1、1.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一 部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a0).下图记 录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高 点时,水平距离为 ( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m,北京中考题组,答案 B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对称 性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.0
2、57.9,所以最高点的横坐标大于10.故选B.,2.(2016北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m0)与x轴的交点为A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 当m=1时,求线段AB上整点的个数; 若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的 取值范围.,解析 (1)y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1. 抛物线的顶点坐标为(1,-1). (2)当m=1时,抛物线的表达式为y=x2-2x. 令y=0,解得x1=0,x2=2.线段AB上整点的个数为3.
3、当抛物线经过点(-1,0)时,m= . 当抛物线经过点(-2,0)时,m= . 结合函数的图象可知,m的取值范围为 m .,思路分析 (1)将抛物线的解析式变形得顶点坐标.(2)理解整点的含义,同时借助图象来观察和验证.,解析 (1)由题意可得,点A的纵坐标为2. x-1=2.解得x=3.点A的坐标为(3,2). 点B与点A关于直线x=1对称, 点B的坐标为(-1,2). (2)抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B, 解得 抛物线C1的表达式为y=x2-2x-1.y=x2-2x-1=(x-1)2-2,抛物线C1的顶点坐标为(1,-2). (3)由题意可知,a0. 当抛物线C2经过点B时,
4、a=2,此时抛物线C2与线段AB有两个公共点,不符合题意. 当抛物线C2经过点A时,a= . 结合函数的图象可知,a的取值范围为 a2.,考点一 二次函数的图象与性质,教师专用题组,1.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是 ( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0 D.图象的对称轴是直线x=3,答案 D 抛物线与y轴的正半轴相交,所以c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+c, 由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x= =3,选
5、项D正确,故选D.,2.(2019辽宁大连,10,3分)如图,抛物线y=- x2+ x+2与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上, 且CDAB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与抛物线交于P,Q两点,则线段PQ的长为 ( ) A.3 B.1+ C.4 D.2,答案 D 在y=- x2+ x+2中,令x=0,则y=2,C(0,2);令y=0,则- x2+ x+2=0,解得x=-2或4,A(-2,0).CD AB,点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,为2,令y=2,则- x2+ x+2=2,解得x=0或2,D(2,2).设直线AD的解析 式为y=kx+b(k0),将
6、(-2,0),(2,2)代入y=kx+b中,得 解得 直线AD的解析式为y= x+1,令y= x+1中的x=0,则y=1,E(0,1).令- x2+ x+2=1,即x2-2x-4=0,解得x=1 ,所以PQ=(1+ )-(1- )=2 ,故选 D.,思路分析 根据抛物线的解析式求出其与x轴的交点A,与y轴的交点C的坐标,因为CDAB,所以点D的纵坐 标和点C的纵坐标相同,将点D的纵坐标代入抛物线解析式中,从而求出点D的坐标.利用待定系数法求直线 AD的解析式,并进一步求出点E的坐标,将点E的纵坐标代入抛物线的解析式中,求出点P、Q的横坐标,进而 可求出PQ的长.,3.(2019河南,8,3分)
7、已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4,答案 B 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点, 解得 故选B.,一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x= =1,即 =1,b=2,n=-(-2)2+ 2(-2)+4=-4.,4.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( ) A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当x0时,y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3,答案 D 因为y=2x2+4x-1=2(x
8、+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选项 B错误;当x-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=-3,选项D正确.故选D.,思路分析 根据题中的函数解析式以及二次函数的性质,可以判断各个选项中的结论是否成立,从而解答 本题.,解题关键 解答本题的关键是理解二次函数的性质,会用配方法求二次函数的最值.,5.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 C 当x=1时,y=
9、a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得- =- 0, = = 0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.,6.(2018贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴 翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示).当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的 取值范围是 ( ) A.- m3 B.- m-2 C.-2m3 D.-6m-2,答案 D 易知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点(-2,0),(3,0), 依题意知,新图象对应的函数解析式为y= 如图,当直线y=-x+m经过点
10、(-2,0)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-2. 由方程组 得x2-m-6=0, 当该一元二次方程有两个相等的实数根时,=02-41(-m-6)=4m+24=0,解得m=-6, 将m=-6代入方程组,解得方程组的解是 故当直线y=-x+m经过点(0,-6)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-6.所以当-6m-2时,直线y=-x+m与新图象有4个交点,故选D.,思路分析 画出直线y=-x,然后平移,判断直线y=-x+m与新图象有4个交点的临界位置:一是直线经过点(-2, 0),求得m=-2;二是直线与抛物线y=x2-x-6(-2x3)相切,这时,方程组 只有一组解,即方程x2-m-6
11、 =0有两个相等的实数根,令根的判别式等于0,可以求得m=-6.结合图象可知,当-6m-2时,直线y=-x+m与新 图象有4个交点.,7.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一 次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是 ( ) A.b8 B.b-8 C.b8 D.b-8,答案 D 由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象. 将代入得,x2- 8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故选D.,8.(2017陕西,10,3
12、分)已知抛物线y=x2-2mx-4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M.若点M在这条抛物 线上,则点M的坐标为 ( ) A.(1,-5) B.(3,-13) C.(2,-8) D.(4,-20),答案 C y=x2-2mx-4=(x-m)2-m2-4,则顶点M的坐标为(m,-m2-4),M的坐标为(-m,m2+4),点M在抛物线上,m2+2m2-4=m2+4,m2=4.m0,m=2,M(2,-8),故选C.,思路分析 先配方求出抛物线的顶点M的坐标,根据对称性表示出点M的对称点M的坐标,由点M在抛物线 上,可将M的坐标代入解析式求出m的值,进而求得点M的坐标.,9.(2016辽宁沈阳,1
13、0,2分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是该二 次函数图象上的两点,其中-3x1y2 C.y的最小值是-3 D.y的最小值是-4,答案 D 二次函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4图象的顶点坐标为(-1,-4).令x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,则二次函数y= x2+2x-3的图象与x轴的两个交点为(-3,0),(1,0).由-3x1x20及二次函数的图象可知,y1,y2的大小不能确定, 选项A,B错误;ymin=-4,选项C错误,故选D.,10.(2016天津,12,3分)已知二次函数y=(x-h)2+1(
14、h为常数),在自变量x的值满足1x3的情况下,与其对应的 函数值y的最小值为5,则h的值为 ( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3,答案 B 当h3时,二次函数在x=3处取最小值,此时(3-h)2+1=5,解得h1=5,h2=1(舍去). 当1h3时,二次函数在x=h处取最小值1,不符合题意. 当h1时,二次函数在x=1处取最小值,此时(1-h)2+1=5,解得h1=-1,h2=3(舍去). h=-1或5.故选B.,评析 本题考查了二次函数的图象和性质,分类讨论思想,解一元二次方程,属于难题.,11.(2016陕西,10,3分)已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、
15、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC, 则tanCAB的值为 ( ) A. B. C. D.2,答案 D 不妨设点A在点B左侧, 如图,作CDAB交AB于点D,当y=0时,-x2-2x+3=0, 解得x1=-3,x2=1,所以A(-3,0),B(1,0), 所以AB=4,因为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 所以顶点C(-1,4),所以AD=2,CD=4, 所以tanCAB= =2,故选D.,思路分析 要求三角函数值需要在坐标系中寻找直角三角形,即过某个已知点向坐标轴作垂线.,解题关键 解决三角函数与抛物线的题目,一定要在示意图中解决,同时要作出一条或多条垂线段,找到合
16、适(知道顶点坐标)的直角三角形.,12.(2015辽宁沈阳,8,3分)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象可能是 ( ),答案 D 二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象的顶点坐标为(h,0),由于该点的纵坐标为0,所以该点在x轴上,符 合这一条件的图象只有D.故选D.,13.(2015甘肃兰州,13,4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,点C在y轴的正半轴上,且OA=OC,则 ( ) A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是,答案 A 由题意得点C的坐标为(0,c),OA=OC,点A的坐标为(-c,0). 将(-c,0)代入二次函
17、数解析式,得ac2-bc+c=0,c0,ac-b+1=0,即ac+1=b.故选A.,14.(2015江西南昌,6,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)过(-2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴 ( ) A.只能是x=-1 B.可能是y轴 C.在y轴右侧且在直线x=2的左侧 D.在y轴左侧且在直线x=-2的右侧,答案 D 抛物线y=ax2+bx+c(a0)开口向上,过点(-2,0),(2,3),则抛物线与x轴的另一个交点一定在点(2,0)左 侧,且在点(-2,0)右侧,设该交点为(m,0),则-2m2,对称轴为直线x= ,故选项D正确.,15.(2015浙江宁波,11,4分)二次
18、函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段 位于x轴的上方,则a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2,答案 A 易知抛物线的对称轴为直线x=4.当2x3时,图象位于x轴下方,由对称性可知5x6这段图象也 位于x轴下方,再由6x7这段图象位于x轴上方,可得抛物线一定经过点(6,0),将坐标代入函数表达式可得a= 1.故选A.,一题多解 二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象在2x3这一段位于x轴的下方,在6x7这一段位于x轴的 上方,当x= 时,二次函数y=a(x-4)2-4(a0)的图象位于x轴的下方;当x= 时,二次函数y=a(x
19、-4)2-4(a0)的图象 位于x轴的上方, a .结合各选项知a的值为1.故选A.,16.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交 于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .,答案 a1或a-1,解析 解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y 轴的交点为(0,1-a). 分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1. 综上,实数a的取值范围是a1或a-
20、1.,解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方, 令y=x-a+10时,解得00时,若 有解,则a-10,解得a1; 当a1或a-1.,思路分析 考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:由于二次函数的图 象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从而得出 关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足 有解,解之即可.,难点突破 根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口.,17.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A
21、(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx 的解是 .,答案 x1=-2,x2=5,解析 解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的横 坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以将函 数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的解为x1=-2,x2=5. 解法二:依题意,得 解得 所以关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为
22、a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x, 化简得x2-3x-10=0, 解得x1=-2,x2=5.,18.(2016山东青岛,12,3分)已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,则c的值为 .,答案,解析 二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,一元二次方程3x2+c=4x,即3x2-4x+c=0 有两个相等的实数根,则有(-4)2-43c=0,解得c= .,19.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B( ,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系 是
23、 .,答案 y2y1y3,解析 A(4,y1),B( ,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上, y1=3,y2=5-4 ,y3=15. 5-4 315,y2y1y3.,思路分析 将三个点的坐标分别代入函数表达式中求出纵坐标,直接比较大小.,一题多解 设A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3.y=(x-2)2-1,对称轴为直线x=2, d1=2,d2=2- ,d3=4, 2- 0,y2y1y3.,20.(2015浙江绍兴,21,10分)如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线. (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写
24、出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案:y= 2x2+3x-4.请你写出一个不同于小敏的答案; (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值 最小时的解析式.请你解答.,解析 (1)不唯一,如y=x2-2x+2. (2)定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1, c=1-2b,顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1, 当b=1时,c+b2+1最小,抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,抛物线的解析式为y=-x2+2x.,答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2,
25、将B(45,-78)代入得-78=a452,a=- , 抛物线型钢拱的函数表达式为y=- x2,故选B.,思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式.,方法指导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下: 步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到关 于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值代入 所设表达式,写出表达式.,2.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t- t2. 在飞机着
26、陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m.,答案 24,解析 y=60t- t2=- (t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600 m.当t=16 时,y=6016- 162=576,所以最后4 s滑行的距离为600-576=24 m.,3.(2018辽宁沈阳,15,3分)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已 知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m时,矩形土地ABCD的面积最大.,答案 150,解析 四边形ABCD是矩形,ABCD,AB=CD,ADBC,AD=BC, 又EFCD,四边形C
27、DEF是平行四边形,EF=CD, 设AB=x,则EF=CD=x,篱笆总长为900 m,AD=BC= (0x300), S矩形ABCD=ABAD=x =- x2+450x,当x=- =150 m时,矩形土地ABCD的面积最大.,思路分析 篱笆由AB、EF、CD、AD、BC五段构成,由矩形性质可得,AB=EF=CD,AD=BC,设AB=x,则AD 可用含x的式子表示,从而矩形的面积也可用含x的式子表示,则利用矩形面积与x之间存在的函数关系可求 面积最大值.,疑难突破 当篱笆总长一定时,AD长随着AB的变化而变化,因此矩形面积与AB长之间存在着二次函数关 系,问题即转化为求二次函数的最大值问题.,解
28、后反思 本题中,二次函数的最大值可以用配方法,也可以直接由顶点公式得到.但要注意,还需要考虑最 大值点能否落在自变量的取值范围内.,4.(2015浙江温州,15,5分)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如 图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室总占 地面积最大为 m2.,答案 75,解析 设垂直于现有墙的一面墙长为x m,建成的饲养室总占地面积为y m2, 则利用现有墙的长为(27+3-3x)m, y=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75. -30,当x=5时,ymax=7
29、5, 即能建成的饲养室总占地面积最大为75 m2.,5.(2019内蒙古包头,23,10分)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租,每辆货车的日租金实行淡季、 旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 .据统计,淡季该公司平均每天有10辆货车未租出, 日租金总收入为1 500元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为4 000元. (1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡季每辆货车的日租金是多少元? (2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元,每天租出去的货车就会减少1辆,不考虑其 他因素,每辆货车的日租金上涨多少元时,该出租公司的日租金总收入最高?,
30、解析 (1)设该出租公司这批对外出租的货车共有x辆. 根据题意,得 = ,解得x=20. 经检验,x=20是所列方程的解.1 500(20-10)=150(元). 答:该出租公司这批对外出租的货车共有20辆,淡季每辆货车的日租金是150元. (5分) (2)设当旺季每辆货车的日租金上涨a元时,该出租公司的日租金总收入为w元. 根据题意,得w= , w=- a2+10a+4 000,w=- (a-100)2+4 500.- 0,当a=100时,w有最大值. 答:当旺季每辆货车的日租金上涨100元时,该出租公司的日租金总收入最高. (10分),思路分析 (1)以淡季和旺季货车日租金的关系建立等量关
31、系;(2)先根据题意列出货车出租公司的日租金 总收入w元与旺季每辆货车的日租金上涨a元的关系式,然后根据二次函数的性质求解.,6.(2019四川成都,26,8分)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销 售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数) 个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x之间的关系式; (2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p= x+ 来描述.根据以上信息,试 问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的
32、销售价格是多少元?,解析 (1)设y=kx+b,把(1,7 000)和(5,5 000)代入,得 解得 y与x之间的关系式为y=-500x+7 500. (2)设第x个销售周期的销售收入为w万元,则w=py= (-500x+7 500)=-250(x-7)2+16 000. -2500,当x=7时,w有最大值,此时y=-5007+7 500=4 000. 答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4 000元.,方法总结 用待定系数法可以求得函数解析式,用配方法可以求得二次函数的最值.,7.(2018河北,26,11分)下图是轮滑场地的截面示意图,平台AB距x轴(水平)18米
33、,与y轴交于点B,与滑道y= (x 1)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后,从A处向右下飞向滑道,点M是下落路 线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比,且t=1时h=5;M,A 的水平距离是vt米. (1)求k,并用t表示h; (2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围),及y=13时运动员与正下 方滑道的竖直距离; (3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5 米的位置时,直接写出t的值及v乙的范
34、围.,思路分析 (1)把点A的坐标代入y= 得出k值,设h=at2(a0),利用待定系数法即可求解;(2)根据题意分别用t 表示x、y,再把t= (x-1)代入消去t得y与x之间的关系式,令13=- (x-1)2+18,解得x=6(舍去负值),进一步把x=6 代入y= 求出y=3,最后求得运动员与正下方滑道的竖直距离;(3)求出甲距x轴1.8米时的横坐标及用v乙表示 的乙距x轴1.8米时的横坐标,根据题意列出不等式求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙的范围.,解题关键 本题是函数的综合题,准确理解题意,梳理所涉及的变量,并熟练掌握待定系数法求函数解析式 是解题的关键.,方法指导 利用二次函数解决
35、实际问题:(1)根据题目中直接给出或间接给出的变量关系得到符合题意的 二次函数解析式;(2)二次函数的应用题往往最终转化为计算函数值或自变量的值来解答.,8.(2018河南,21,10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间 满足一次函数关系.关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表:,(注:日销售利润=日销售量(销售单价-成本单价) (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值; (2)根据以上信息,填空: 该产品的成本单价是 元.当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是 元; (3)公司计划开展科技创新,以
36、降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元？,解析 (1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k0, 由题意得 解得 y关于x的函数解析式为y=-5x+600. (3分) 当x=115时,m=-5115+600=25. (4分) (2)80;100;2 000. (7分) (3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-590+600)(90-a)3 750.解得a65. 答:该产品的成本单价应不超过65元. (10分),思路分析 (1)在表格中任选两对x,y的值
37、,由待定系数法求得y关于x的函数解析式,把x=115代入求得m的值; (2)由85-875175=80,得成本单价,根据题意可求得w关于x的函数解析式,配方得解;(3)列出以a为未知数的 一元一次不等式,解不等式即可.,易错警示 解答第(2)问时,容易从表格中选取数值直接填空,造成错解,正确解法为:求出w关于x的解析式w =y(x-80)=-5(x-100)2+2 000,根据实际意义得,当x=100时,得出w的最大值2 000.,9.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与 月份x(月)的关系式为y= 每件产品的利润z(元)与
38、月份x(月)的关系如下表:,9.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与 月份x(月)的关系式为y= 每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:,(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式; (2)若月利润w(万元)=当月销售量y(元件)当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式; (3)当x为何值时,月利润w有最大值?最大值为多少?,解析 (1)根据表格可知,当1x10且x为整数时,z=-x+20; 当11x12且x为整数时,z=10. z与x的关系式为z= 或z= (2
39、)当1x8且x为整数时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80; 当9x10且x为整数时,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40x+400; 当11x12且x为整数时,w=10(-x+20)=-10x+200, w与x的关系式为w= 或w=,(3)当1x8且x为整数时,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144, 当x=8时,w有最大值,为144; 当9x10且x为整数时,w=x2-40x+400=(x-20)2, 当x=9时,w有最大值,为121; 当11x12且x为整数时,w=-10x+200, 当x=11时,w有最大值,为90. 90121144,x=8时,w有最
40、大值,为144. (或当1x8且x为整数时,w有最大值144;当x=9时,w=121;当x=10时,w=100;当x=11时,w=90;当x=12时, w=80),10.(2018内蒙古呼和浩特,25,10分)某市计划在十二年内通过公租房建设,解决低收入人群的住房问题.已知 前7年,每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系构成一次函数(1x7 且x为整数),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为 和 百万平方米;后5年每年竣工投入使 用的公租房面积y(单位:百万平方米)与时间x(第x年)的关系是y=- x+ (7x12且x为整数). (1)已知第6年竣工
41、投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题,如果人均住房面积最后一年要比第6 年提高20%,那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题? (2)受物价上涨等因素的影响,已知这12年中,每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同,且第一年,一年38 元/m2,第二年,一年40元/m2,第三年,一年42元/m2,第四年,一年44元/m2,以此类推.分析说明每平方米的 年租金和时间能否构成函数,如果能,直接写出函数解析式; (3)在(2)的条件下,假设每年的公租房当年全部出租完,写出这12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金 W关于时间x的函数解析式,并求出W的最大值(单位:亿元).
42、如果在W取得最大值的这一年,老张租用了58 m2 的房子,计算老张这一年应交付的租金.,解析 (1)设y=kx+b(k0,1x7且x为整数). 由已知得 解得 y=- x+4(1x7), x=6时,y=- 6+4=3, 30020=15,15(1+20%)=18, 又x=12时,y=- 12+ = , 10018=12.5万人. 最后一年可解决12.5万人的住房问题. (2)由于每平方米的年租金和时间都是变量,且对于每一个确定的时间x的值,每平方米的年租金m(元/m2)都 有唯一的值与它对应,所以它们能构成函数.,由题意知m=2x+36(1x12且x为整数). (3)W= x为整数. 当x=3
43、时,W=147,当x=8时,W=143,147143. 当x=3时,年租金最大,Wmax=1.47亿元. 当x=3时,m=23+36=42. 5842=2 436元. 老张这一年应交租金2 436元.,解题关键 解决本题的关键是要能从大量的文字信息中提取相关的已知条件,并能列出符合题意的表达 式,进而借助二次函数的顶点式(配方法)求出相应的最值.,11.(2017河北,26,12分)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x0.每件的售价为18万元,每 件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比,经市场调研 发现,月需求量x与月份n(
44、n为整数,1n12)符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了下表中的数据.,(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元; (2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损; (3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.,解析 (1)由题意设y=a+ ,由表中数据, 得 解得 y=6+ . (3分) 由题意,若12=18- ,则 =0,x0, 0. 不可能. (5分) (2)将n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得 120=2-2k+9k+27.解得k=13, 将n=2,x=100代入x=2n2-26
45、n+144也符合. k=13. (6分) 由题意,得18=6+ ,求得x=50. 50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0.,=(-13)2-41470,方程无实根. 不存在. (9分) (3)第m个月的利润W=x(18-y)=18x-x =12(x-50)=24(m2-13m+47), 第(m+1)个月的利润W=24(m+1)2-13(m+1)+47=24(m2-11m+35). 若WW,W-W=48(6-m),m取最小1,W-W=240最大. 若WW,W-W=48(m-6),m+112,m11, m取最大11,W-W=240最大.m=1或11. (12分),12.(2016湖
46、北武汉,22,10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销 两种产品的有关信息如下表:,其中a为常数,且3a5. (1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1,y2与x的函数关系式; (2)分别求出产销两种产品的最大年利润; (3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.,考点一 二次函数的图象与性质,1.(2018北京东城一模,2)当函数y=(x-1)2-2的函数值y随着x的增大而减小时,x的取值范围是 ( ) A.x0 B.x1 D.x为任意实数,答案 B 因为二次项系数为1,所以抛物线开口向上,因为y随着x的
47、增大而减小,且抛物线的对称轴为直线x =1,所以x1.故选B.,2.(2017北京通州一模,7)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C满足二次函数y=ax2+bx的表达式,则对该二 次函数的系数a和b判断正确的是 ( ) A.a0,b0 B.a0,b0,答案 D 由题目中给出的三个点,可以画出抛物线的示意图,如图所示.所以a0.故选D.,3.(2018北京燕山一模,12)写出经过点(0,0),(-2,0)的一个二次函数的解析式 (写一个即可).,答案 y=x2+2x(答案不唯一),解析 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,因为抛物线过点(0,0),(-2,0),所以c=0,4a-2b
48、=0,当a=1时,b=2,y=x2+2x. 答案不唯一.,4.(2017北京东城一模,12)请你写出一个二次函数,其图象满足条件:开口向上;与y轴的交点坐标为(0,1). 此二次函数的解析式可以是 .,答案 答案不唯一.如:y=x2+1,解析 设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a0),由开口向上可知a0,由与y轴的交点坐标为(0,1),可知c=1. 所以解析式可以是y=x2+1.答案不唯一.,5.(2019北京平谷一模,26(1)(2)平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-3与y轴交于点A,过A作ABx轴 与直线x=4交于点B. (1)抛物线的对称轴为x= (用含m的代数式表示); (2)当抛物线经过点A,B时,求抛物线的表达式.,解析 (1)m. (1分) (2)y=x2-2mx+m2-3=(x-m)2-3, 抛物线顶点坐标为(m,-3). (2分) 抛物线经过点A,B,且ABx轴, 抛物线对称轴为x=m=2. (3分) 抛物线的表达式为y=x2-4x+1. (4分),6.(2018北京丰台二模,20)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2
