1、一、与尺规作图有关的证明 (2016江苏盐城,23,10分)如图,已知ABC中,ABC=90. (1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母). 作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O; 连接BO并延长,在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB; 连接DA、DC. (2)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.,解析 (1)如图所示. (2)四边形ABCD是矩形. 理由:RtABC中,ABC=90,BO是AC边上的中线,BO= AC,AO=CO, 又BO=DO,AO=CO=BO=DO, 四边形ABCD是矩形.,二、与图形平移、轴对称有关的证明 (2015山东东营,24,10分)如
2、图,两个全等的ABC和DEF重叠在一起,固定ABC,将DEF进行如下变换: (1)如图1,DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF、AD、BD,请直接写出SABC与S四边形AFBD 的关系; (2)如图2,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么ABC应满足什么条件?请给出证 明; (3)在(2)的条件下,将DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你在图3的位置画出图形, 并求出sinCGF的值.,图3,解析 (1)SABC=S四边形AFBD. (2)ABC为等腰直角三角形,即AB=AC,BAC=90. 理由如下: F为BC的中点,
3、CF=BF.CF=AD,AD=BF. 又ADBF,四边形AFBD为平行四边形. AB=AC,F为BC的中点,AFBC, 平行四边形AFBD为矩形. BAC=90,F为BC的中点, AF= BC=BF,四边形AFBD为正方形. (3)正确画出图形如图所示.,由(2)知,ABC为等腰直角三角形,AFBC. 设CF=k,k0,则GF=EF=CB=2k. 由勾股定理,得CG= k. sinCGF= = = .,三、与图形旋转有关的证明 (2015辽宁本溪,25,12分)如图1,在ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为 (0”“=”或“”),线段BD、CD与AD之间的
4、数量关系是 ; (2)当BAC=120时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若CDP=60,求证:BD-CD= AD; (3)将图3中的BP继续旋转,当30180时,点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若CDP=120,请直 接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明).,解析 (1)如图,CDP=120,CDB=60, BAC=60,CDB=BAC, A、B、C、D四点共圆,ACD=ABD. 在BP上截取BE=CD,连接AE. 在DCA和EBA中, DCAEBA(SAS), AD=AE,DAC=EAB, CAB=CAE+EAB=60,DAE=60,ADE是等边三角形,D
5、E=AD. BD=BE+DE,BD=CD+AD. (2)证明:如图,设AC与BD相交于点O,在BP上截取BE=CD,连接AE,过A作AFBD于F. CDP=60,CDB=120. CAB=120,CDB=CAB, DOC=AOB,DOCAOB, DCA=EBA.,在DCA和EBA中, DCAEBA(SAS), AD=AE,DAC=EAB. CAB=CAE+EAB=120,DAE=120, ADE=AED= =30. 在RtADF中,ADF=30,DF= AD, DE=2DF= AD,BD=DE+BE= AD+CD, BD-CD= AD. (3)BD+CD= AD.,教师专用题组 一、与尺规作图
6、有关的证明 (2018广东广州,23,12分)如图,在四边形ABCD中,B=C=90,ABCD,AD=AB+CD. (1)利用尺规作ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下, 证明:AEDE; 若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.,(2)证明:如图,延长DE、AB相交于点F. ABC=C=90,ABC+C=180.ABCD.CDE=F.DE平分ADC,ADE=CDE. ADE=F.AD=AF=AB+BF.又AD=AB+CD,AB+BF=AB+CD.BF=CD.,解析 (1)如图所示.,在CED和BE
7、F中, CEDBEF.DE=EF.又AD=AF,AEDE. 如图,作DHAB于H,作点N关于AE的对称点N,连接MN,BM,则MN=MN.BM+MN=BM+MN.由可得 AD=AF,DE=EF, AE平分DAB. 点N在AD上.当点B,M,N共线且BNAD时,BM+MN有最小值,即BM+MN有最小值.在RtADH中,AD= AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH= = =4 . DHA=BNA=90,DAH=BAN,DAHBAN. = . = .BN= ,BM+MN的最小值为 .,二、与图形平移、轴对称有关的证明 1.(2016广东,25,9分)如图,BD是正方形ABCD的
8、对角线,BC=2.边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到 的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QOBD,垂足为O,连接OA、OP. (1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形; (2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明; (3)在平移变换过程中,设y=SOPB,BP=x(0x2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.,解析 (1)四边形APQD是平行四边形. (1分) (2)OA=OP且OAOP.证明如下: 当BC向右平移时,如图a, 图a 四边形ABCD是正方形, AB=BC,ABD=CBD=45. PQ=BC,AB=PQ. QOBD
9、,BOQ=90, BQO=90-CBD=45, BQO=CBD=ABD=45, OB=OQ. 在ABO和PQO中, ABOPQO(SAS), (3分) OA=OP,AOB=POQ. POQ+BOP=BOQ=90, AOB+BOP=90,即AOP=90. OAOP, OA=OP且OAOP. (4分),当BC向左平移时,如图b, 图b 同理可证,ABOPQO(SAS), OA=OP,AOB=POQ, AOP+POB=POB+BOQ, AOP=BOQ=90, OAOP, OA=OP且OAOP. (5分),(3)过点O作OEBC于E. 在RtBOQ中,OB=OQ, OE= BQ. 当BC向右平移时,如
10、图c, (6分) 图c BQ=BP+PQ=x+2, OE= (x+2).,y=SOPB= BPOE= x (x+2), y= x2+ x(0x2). 当x=2时,y有最大值2. (7分) 当BC向左平移时,如图d,BQ=PQ-PB=2-x, 图d OE= (2-x). y=SOPB= BPOE= x (2-x),y=- x2+ x(0x2). 当x=1时,y有最大值 . (8分) 综上所述,线段BC在其所在直线上平移的过程中,OPB的面积能够取得最大值,最大值为2(参考图e). (9 分),图e,2.(2015北京,28,7分)在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D
11、不重合),连接AP,平移 ADP,使点D移动到点C,得到BCQ,过点Q作QHBD于点H,连接AH,PH. (1)若点P在线段CD上,如图1, 依题意补全图1; 判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明; (2)若点P在线段CD的延长线上,且AHQ=152,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写 出计算结果),图1 备用图,解析 (1)补全图形,如图1所示. 图1 AH与PH的数量关系:AH=PH,位置关系:AHPH. 证明:如图1. 由平移可知,PQ=DC. 四边形ABCD是正方形, AD=DC,ADB=BDQ=45.AD=PQ.,QHBD,HQD=HDQ=45. HD
12、=HQ,ADB=DQH. ADHPQH. AH=PH,AHD=PHQ. AHD+DHP=PHQ+DHP. 即AHP=DHQ=90.AHPH. (2)求解思路如下: a.由AHQ=152画出图形,如图2所示; b.与同理,可证AHDPHQ,可得AH=PH; c.由AHP=AHD-PHD=PHQ-PHD=90,可得AHP是等腰直角三角形; d.由AHQ=152,BHQ=90,可求BHA,DAH,PAD的度数; e.在RtADP中,由PAD的度数和AD的长,可求DP的长.,图2,三、与图形旋转有关的证明 1.(2016湖北荆门,19,9分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,E分别在AB,AC
13、上,CE=BC,连接CD,将线段CD 绕点C按顺时针方向旋转90后得CF,连接EF. (1)补全图形; (2)若EFCD,求证:BDC=90.,解析 (1)补全图形,如图所示. (2)证明:由旋转的性质得DCF=90, DCE+ECF=90, ACB=90,DCE+BCD=90,ECF=BCD, EFDC,EFC+DCF=180, EFC=90, 在BDC和EFC中, ,BDCEFC(SAS),BDC=EFC=90.,2.(2016辽宁沈阳,24,12分)在ABC中,AB=6,AC=BC=5,将ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到ADE,旋转 角为(0180),点B的对应点为点D,点C的对应点为
14、点E,连接BD,BE. (1)如图,当=60时,延长BE交AD于点F. 求证:ABD是等边三角形; 求证:BFAD,AF=DF; 请 写出BE的长; (2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当DAG=ACB,且线段DG与线段AE无 公共点时,请 写出BE+CE的值. 温馨提示:学生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.,解析 (1)证明:ABC绕点A按顺时针方向旋转60得到ADE,AB=AD,BAD=60, ABD是等边三角形. 证明:由得ABD是等边三角形, AB=BD. ABC绕点A按顺时针方向旋转60得到ADE, AC=AE,BC=DE. 又AC=BC, EA=ED. 点B,E在AD的中垂线上, BE垂直平分AD. 点F在BE的延长线上, BFAD,AF=DF. 3 -4.,(2)13.,
