习积极性，使每个学生都能得到充分发展的教充分发展的教 育环境育环境，是新课改能否真正实施的一个重，是新课改能否真正实施的一个重要标志要标志。“创创 设设 情境情境”是是 数学教数学教学学中常用的一种策略中常用的一种策略，它有利于解决数学它有利于解决数学 的高度的高度抽象性和学生思维的具体形象抽象性和学生
40、思维的具体形象性之间的矛盾。性之间的矛盾。1.对问题的认识和理解引入引入时设置时设置合适合适的的问题问题，激发激发学学生的生的好好奇心；奇心；教学过程设教学过程设置合置合适适的问的问题题串，串，揭揭示数示数学学本质；本质；总结环节设总结环节设置合置合适适的问的问题题，整，整体体把握把握数数学内学内容容；问题是建模问题是建模的关的关键键。2.2.教教学学与与问问题引题引领领问题：问题：是是数数学教学教与与学的学的灵灵魂；魂；是形是形成数成数学学探究探究活活动的动的方方向驱向驱动动源；源；是生是生成成数数学学核心核心素素养养的的教教学关学关键键。2.2.教教学学与与问问题引题引领领1.明确的数明确
41、的数学学指向指向：问题明确指向核心数学问题，遵循自身 逻辑关系，有利于揭示数学本质。2.明确的素明确的素养养指向指向：问题的探究过程有利于学生基于四基发 展四能，在发展四能过程中，充分体现数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养的过 程性体验。3.明确的结明确的结构构指向指向：问题应基于数学系统或子系统的宏观结 构要求，反映问题指向的远近目标的合理拟合。4.明确的学明确的学习习指向指向：问题作为学生学习的思维灵魂，应关注 学生学习的最近发展区，具有逻辑暗线清晰，引领明确的特 征，问题梯度契合学生认知能力水平，问题的启发性和挑战 性并存，可思、可探，有提炼升华的学习价
42、值。好好问问题的题的基基本特本特征：征：2.2.教教学学与与问问题引题引领领问题问题：1.是否存在三条直线两两互相垂直？若存在，请举出实际 中的例子.2.到一个定点距离等于定长的点的轨迹是.3.用5根长度相等的木棒（或火柴）搭正三角形，最多搭成几个正三角形？用6根呢？案案例例1111：立立体几何体几何起起始课的始课的教教学学知识储备和能力储备知识储备和能力储备：对平面中几何图形的位置和数对平面中几何图形的位置和数量关系研究量关系研究 较多，在较多，在小学小学和初中阶和初中阶段只段只是比较直是比较直观地观地认识了一认识了一些简些简单的几何单的几何体，体，并没有更深入地对空间中几并没有更深入地对空
43、间中几何何图形图形的的位置位置和和数量关数量关系系进行进行推推理和计理和计 算算冲突冲突悬疑悬疑兴趣兴趣探究探究发发现现2.2.教教学学与与问问题题引领引领构建构建认认知冲知冲突突【情境】复数的产生大致经历了以下过程。在古希腊学者丢番图时代，人们已经知道一元二次方程式有两个根，但其 中有一个根为虚数时，宁可认为方程不可解。直到16世纪，人们普遍认同丢番 图的办法。虽然复数问题是由求一元二次方程的解所引发的，但迫使人们认真对待复 数却是因为求一元三次方程的解。意大利数学家卡尔丹在1545年出版的著作重要的艺术中，首次公布了求解一元三次方程的代数方法，卡尔丹区分十 三种情况对一元三次方程进行讨论，
44、给出十三种求解的公式。在公式中出现了 十分尴尬的情况：即便一元三次方程的三个根是实根，但在用公式求解的时候 会出现虚数。例如，对方程16+x2+x3=24x（这是当时人们表示方程的方法），容易验证x=4是方程的一个根，于是这个方程就等价于(x-4)(x2+5x-4)=0，检验 其中的一元二次方程可知，其余两个根也是实数，因此方程的三个根是实根。但是，直接用卡尔丹求解一元三次直接用卡尔丹求解一元三次方方程的程的公公式计式计算算方程解方程解的的过程过程中中会出会出 现虚数，那么，这样的方程现虚数，那么，这样的方程是是有解有解还还是无是无解解呢？呢？2.2.教教学学与与问问题题引领引领构建构建认认知
45、冲知冲突突案案例例1212复数的引入复数的引入在数学史上，虚数以及复数概念的引入经历了一个曲折的过程，其中充 满着数学家的想象力、创造力和不屈不挠、精益求精的精神。由此，在复数 概念的教学中，可以适当介绍历史发生发展过程，一方面可以让学生感受数感受数 学的文化和精神学的文化和精神，另一方面也有助于学生理解复数的概念和意理解复数的概念和意义义。如何将数学史融入中小学的数学教学是数学教育领域的一个重要课题。通过数学概念和思想方法的历史发生发展过程，一方面可以使学生感受丰富 多彩的数学文化，激发数学学习的兴趣；另一方面也有助于学生对数学概念 和思想方法的理解。数学史在数学课堂中的融入方式可以是多种多
46、样的，相 关的网络资源也十分丰富，教师应该根据教学的需要选择合适的资料和教学 方式。现在，复数已经被广泛现在，复数已经被广泛应应用于流用于流体体力学力学、信号分信号分析析等学等学科科，因此，因此 复数有着深厚的物理背景。复数有着深厚的物理背景。在在复数复数的的基础基础上上，英国，英国数数学家学家哈哈密顿构造密顿构造 了四元数，并导致了物理学了四元数，并导致了物理学中中著名著名的的麦克麦克斯斯韦方程韦方程的的产生。产生。问题：问题：具有明确具有明确的的数学指数学指向向【情【情境境】给给出下出下面面的测的测量量任务：任务：测量本校的测量本校的一座一座教教学楼学楼的的高度；高度；测量本校的测量本校的
47、旗杆旗杆的的高度；高度；测量学校院测量学校院墙外墙外的的一座一座不不可及可及，但在但在学学校操场校操场 上可以看得上可以看得见的见的物物体的体的高高度。度。可以可以每每23个学生组个学生组成成一个测量小一个测量小组组，以小组，以小组 为单位完成为单位完成；各；各人人填写填写测测量课量课题题报告报告表表（见（见表表），一周后上，一周后上交。交。案例案例13：测量学校内、外建筑：测量学校内、外建筑物物的高度的高度2.2.教教学学与与问问题题引领引领构建构建活活动场动场景景1.成员与分工成员与分工姓名姓名分工2测量对象测量对象例例如如，某小某小组组选选择择的测的测量量对对象象是：是：旗旗杆杆、教学教
48、学楼楼、校校外的外的大大 厦厦。3测量方测量方法法（请说明测量（请说明测量的的原理原理、测量测量工工具、创具、创新新点等点等）4测量数测量数据据、计算过程和、计算过程和结结果（果（可可以另以另外外附图或附图或附附页页）5研究结研究结果果（包括误差分（包括误差分析析）6简述工简述工作作感受感受 测量课题报告表测量课题报告表项目名称项目名称：完成时间完成时间：问题：具有明确的素养指向。问题：具有明确的素养指向。问题形式：情境开放，微课题问题形式：情境开放，微课题研研究。究。问题解决：完整经历四能，体问题解决：完整经历四能，体验验多个多个数数学学核核心心 素养的形成过程。素养的形成过程。案案例反例反
49、思思2.2.教教学学与与问问题题引领引领构建构建活活动场动场景景案例案例1414：探索抛物线的切线探索抛物线的切线数学价值：数学价值：从曲线从曲线的切线作图问题出发，引出了微积分这门大学的切线作图问题出发，引出了微积分这门大学科科,堪称是堪称是数学史数学史上上,也是人也是人类文明史上的辉煌成类文明史上的辉煌成就就.认知基础：认知基础：在初中在初中学段，学生已经具备了圆的切线极其相关的初步学段，学生已经具备了圆的切线极其相关的初步 研究经研究经验。圆的切验。圆的切线线,就是和就是和圆只有一个公共点的直圆只有一个公共点的直线线.设置情境：设置情境：作圆的作圆的切线是容易切线是容易的的,因为我因为我
50、们知们知道道,圆的切圆的切线和过切点线和过切点 的半径的半径垂直。如何研究抛物线的切线的？垂直。如何研究抛物线的切线的？2.2.教教学学与与问问题题引领引领关注关注结结构价构价值值浅层次的教学处理：浅层次的教学处理：如果把抛物如果把抛物线的线的切切线线,看成是和看成是和抛抛物物线只线只有有一个一个公公共共点点 的直线的直线,学生已经学过学生已经学过二次二次方方程程,又具备了一又具备了一些些基基本的本的解解析析 几何知识几何知识,不难做出来不难做出来.教学关注：教学关注：期待期待通过通过教教学情学情境境的多的多角角度探度探究究，学，学生生能够能够 从最从最简单简单的的情情形形,看出看出更更一一般
