1、 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节,)(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容:函数的极限 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1.0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例.测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 ,要求 Ax2确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx定义定义1.设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义,
2、0,0当00 xx时,有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xx时,有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:例例1.证明)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时,0CC因此CCxx0lim总有例例2.证明1)12(lim1xx证证:Axf)(1)12(x12x欲使,0取,2则当10 x时,必有1)12()(xAxf因此,)(Axf只要,21x1)12(l
3、im1xx例例3.证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时,必有2112xx因此211lim21xxx1 x例例4.证明:当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且.0 x而0 x可用0 xx因此,)(Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证.必有ox0 xx2.保号性定理保号性定理定理定理1.若,)(lim0Axfxx且 A 0,),(0时使当xx.0)(xf)0)(xf证证:已知,)(lim0Axfxx即,0,),(0 x当时,有.)(
4、AxfA当 A 0 时,取正数,A则在对应的邻域上.0)(xf(0)(A则存在(A 0),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy)0(AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时,有.2)(Axf推论推论:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x,),(0 x),(0 xx(P37 推论)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:定理定理 2.若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf,且,)(lim0Axfxx则.0A)0(A证证:用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域,使在该邻域内,0
5、)(xf与已知所以假设不真,.0A(同样可证0)(xf的情形)思考:若定理 2 中的条件改为,0)(xf是否必有?0A不能不能!0lim20 xx存在如 假设 A 0,条件矛盾,故时,当0)(xf3.左极限与右极限左极限与右极限左极限:)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时,有.)(Axf右极限:)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时,有.)(Axf定理定理 3.Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00例例5.设函数0,10,00,1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在.xyo11 xy11 xy解解
6、:利用定理 3.因为)(lim0 xfx)1(lim0 xx1)(lim0 xfx)1(lim0 xx1显然,)0()0(ff所以)(lim0 xfx不存在.XXAAoxy)(xfy A二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2.设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作直线 y=A 为曲线)(xfy 的水平渐近线,0 xxf当)(A 为函数例例6.证明.01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:
7、就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1.10的水平渐近线为xyyx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.两种特殊情况两种特殊情况:Axfx)(lim,0,0X当Xx 时,有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时,有 Axf)(几何意义几何意义:例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线.1y又如，oxyx21x21内容小结内容小结1.函数极限的或X定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1.若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2.设函数)(xf且)(lim1xfx存在,则.a3例3Th1Th3Th2是否一定有1,121,2xxxxa？
