1、第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有0的解集是()A(2,0)(2，) B(2,0)(0,2)C(，2)(2，) D(，2)(0,2)答案D解析当x0时，0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)命题点2证明不等式例2(2016全国丙卷)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，1x.(1)解由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令
2、f(x)0，解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即10，f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以x1为极大值点，所以0a1a，故a0，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)g(1)2，故k2.所以实数k的取值范围是(，2引申探究本例(2)中若改为：存在x01，e，使不等式f(x)成立，求实数k的取值范围解当x1，e时，k有解，令g(x)，由例3(2)解题知，g(x)为单调增函数，g(x)max
3、g(e)2，k2，即实数k的取值范围是(，2思维升华(1)利用导数解不等式的思路已知一个含f(x)的不等式，可得到和f(x)有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式(2)利用导数证明不等式的方法证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)时，令f(x)0，得x若x则f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x0，h(x)2ln x，x0，则f(x)m(x)h(x)，当a2时，m(x)在(0，)上为减函数，h(x)在(0，)上为增
4、函数，若f(x)在(0，)上无零点，则m()h()，即(2a)(1)2ln ，a24ln 2，24ln 2a2，当a2时，在(0，)上m(x)0，h(x)0，f(x)在(0，)上无零点由得a24ln 2，amin24ln 2.思维升华利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数(2016郑州模拟)定义在R上的奇函数yf(x)满足f(3)0，且不等式f(x)xf(x)在(0，)上恒成立，则函数g(x)xf(x)lg|x1|
5、的零点个数为()A4 B3 C2 D1答案B解析定义在R上的奇函数f(x)满足：f(0)0f(3)f(3)，f(x)f(x)，当x0时，f(x)xf(x)，即f(x)xf(x)0，xf(x)0，即h(x)xf(x)在x0时是增函数，又h(x)xf(x)xf(x)，h(x)xf(x)是偶函数，当x0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)f(3)f(3)0，可得函数y1xf(x)与y2lg|x1|的大致图象如图，由图象可知，函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点的个数为3.题型三利用导数研究生活中的优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售
6、价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为当x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析令yx239x400，得x1或x40，由于当0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值一审条件挖隐含典例
7、(12分)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M(正确理解“存在”的含义)g(x1)g(x2)maxM挖掘g(x1)g(x2)max的隐含实质g(x)maxg(x)minM求得M的最大整数值(2)对任意s，t，2都有f(s)g(t)(理解“任意”的含义)f(x)ming(x)max求得g(x)max1xln x1恒成立分离参数aaxx2ln x恒成立求h(x)xx2ln x的
8、最大值ah(x)maxh(1)1a1规范解答解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.2分由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x(x)令g(x)0，得x，又x0,2，所以g(x)在区间0，上单调递减，在区间，2上单调递增，所以g(x)ming()，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.5分(2)对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间，2上，函数f(x)ming(x)max.7分由(1)可知在区间，2上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间
9、，2上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间，2上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.10分即函数h(x)xx2ln x在区间(，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，)12分1已知f(x)，g(x) (g(x)0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，且f(3)0，则0的解集为()A(，3)(3，)B(3,0)(0,3)C(3,0)(3，)D(，3)(0,3)答案C解析由已
10、知得，是奇函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)，0，则在(，0)上为减函数，在(0，)上也为减函数又f(3)0，则有0，可知0的解集为(3，0)(3，)故选C.2(2016兰州模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)ex的解集为()A(2，) B(0，)C(1，) D(4，)答案B解析f(x2)为偶函数，f(x2)的图象关于x0对称，f(x)的图象关于x2对称，f(4)f(0)1.设g(x)(xR)，则g(x)，又f(x)f(x)，g(x)0(xR)，函数g(x)在定义域上单调递减，f(x)e
11、xg(x)1，而g(0)1，f(x)exg(x)0，故选B.3方程x36x29x100的实根个数是()A3 B2 C1 D0答案C解析设f(x)x36x29x10，则f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1，故选C.4当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B6，C6，2 D4，3答案C解析当x(0,1时，a3()34()2，令t，则t1，)，a3t34t2t，令g(t)3t34t2t，在t1，)上，g(t)0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万
12、件 B2百万件C3百万件 D4百万件答案C解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0，即AB的最小值是42ln 2，故选C.7已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，f(x)0，若af，b2f(2)，cf，则a，b，c的大小关系正确的是()Aabc BbcaCacb Dca0时，h(x)f(x)xf(x)0，此时函数h(x)单调递增afh，b2f(2)2f(2)h(2)，cfhh(ln 2)h(ln 2)，又ln 22，acb，故选C.8若函数f(x)2xsin x对任意的m2,2，f(mx3)f(x)0，则f(x)在定义域内为增函数，所以f(mx3)
13、f(x)0可变形为f(mx3)f(x)，所以mx3x，将其看作关于m的一次函数，则g(m)xm3x，m2,2，可得当m2,2时，g(m)0恒成立g(2)0，g(2)0，解得3x1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为_答案(0，)解析设g(x)exf(x)ex(xR)，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，f(x)f(x)1，f(x)f(x)10，g(x)0，yg(x)在定义域上单调递增，exf(x)ex3，g(x)3，又g(0)e0f(0)e0413，g(x)g(0)，x0.10已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零
14、点x0且x00，则a的取值范围是_答案(，2)解析当a0时，f(x)3x21有两个零点，不合题意，故a0，f(x)3ax26x3x(ax2)，令f(x)0，得x10，x2.若a0，由三次函数图象知f(x)有负数零点，不合题意，故a0知，f()0，即a()33()210，化简得a240，又a0，所以a1且x0，证明：g(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0时，f(x)0，g(x)01.当1x0时，g(x)x.设h(x)f(x)x，则h(x)xex1.当x(1,0)时，0x1,0ex1，则0xex1，从而当x(1,0)时，h(x)0，h(x)在(1,0)上单调递减当1xh(0)0，
15、即g(x)1且x0时总有g(x)0.当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f()1a(1)a0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，f(x)exa，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求实数a的取值范围是e2a0时，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，x1不是f(x)的极值点故不存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值(2)由f(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax2x0，记F(x)xln x(x0)，F(x)(x0)，当0x1时，F(x)1时，F(x)0，F(x)单调递增F(x)F(1)10，a，记G(x)，x，e，G(x).x，e，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x(，1)时，G(x)0，G(x)单调递增，G(x)minG(1)1.aG(x)min1.故实数a的取值范围为1，)
