1、1.(2019北京,3,2分)正十边形的外角和为 ( ) A.180 B.360 C.720 D.1 440,北京中考题组,答案 B 任何凸多边形的外角和都为360.故选B.,2.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为 ( ) A.360 B.540 C.720 D.900,答案 C 由多边形外角和为360,可知这个正多边形的边数为36060=6,由多边形内角和公式可知内角 和为180(6-2)=720.故选C.,3.(2017北京,6,3分)若正多边形的一个内角是150,则该正多边形的边数是 ( ) A.6 B.12 C.16 D.18,答案 B 由题意
2、得,该正多边形的每个外角均为30,则该正多边形的边数是 =12.故选B.,4.(2016北京,4,3分)内角和为540的多边形是 ( ),答案 C 设多边形的边数为n,由多边形内角和公式得(n-2)180=540,解得n=5,所以该多边形为五边形, 故选C.,5.(2019北京,14,2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如 图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为 .,答案 12,解析 设题图1中一个小直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则由题图2,题图3可列方程组 解得 所以题图1中菱形的面积为 46=12.,解题关键 解决本题的关键是要分析
3、题目中已知的“5”和“1”是由怎样的线段构成的.,6.(2019北京,16,2分)在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合). 对于任意矩形ABCD,下面四个结论中, 存在无数个四边形MNPQ是平行四边形; 存在无数个四边形MNPQ是矩形; 存在无数个四边形MNPQ是菱形; 至少存在一个四边形MNPQ是正方形. 所有正确结论的序号是 .,答案 ,解析 如图,由于是任意矩形,不妨设ADAB,取矩形的中心O,在AB边上任取一点M,连接MO并延长交CD于 点P,在BC边上任取一点N,连接NO并延长交AD于点Q,则四边形MNPQ是平行四边形,因为是任取,所以存
4、在 无数个四边形MNPQ是平行四边形,正确.可以构造NQ总垂直于MP,所以存在无数个四边形 MNPQ是菱 形,正确. 以点O为圆心,OM长为半径 作圆,当MO= AD时,O与矩形有六个交点,取AD与BC边上 关于O点对称的两个交点分别为Q,N,取AB,DC边上的交点分别为M,P(如图1),顺次连接这四个交点,则四边 形MNPQ为矩形;当 ADMOAO时,有8个交点,隔一个点取一个点分别为M,N,P,Q(如图2),顺次连接这四个,交点,则四边形MNPQ为矩形.所以存在无数个四边形 MNPQ是矩形,正确. 图1 图2,当四边形MNPQ是正方形时,MQ=PQ,MQP=90, 易证AMQDQP,AM=
5、QD,AQ=PD, 易证BOMDOP,PD=BM,AQ=BM,AB=AM+BM=QD+AQ=AD, 四边形ABCD是正方形,与任意矩形ABCD矛盾,所以错误.所以正确结论的序号是.,思路分析 本题需要借助(特殊)平行四边形与对角线相关的判定方法来解决.,解题关键 解决本题的关键是用对角线的关系判定四边形的形状画图时一定要关注AC,BD的交点O.,7.(2015北京,12,3分)下图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则1+2+3+4+5= .,答案 360,解析 多边形的外角和为360,1+2+3+4+5=360.,8.(2019北京,20,5分)如图,在菱形ABCD中,AC为
6、对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF. (1)求证:ACEF; (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tan G= ,求AO的长.,解析 (1)证明:四边形ABCD为菱形, AB=AD,AC平分BAD.BE=DF,AE=AF.ACEF. (2)四边形ABCD为菱形,AO=OC,OD= BD,ACBD. EFAC,BDEG.G=BDC.BD=4,OD=2. 在RtCOD中,tanCDO=tan G= ,可得OC=1.AO=1.,9.(2016北京,19,5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=D
7、E.,证明 四边形ABCD为平行四边形, ABCD.BAE=E. AE平分BAD,BAE=DAE. E=DAE,DA=DE.,思路分析 本题要证明在同一个三角形中的两条线段相等,可以考虑借助角相等来证明.,解题关键 解决本题的关键是要掌握平行四边形的性质,尤其是题目给出了角平分线,就需要多思考平行 四边形与角有关的性质.,10.(2018北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点 C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若AB= ,BD=2,求OE的长.,解析 (1)证明:AB
8、CD,OAB=DCA. AC平分BAD,OAB=DAC, DCA=DAC,CD=AD. 又AB=AD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形. 又CD=AD=AB,四边形ABCD为菱形. (2)四边形ABCD为菱形,OA=OC,BDAC. CEAE,OE=AO=OC.BD=2,OB= BD=1. 在RtAOB中,AB= ,OB=1, OA= =2,OE=2.,11.(2017北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中 点,连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.
9、,12.(2015北京,22,5分)在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF. (1)求证:四边形BFDE是矩形; (2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分DAB.,思路分析 (1)要证四边形BFDE是矩形,先证其是平行四边形,再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形证明. (2)由勾股定理求BC的长,证明ADF为等腰三角形,结合ABDC,证明DAF=FAB.,解题技巧 矩形是特殊的平行四边形,其内角为直角,故常与勾股定理结合.,考点一 多边形,教师专用题组,1.(2019河北,1,3分)下列图形为正多边形的是 ( ),答案 D 正多边形的各边
10、相等,各角相等,故选D.,2.(2019福建,5,4分)已知正多边形的一个外角是36,则该正多边形的边数为 ( ) A.12 B.10 C.8 D.6,答案 B 设该正多边形的边数为n,则n= =10,故选B.,3.(2019云南,9,4分)一个十二边形的内角和等于 ( ) A.2 160 B.2 080 C.1 980 D.1 800,答案 D 根据多边形的内角和公式(n-2)180,可得十二边形的内角和等于(12-2)180=1 800.故选D.,4.(2017新疆乌鲁木齐,5,4分)如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n的值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 C
11、 设正n边形外角的度数为x,则与它相邻内角的度数为2x,所以x+2x=180,解得x=60.因为36060= 6,所以这个正n边形是正六边形,故选C.,5.(2018陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则AFE的度数为 .,答案 72,解析 五边形ABCDE是正五边形, EAB=ABC= =108, BA=BC,BAC=BCA=36, 同理可得ABE=36,AFE=ABF+BAF=36+36=72.,6.(2018贵州贵阳,13,4分)如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点,且AM=BN,点O是正五边 形的中心,则MON的度数是 度.,答
12、案 72,7.(2018河北,19,6分)如图1,作BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以APB,APC,BPC为内角作正 多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案. 例如:若以BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时BPC=90,而 =45是360(多边形外角和)的 ,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示. 图2中的图案外轮廓周长是 ; 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是 .,图1,图2,答案 14;21,解析 题图2中的图案由两个边长均为1的正八边形和1个边长为1的
13、正方形组成,且三个正多边形三边相 连,题图2中的图案外轮廓周长是6+6+2=14.由于三个正多边形的边长均为1,显然以APB,APC为内角的 两个正多边形的边数越多(即以BPC为内角的正多边形的边数越少),会标的外轮廓周长越大.当以BPC 为内角的正多边形为等边三角形时,会标的外轮廓周长最大.此时APB=150,以APB,APC为内角的两 个正多边形均为正十二边形,会标的外轮廓周长为10+10+1=21.,8.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所 示,则AOB等于 度.,答案 108,解析 如图,正五边形中每一个内角都是10
14、8, OCD=ODC=180-108=72.COD=36. AOB=360-108-108-36=108.,考点二 (特殊)平行四边形,1.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60, 则CF的长是 ( ) A. B. C. -1 D.,答案 C 如图,连接EF,在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90,又AE=AF,RtABERtADF,BE =DF,又BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x(0x1),C=90,EF= x, 则AE= x.在RtABE中,12+(1-x)2=(
15、 x)2,化简得x2+2x-2=0,解得x= -1或x=-1- (舍),CF=CE= -1.故 选C.,2.(2018重庆,6,4分)下列命题正确的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分,答案 D 平行四边形的对角线互相平分,不一定垂直,选项A错误;矩形的对角线互相平分且相等,不一定 垂直,选项B错误;菱形的对角线互相垂直平分,不一定相等,选项C错误;正方形的对角线互相垂直平分,选项 D正确.故选D.,3.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中, 得出
16、四边形AECF一定为平 行四边形的是 ( ) A.BE=DF B.AE=CF C.AFCE D.BAE=DCF,思路分析 依据平行四边形的定义或判定定理进行判断.,4.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、 FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是 ( ) A.AB= EF B.AB= EF C.AB=2EF D.AB= EF,答案 D 如图,连接AC、BD交于O, 四边形ABCD是菱形, ACBD,OA=OC,OB=OD, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF= AC,EH= BD
17、,EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA, AB= = OA,易知OA=EF,AB= EF,故选D.,思路分析 首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF= AC, EH= BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB= OA,即得AB= EF.,5.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定ABCD是菱形的 只有 ( ) A.ACBD B.AB=BC C.AC=BD D.1=2,答案 C 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A正确;根据一组邻边相等的平行四边形是 菱形可得选项B
18、正确;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C错误;因为CDAB,所以2=DCA,再由 1=2,可得1=DCA,所以AD=CD,由一组邻边相等的平行四边形是菱形,得ABCD是菱形,D正确.故 选C.,6.(2016河北,13,2分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则B为 ( ) A.66 B.104 C.114 D.124,答案 C 设AB与CD相交于点P, 由折叠知CAB=CAB,由ABCD,得1=BAB, CAB=CAB= 1=22. 在ABC中,CAB=22,2=44, B=180-22-44=114.,7.(2015江西南昌,5,3分)如图,小贤为了体
19、验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD, B与D两点之间用一根橡皮筋 拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化.下列判断错误的是 ( ) A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B.BD的长度增大 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变,答案 C 向右扭动框架ABCD的过程中,AD与BC的距离逐渐减小,即ABCD的高发生变化,所以面积改 变,选项C错误,故选C.,8.(2019湖北武汉,14,3分)如图,在ABCD中,E,F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,ADF=90,BCD=63,则 ADE的大小是 .,答案 21,解析 设ADE=x,
20、AE=EF,ADF=90,DE=AE=EF. DAE=x.DEC=2x. 又AE=EF=CD,DC=DE.DCE=2x. ADBC,BCA=DAE=x. BCD=3x=63.x=21.即ADE=21.,9.(2019内蒙古呼和浩特,15,3分)已知正方形ABCD的面积是2,E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上 的一点.若CE= ,连接AE,与正方形另外一边CD交于点F,连接BF并延长,与线段DE交于点G,则BG的长为 .,答案,解析 如图,延长BG,AD交于点Q.正方形ABCD的面积为2,边长为 ,AQBC,CFAB. CE=BC= ,CF=DF= AB,易证DQFCBF,DQGEBG,
21、DQ=BC= ,在RtABQ中,由勾 股定理得BQ= = . = , = ,BG= .,10.(2019四川成都,14,4分)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:以点A为圆心,以 任意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC于点M;以点M为 圆心,以MN长为半径作弧,在COB内部交前面的弧于点N;过点N作射线ON交BC于点E.若AB=8,则线段 OE的长为 .,答案 4,解析 由作图方法可得COE=CAB,OEAB.在ABCD中,AO=CO,线段OE为ABC的中位线, 线段OE的长为线段AB长的一半,为4.,思路分析 根据作图方
22、法判断得出COE=CAB,由平行四边形的性质以及平行线的判定定理得出线段 OE是ABC的中位线,进而求得线段OE的长度.,11.(2019福建,14,4分)在平面直角坐标系xOy中,OABC的三个顶点分别为O(0,0),A(3,0),B(4,2),则其第四个 顶点C的坐标是 .,答案 (1,2),解析 O(0,0),A(3,0),OA=3.四边形OABC是平行四边形,BCOA.B(4,2),C(1,2).,12.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接AE,将ABE沿AE折 叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为
23、 .,答案 或,解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是解决 本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正方形可 求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值.,13.(2018湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD的边AD为边作等边ADE,则BEC的度数是 .,答案 30或150,解题关键 熟记正方形的性质、等边三角形的性质并准确作图是解题的关键.,易错警示 此题没有给出图形,需按点E的位置分类讨论,学生往往只画出点E在正方形外而导致漏解.,14.(20
24、18内蒙古呼和浩特,16,3分)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM AB,CBE由DAM平移得到.若过点E作EHAC,H为垂足,则有以下结论:点M位置变化,使得DHC= 60时,2BE=DM;无论点M运动到何处,都有DM= HM;无论点M运动到何处,CHM一定大于135,其中 正确结论的序号为 .,答案 ,解析 如图所示, 取CE的中点O,以点O为圆心,OH 为半径画圆,连接DH,延长EH交AD于F,连接FM,BH,HM,易知EH=HA=HF. 当DHC=60时,易得CEB=CHB=60,则BCE=30,所以2BE=CE=DM,故正确.因为CHE=90
25、, 所以AHF=90,易知DHF=AHM,所以DHM=90,易知DH=HM,所以无论点M运动到何处,都有DM= HM,故正确.由可知DHM=90,而CHD45,所以无论点M 运动到何处,CHM 一定大于135,故 正确.所以都正确.,思路分析 点E在运动的过程中,CBA=CHE=90,故B、E、H、C四点共圆,作出图形,再进行判断.,解题关键 解决本题的关键是要借助中点发现辅助圆.,15.(2016广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,对角线AC=2 ,E为BC边上一点,BC=3BE.将矩形ABCD沿AE所在 的直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B处,则AB= .,答案,解析 由折叠和矩形
26、的性质,可知BE=BE,ABE=ABE=90,EBC=90.BC=3BE,EC=2BE=2BE, ACB=30,AB= AC.AC=2 ,AB= .,16.(2019贵州贵阳,18,10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长AD至点E,使DE=AD,连接BD. (1)求证:四边形BCED是平行四边形; (2)若DA=DB=2,cos A= ,求点B到点E的距离.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC, 又点E在AD的延长线上,且DE=AD, DEBC,DE=BC, 四边形BCED是平行四边形. (2)DA=DB=2,且四边形ABCD是平行四边形, DA=DB
27、=BC=2, 由(1)知四边形BCED是平行四边形, 四边形BCED是菱形. 连接BE,易知BEDC,BEAB, 在RtABE中,AE=2DA=4,cos A= ,AB=AEcos A=4 =1,BE= = ,BE= .,17.(2019吉林,19,7分)图,图均为44的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.在图中已画出线段 AB,在图中已画出线段CD,其中A,B,C,D均为格点.按下列要求画图: (1)在图中,以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F为格点; (2)在图中,以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,H为格点,CGD=CHD=90.,解题关键 解决本题的关键是要
28、添加一些边角条件并借助相关图形的判定定理进行证明,方法不唯一,建 议尝试多种方法解决.,18.(2019安徽,20,10分)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEADF; (2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求 的值.,思路分析 (1)延长FA与CB的延长线交于M,根据平行四边形ABCD的性质可以证明EBC=FAD,ECB =FDA,从而证明BCEADF(ASA);(2)解法一:连接EF,易证四边形ABEF、CDFE都是平行四边形,从 而得T=S四边形AEDF=SAEF+SDEF=SAEB+SDEC,再证得T=SAED+SBCE,即可得出结果.解法
29、二:利用BCEADF可 证T=SAED+SBCE,然后作HG垂直BC,由三角形的面积公式及AD=BC得出结果.,方法总结 求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟悉易 求的图形面积.,19.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在ABCD中,分别以边BC,CD作等腰BCF,CDE,使BC=BF,CD=DE, CBF=CDE,连接AF,AE. (1)求证:ABFEDA; (2)延长AB与CF相交于点G.若AFAE,求证:BFBC.,证明 (1)四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=DE,BF=BC=AD,ABC=ADC,又CBF=CDE, ABF=ADE,
30、在ABF与EDA中,AB=ED,ABF=EDA,BF=DA,ABFEDA. (2)由(1)知EAD=AFB,GBF=AFB+BAF=EAD+BAF,易知ADBC,DAG=CBG,AF AE,EAF=90,FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90,BFBC.,20.(2018山西,22,12分)综合与实践 问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一 点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与 DE的位置关系. 探究展示:勤奋小组发现,AM垂直
31、平分DE,并展示了如下的证明方法:,图1,证明:BE=AB,AE=2AB. AD=2AB,AD=AE. 四边形ABCD是矩形, ADBC. = .(依据1) BE=AB, =1.EM=DM. 即AM是ADE的DE边上的中线,又AD=AE,AMDE.(依据2)AM垂直平分DE. 反思交流: (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么? 试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明; (2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CE- FG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明; 探索发现:,解析
32、 (1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例). (1分) 依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”). (2分) 点A在线段GF的垂直平分线上. (3分) (2)证明:过点G作GHBC于点H. (4分) 四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=GHC=90.1+2=90. 四边形CEFG为正方形,CG=CE,GCE=90. 1+3=90,2=3.GHCCBE. (6分),HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH.
33、GH垂直平分BC.点G在BC的垂直平分线上. (7分) (3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).(8分) 证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N.(9分) BMN=ENM=ENF=90.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=90.四边形BENM为矩形. (10分),BM=EN,BEN=90.1+2=90.四边形CEFG为正方形,EF=EC,CEF=90.2+3=90. 1=3.CBE=ENF=90, ENFEBC. (11分) NE=BE.BM=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC. AD=2AB,AB=BE,BC=2BM.B
34、M=MC. FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上.(12分) 证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.(9分),四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上, CBE=ABC=N=90.1+3=90. 四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90. 1+2=90,2=3.ENFCBE. (10分) NF=BE,NE=BC.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a.BF = = = a, CE= = = a, CF= = CE= a. (11分) BF=CF.点F在BC边的垂直平分线上. (12分),21.
35、(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等 时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰,AB=AC, BD,CE是中线,AD= AC,AE= AB,AD=AE, 又A=A,ABDACE,BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证 OE=OD,从而四边形D
36、EMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正 方形.,22.(2015湖南郴州,23,8分)如图,AC是ABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交AD,BC于点E,F. (1)求证:AOECOF; (2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.,解析 (1)证明:在ABCD中,ADBC, EAO=FCO. (1分) 点O是AC的中点,AO=CO. (2分) 又EOA=FOC,AOECOF. (4分) (2)当EFAC时,四边形AFCE是菱形. (5分) 理由如下: 由(1)知AOECOF,OE=OF.又AO=CO, 四边形AFCE是平
37、行四边形. (7分) 当EFAC时,四边形AFCE是菱形. (8分),23.(2015山东聊城,21,8分)如图,在ABC中,AB=BC,BD平分ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于 点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.,证明 AB=BC,BD平分ABC, BDAC,AD=CD. (2分) 四边形ABED是平行四边形,BEAD,BE=AD, (4分) BE=CD.四边形BECD是平行四边形. (6分) BDAC,BDC=90,BECD是矩形. (8分),24.(2015黑龙江哈尔滨,22,7分)图1,图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的 边长均为1
38、,每个小正方形的顶点叫做格点. (1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且MON=90; (2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积 的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积 没有剩余(画出一种即可).,解析 (1)正确画图(如图1). (3分) (2)正方形ABCD正确(如图2). (5分) 分割正确(如图3). (7分),考点一 多边形,1.(2019北京东城一模,5)若一个多边形的每个内角均为120,则该多边形是 ( ) A.四边形 B.五边形 C.
39、六边形 D.七边形,答案 C 由每一个内角均为120,所以每一个外角均为60,36060=6,所以该多边形为六边形,故选C.,2.(2019北京平谷一模,3)如图,正五边形ABCDE,点F是AB延长线上的一点,则CBF的度数是 ( ) A.60 B.72 C.108 D.120,答案 B 正多边形外角和为360,CBF=3605=72.故选B.,3.(2019北京丰台一模,1)下面的多边形中,内角和与外角和相等的是 ( ),答案 B 三角形的内、外角和分别是180、360;四边形的内、外角和都是360;五边形的内、外角和分 别是540、360;六边形的内、外角和分别是720、360.故选B.,
40、4.(2019北京门头沟一模,5)如果一个多边形的内角和是外角和的2倍,那么这个多边形的边数为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 B 设多边形的边数为n,则根据多边形内角和公式和外角的性质,可列方程(n-2)180=3602,解得n= 6.故选B.,5.(2018北京海淀一模,3)若正多边形的一个外角是120,则该正多边形的边数是 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 D 由外角和为360,可得360120=3.故选D.,6.(2017北京海淀一模,3)五边形的内角和是 ( ) A.360 B.540 C.720 D.900,答案 B 180(5-2)=540.故选B.,7
41、.(2019北京朝阳一模,11)如图,某人从点A出发,前进5 m后向右转60,再前进5 m后又向右转60,这样一直走 下去,当他第一次回到出发点A时,共走了 m.,答案 30,解析 根据题意可知,回到出发地一共需要右转6次,所以共走了56=30 m.,8.(2019北京通州一模,11)中国人民银行下发通知,决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中的菊花1 角硬币.如图所示,则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 .,答案 40,解析 观察硬币可知多边形的边数为9,所以每一个外角的度数为3609=40.,9.(2019北京延庆一模,10)如图,1,2,3是多边形的三个外角,边CD,AE
42、的延长线交于点F,如果1+2+ 3=225,那么DFE的度数是 .,答案 45,解析 由多边形外角和为360可求FDE+DEF=135,所以DFE=180-135=45.,10.(2018北京石景山一模,10)若某正多边形的一个外角是45,则该正多边形的边数是 .,答案 8,解析 设正多边形的边数为n,则由外角和为360可得45n=360,解得n=8.,考点二 (特殊)平行四边形,1.(2017北京通州一模,8)如图,将一张矩形的纸对折,旋转90后再对折,然后沿着图中的虚线剪下,则剪下的 纸片打开后的形状一定为 ( ) A.三角形 B.菱形 C.矩形 D.正方形,答案 B 由题意可知,一共折了
43、两次,所以能够得到边长相等的四边形,即菱形.故选B.,答案 SBEA;SBFC;ACBD,解析 观察题图可知AOD和COD“移动”到了BEA和BFC处,即面积相等,通过等量代换得到 “对角线乘积之半”,即 ACBD.,3.(2019北京朝阳一模,21)如图,在RtABC中,ABC=90,D,E分别是边BC,AC的中点,连接ED并延长到点F, 使DF=ED,连接BE,BF,CF,AD. (1)求证:四边形BFCE是菱形; (2)若BC=4,EF=2,求AD的长.,解析 (1)证明:D,E分别是边BC,AC的中点, CD=BD,EDAB. (1分) ABC=90,EDC=90. (2分) DF=E
44、D,线段BC,EF互相垂直平分. 四边形BFCE是菱形. (3分) (2)BC=4,EF=2,BD=2,ED=1. (4分) 由(1)可知AB=2ED=2.在RtABD中,由勾股定理可求AD=2 . (5分),解题关键 解决本题第二问的关键是借助菱形对角线互相垂直以及勾股定理.,4.(2019北京东城一模,21)如图,在ABC中,CD平分ACB,CD的垂直平分线分别交AC,DC,BC于点E,F,G,连 接DE,DG. (1)求证:四边形DGCE是菱形; (2)若ACB=30,B=45,ED=6,求BG的长.,5.(2019北京石景山一模,21)如图,在ABC中,ACB=90,D为AB边上一点,
45、连接CD,E为CD中点,连接BE并 延长至点F,使得EF=EB,连接DF交AC于点G,连接CF. (1)求证:四边形DBCF是平行四边形; (2)若A=30,BC=4,CF=6,求CD的长.,解析 (1)证明:点E为CD中点,CE=DE. EF=BE,四边形DBCF是平行四边形. (2)四边形DBCF是平行四边形, CFAB,DFBC. FCG=A=30,CGF=CGD=ACB=90. 在RtFCG中,CF=6,FG= CF=3,CG=3 . DF=BC=4,DG=1. 在RtDCG中,由勾股定理,得CD=2 .,6.(2019北京通州一模,21)如图,在ABC中,ACB=90,D是BC边上的
46、一点,分别过点A、B作BD、AD的平行 线交于点E,且AB平分EAD. (1)求证:四边形EADB是菱形; (2)连接EC,当BAC=60,BC=2 时,求ECB的面积.,解析 (1)证明:ADBE,AEBD, 四边形EADB是平行四边形. (1分) AB平分EAD,EAB=DAB. AEBD,EAB=DBA. DAB=DBA.AD=BD.四边形EADB是菱形. (2分) (2)ACB=90,BAC=60,BC=2 , tan 60= = .AC=2. (3分) SACB= ACBC= 22 =2 . (4分) AEBC,SECB=SACB=2 . (5分),7.(2019北京丰台一模,21)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点O关于直线CD的对称点为E, 连接D
