1、第八章 立体几何初步（期末复习）考点一空间几何体的结构特征例1、 (1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是_.考点二空间几何体的直观图例2、水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图
2、所示的，其中， ，则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( )ABCD考点三空间几何体的体积例3、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_.变式1、如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A.3 B. C.1 D. 考点四多面体与球的切、接问题例4、在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4 B. C.6 D. 变式2、若本例中的条件变为“
3、直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积.变式3、三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A.23 B. C.64 D. 考点五判断空间直线的位置关系例5、将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.异面且垂直 D.异面但不垂直考点六异面直线所成的角例6、在长方体中，则直线与所成角的余弦值为（）A B C D考点七与线
4、、面平行相关命题的判定例7、 (1) 在空间中，a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若ac，bc，则abB.若a，b，则abC.若a，b，则abD.若，a，则a(2)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC平面DEF的是()考点八直线与平面平行的判定与性质例8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1.(1)证明：EF平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.考点九面面平行的判定与性质例9、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A
5、1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.变式3、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2CD2AD4，侧面PAB是等腰直角三角形，PAPB，平面PAB平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥FDCE的体积.考点十线面垂直的判定与性质例10、如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.考点十一面面垂直的判定与
6、性质例11、如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC90，ADSD，BCCDAB，侧面SAD底面ABCD.(1)求证：平面SBD平面SAD；(2)若SDA120，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面 SAB的面积.考点十二平行与垂直的综合问题例12-1、如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得ACBM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由.例12-2、如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与
7、BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.变式4：如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG.(2)求二面角PADC的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.第八章 立体几何初步（期末复习）答案例1 (1)A(2) 例2、B 例3、 变式1、 C 例4、B 变式2、解、将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球.体对角线BC1的长为球O的直径
8、.因此2R 故S球4R2169.变式3、D 例5、C 例6、D 例7、(1)D(2)B例8、(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，M，F分别是PC，PB的中点，MFCB，MFCB，E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，DECB，DECB，MFDE，MFDE，四边形DEFM为平行四边形，EFDM，EF平面PDC，DM平面PDC，EF平面PDC.(2)解EF平面PDC，点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.PA平面ABCD，PADA，在RtPAD中，PAAD1，DP.PA平面ABCD，PACB，CBAB，PAABA，CB平面PAB，CBPB，则PC，PD2DC2PC2，PDC为直
9、角三角形，SPDC1.连接EP，EC，易知VEPDCVCPDE，设E到平面PDC的距离为h，CDAD，CDPA，ADPAA，CD平面PAD，则h11，h，点F到平面PDC的距离为.例9、证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB，A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EE
10、FE，平面EFA1平面BCHG.变式3、解(1)因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面ABCDCE，平面PAD平面ABCDAD，所以CEAD，又ABDC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DCAEAB，即点E是AB的中点.因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面PABEF，平面PAD平面PABPA，所以EFPA，又点E是AB的中点，所以点F是PB的中点.综上，E，F分别是AB，PB的中点.(2)连接PE，由题意及(1)知PAPB，AEEB，所以PEAB，又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，所以PE平面ABCD.又ABCD，ABAD，所以VFDECVPDECSDECPE22
11、2.例10、(1)证明因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足为H.又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OCAC2，CMBC，ACB45.所以OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.例11、(1)证明设BCa，则CDa，AB2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90，则BDa，CBD45，所以ABDABCCBD45，在ABD
12、中，ADa，因为AD2BD24a2AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAD.(2)解由(1)可知ADSDa，在SAD中，SDA120，SA2SDsin 60a.作SHAD，交AD的延长线于点H，则SHSDsin 60a，由(1)知BD平面SAD，因为SH平面SAD，所以BDSH.又ADBDD，所以SH平面ABCD，所以SH为三棱锥SBCD的高，所以VSBCDaa2，解得a1.由BD平面SAD，SD平面SAD，可得BDSD，则SB2.又AB2，SA，在等腰三角形SBA中，边SA上
13、的高为，则SAB的面积为.例12-1、解(1)由题知AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60，由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高.又PA1，所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN.由MNPA，得.例12-2、(1)解如图，由已知ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面
14、PDC，PD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得AP故cosDAP.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明由(1)知ADPD，又因为BCAD，所以PDBC.又PDPB，BCPBB，所以PD平面PBC.(3)解过点D作DFAB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC，DFAB，故BFAD1.由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC.在RtDCF中，可得DF2在RtDPF中，可得sinDFP.所以直线AB与平面PB
15、C所成角的正弦值为.变式4、(1)证明因为PDPC且点E为CD的中点，所以PEDC.又平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，又FG平面ABCD，所以PEFG.(2)解由(1)知PE平面ABCD，PEAD，又ADCD，PECDE，AD平面PDC，ADPD，PDC为二面角PADC的平面角，在RtPDE中，PD4，DE3，PE，tanPDC.故二面角PADC的正切值为. (3)解如图，连接AC，AF2FB，CG2GB，ACFG.直线PA与FG所成角即直线PA与AC所成角PAC.在RtPDA中，PA2AD2PD225，PA5.又PC4.AC2CD2AD236945，AC3 .又cosPAC.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.
