1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式,总纲目录,教材研读,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式,考点突破,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式,3.有关公式的逆用、变形,考点二公式的逆用及变形应用,考点一公式的直接应用,考点三角的变换,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()=sin cos cos sin ,cos()=cos cos ?sin sin ,tan()=?.,教材研读,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2=2sin cos ,cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,tan 2=?.,3.有关公式的逆用、变形(1)tan tan =t
2、an()(1?tan tan );(2)cos2=?,sin2=?;(3)1+sin 2=(sin +cos )2,1-sin 2=(sin -cos )2.,1.sin 20cos 10-cos 160sin 10=?()A.-?B.?C.-?D.,D,答案D 解法一:原式=cos 18cos 42-sin 18sin 42=cos(18+42)=cos 60=?.解法二:原式=sin 72cos 42-cos 72sin 42=sin(72-42)=sin 30=?.,2.化简cos 18cos 42-cos 72sin 42的值为?()A.?B.?C.-?D.-,B,答案B解法一:原式=
3、cos 18cos 42-sin 18sin 42=cos(18+42)=cos 60=?.解法二:原式=sin 72cos 42-cos 72sin 42=sin(72-42)=sin 30=?.,3.已知?,cos =?,则cos?=?()A.?-?B.1-?C.-?+?D.-1+,答案A?,cos =?,sin =?.cos?=cos cos?-sin sin?=?-?=?-?.,A,4.已知sin(-k)=?(kZ),则cos 2的值为?()A.?B.-?C.?D.-,A,5.若tan?=?,则tan =.,答案,解析因为tan?=?,所以tan =tan?=?=?=?.,6.?=.,
4、答案,解析?=?tan 30=?=?.,典例1(1)已知sin?=cos?,则tan =?()A.-1B.0C.?D.1(2)(2017课标全国,15,5分)已知?,tan =2,则cos?=.(3)设sin 2=-sin ,?,则tan 2的值是.,考点一公式的直接应用,考点突破,答案(1)A(2)?(3),解析(1)sin?=cos?,?cos -?sin =?cos -?sin .?cos =?sin ,tan =?=-1.故选A.(2)因为?,且tan =?=2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所以sin =?,cos =?,则cos?=cos cos?+sin s
5、in ?=?+?=?.(3)由sin 2=-sin ,得sin 2+sin =0,2sin cos +sin =0?sin (2cos +1)=0.,?,sin 0,2cos +1=0?cos =-?,sin =?,tan =-?,tan 2=?=?=?,故应填?.,方法技巧三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式时,要牢记公式的结构特征.(2)使用公式求值时,应先求出相关角的三角函数值,再代入公式求值.,1-1已知?,sin =?.(1)求sin?的值;(2)求cos?的值.,解析(1)因为?,sin =?,所以cos =-?=-?.故sin?=sin?cos +cos?si
6、n =?+?=-?.(2)由(1)知sin 2=2sin cos =2?=-?,cos 2=1-2sin2=1-2?=?,所以cos?=cos?cos 2+sin?sin 2=?+?=-?.,典例2(1)计算?的值为?()A.-?B.?C.?D.-?(2)在ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为?()A.-?B.?C.?D.-,考点二公式的逆用及变形应用,答案(1)B(2)B,解析(1)?=?=?=?=?.(2)由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得?=-1,即tan(A+B)=-1,又A+B(0,),所以A+B=?,则C=?,cos
7、 C=?.,方法技巧三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.(2)tan tan ,tan +tan (或tan -tan ),tan(+)(或tan(-)三者中可以知二求一.应注重公式的逆用和变形使用.提醒(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)注意特殊角的应用,当式子中出现?,1,?,?等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.,2-1已知cos?+sin =?,则sin?的值是?()A.-?B.?C.?D.-,答案D由cos?+sin =?,可得?cos +?sin +sin =?,即?sin +
8、?cos =?,?sin?=?,即sin?=?,sin?=-sin?=-?.,D,2-2已知?,且sin -cos =-?,则?=?()A.?B.?C.?D.,D,答案D由sin -cos =-?得sin?=?,?,0?-?,cos?=?.?=?=?=?=2cos?=?.,典例3(1)已知tan(+)=1,tan?=?,则tan?的值为?()A.?B.?C.?D.?(2)(2018河南郑州质检)若,都是锐角,且cos =?,sin(-)=?,则cos =?()A.?B.?C.?或-?D.?或,考点三角的变换,答案(1)B(2)A,解析(1)tan(+)=1,tan?=?,tan?=tan?=?
9、=?=?.(2)因为,都是锐角,且cos =?,sin(-)=?,所以sin =?,cos(-)=?,从而cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=?.故选A.,方法技巧三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的拆分与组合的技巧,半角与倍角的相互转化,如:2=(+)+(-),=(+)-=(-)+,40=60-20,?+?=?,?=2?等.(2)名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.,3-1若sin?=?,则cos?=?()A.-?B.-?C.?D.,A,答案Asin?=?,cos?=cos?=-cos?=-?=-?=-?,故选A.,3-2已知cos?+sin =?,则sin?的值是.,答案-,解析因为cos?+sin =?cos +?sin +sin =?,即?cos +?sin =?,所以?sin +?cos =sin?=?,所以sin?=-sin?=-?.,
