1、7.5 正态分布正态分布现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的 概率为概率为0，我们称这类随机变量为，我们称这类随机变量为连续型随机变量连续型随机变量.下面我们看一个具体问题下面我们看一个具体问题.问题问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之
2、间或多或少会存在一定因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差的误差(实际质量减去标准质量实际质量减去标准质量).用用X表示这种误差，则表示这种误差，则X是一个连续型随是一个连续型随机变量机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差袋食盐，获得误差X(单位单位:g)的观测值如下的观测值如下:-0.6-1.4-0.7 3.3-2.9-5.2 1.4 0.1 4.4 0.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5-3.7 2.7 1.1-3.0-2.6-1.9 1.
3、7 2.6 0.4 2.6-2.0-0.2 1.8-0.7-1.3-0.5-1.3 0.2-2.1 2.4-1.5-0.4 3.8-0.1 1.5 0.3-1.8 0.0 2.5 3.5-4.2-1.0-0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9-0.6-4.4-1.1 3.9-1.0-0.6 1.7 0.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.8 1.7 1.4 4.4 1.2-1.8-3.1-2.1-1.6 2.2 0.3 4.8-0.8-3.5-2.7 3.8 1.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.3 1.5-1.5-2.2 1.0 1.3 1.7-0.9(1)如何描述这如何描
4、述这100个样本误差数据的分布个样本误差数据的分布?(2)如何构建适当的概率模型刻画误差如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布的分布?根据已学的统计知识，可用频率分布直方图根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示所示.频率分频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.观察图形可知观察图形可知:误差观测值有正有负，并大致误差观测值有正有负，并大致对称地分布在对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差的两侧，而且
5、小误差比大误差出现得更频繁出现得更频繁.随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形一条光滑的钟形曲线曲线，如图，如图(2)所示所示.0-6-420-2频率频率/组距组距0.050.100.150.20X46(1)0-6-420-2频率频率/组距组距0.050.100.150.20X46(2)根据频率与概率的关系，可用图根据频率与概率的关系，可用图(3)中的中的钟形曲线钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域曲
6、线与水平轴之间的区域的面积为的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布来描述袋装食盐质量误差的概率分布.例如，任意抽取一袋食盐，误例如，任意抽取一袋食盐，误差落在差落在-2,-1内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.由函数知识可知，图由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是一个函数中的钟形曲线是一个函数.那么，这个函数是否存在那么，这个函数是否存在解析式呢解析式呢?答案是肯定的答案是肯定的.在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式析式:0-6-420-2f(x)0.050.100.1
7、50.20X46(3)思考思考1 由函数知识可知，图由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是中的钟形曲线是一个函数一个函数.那么，这个函数是否存在解析式呢那么，这个函数是否存在解析式呢?0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)答案是肯定的答案是肯定的.在数学家的不懈努力下，找到了以在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式下刻画随机误差分布的解析式:22()21()R.2xf xex ,其中其中R，0为参数为参数.显然，对任意的显然，对任意的xR，f(x)0，它的图象在，它的图象在x轴的上方，可以证明轴的上方，可以证明x轴和曲线之轴和曲线之间的区域的面
8、积为间的区域的面积为1.我们称我们称f(x)为为正态密度函数正态密度函数，称它的图象为，称它的图象为正态密度曲线正态密度曲线，简称简称正态曲线正态曲线，若随机变量，若随机变量X的概率分布密度函数为的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量，则称随机变量X服从服从正正态分布态分布，记为，记为XN(,2).特别地，当特别地，当=0,=1时，称随机变量时，称随机变量X服从服从标准正态分标准正态分布布.1.正态分布：正态分布：若若XN(，2)，则如图，则如图(4)所示，所示，X取值不超过取值不超过x的概率的概率P(Xx)为图中为图中区区域域A的面积的面积，而，而P(aXb)为区域为区域B的面积的面积.
9、(4)思考思考2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点?22()21()R.2xf xex ,由由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点:(1)曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线x=对称；对称；(2)曲线在曲线在x=处达到峰值处达到峰值(3)当当|x|无限增大时，曲线无限接近无限增大时，曲线无限接近x轴轴.12；思考思考3 一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定，这两个参数对正态曲线的形完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响状有何影响
10、?它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征?由于正态曲线关于由于正态曲线关于x=对称，因此，当对称，因此，当参数参数固定固定时，正态曲线的时，正态曲线的位置由位置由确定确定，且随着，且随着的变化而沿的变化而沿x轴平移，所以参数轴平移，所以参数反映了正态分布的反映了正态分布的集中位置集中位置，可，可以用以用均值均值来估计，故有来估计，故有().E X 当当固定固定时，因为正态曲线的峰值与时，因为正态曲线的峰值与成反比，而成反比，而且对任意的且对任意的0，正态曲线与，正态曲线与x轴之间的区域的面积轴之间的区域的面积总为总为1.因此，当因此，当较小较小时，时，峰值高峰值高，曲线，曲线“瘦
11、高瘦高”，表，表示随机变量示随机变量X的的分布比较集中分布比较集中；当；当较大较大时，时，峰值低峰值低，曲线，曲线“矮胖矮胖”，表示随机变量，表示随机变量X的的分布比较分散分布比较分散，所以所以反映了随机变量的分布相对于均值反映了随机变量的分布相对于均值的的离散程离散程度度，可以用，可以用标准差标准差来估计，故有来估计，故有2().D X =0.5012-1-2x-33x=1=2(1)曲线在曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交；轴不相交；(3)曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1；(4)当当一定时，一定时，越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的表示总体的分布越分散分布越
12、分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的表示总体的分布越集中分布越集中.2.正态曲线的性质：正态曲线的性质：(2)曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线x=对称，且曲线在对称，且曲线在x=处取得最大值；处取得最大值；(5)参数参数反映了正态分布的反映了正态分布的集中位置集中位置，反映了随机变量的分布相对于均反映了随机变量的分布相对于均值值的的离散程度离散程度.在实际问题中，参数在实际问题中，参数，可以分别用样本可以分别用样本均值均值和样本和样本标标准差准差来估计，故有来估计，故有22()()().XNE XD X 若若,则则,练习：练习：1.若若XN(2,3)，则，则E
13、(X)=_，D(X)=_.2.XN(,2)，若，若E(X)=3，(X)=2，则，则=_，=_.09323.正态曲线下的面积规律：正态曲线下的面积规律：-x1 -x2 x2 x1 a-a正态曲线下正态曲线下对称区域的面积相等对称区域的面积相等对应的概率也相等对应的概率也相等利用利用“对称法对称法”求正态分布下随机变求正态分布下随机变量在某个区间的概率量在某个区间的概率.练习练习 若若XN(1,2)，且，且P(X1)=_；(2)P(X0)=_；(3)P(0X1)=_；(4)P(X2)=_；(5)P(0X2a)P(a1),则则a()A.1 B.0 C.1 D.2 例例 李明上学有时坐公交车，有时骑自
14、行车，他各记录了李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到骑自行车所花的时间，经数据分析得到:坐公交车平均用时坐公交车平均用时30 min，样本，样本方差为方差为36；骑自行车平均用时；骑自行车平均用时34 min，样本方差为，样本方差为4.假设坐公交车用时假设坐公交车用时X和骑自行车用时和骑自行车用时Y都服从正态分布都服从正态分布.(1)估计估计X，Y的分布中的参数；的分布中的参数；(2)根据根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出中的估计结果，利用信息技术工具画出X和和Y的分布密度曲线的分布密度曲线;(3)如果某天有如果
15、某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具可用，又应该选择哪种交通工具?请说明理由请说明理由.解：解：(1)随机变量随机变量X的样本均值为的样本均值为30，样本标准差为，样本标准差为6；随机变量；随机变量Y的样本的样本均值为均值为34，样本标准差为，样本标准差为2.用样本均值估计参数用样本均值估计参数，用样本标准差估计参，用样本标准差估计参数数，可以得到，可以得到XN(30,62)，YN(34,22).(2)根据根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出中的估计结果，利用信息技术工具画出X和和Y
16、的分布密度曲线的分布密度曲线;解：解：由由(1)得得XN(30,62)，YN(34,22)，作出，作出X和和Y的分布密度曲线如图示的分布密度曲线如图示.(3)如果某天有如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具可用，又应该选择哪种交通工具?请说明理由请说明理由.解：解：(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知，由图可知，P(X38)P(Y34).所以，如果有所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑可用，那么骑
17、自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车坐公交车.假设假设XN(,2)，可以证明，可以证明:对给定的对给定的kN*，P(-kX+k)是一是一个只与个只与k有关的定值有关的定值.特别地，特别地，4.特殊区间的概率：特殊区间的概率：()0.6827PX，(22)0.9545PX，(33)0.9973PX.上述结果可用右图表示上述结果可用右图表示.由此看到，尽管正态变量的取值范围是由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-,+)，但在一次试验中，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区
18、间的取值几乎总是落在区间-3,+3内，而内，而在此区间以外取值的概在此区间以外取值的概率大约只有率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生，通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量的随机变量X只取只取-3,+3中的值，这在统计学中称为中的值，这在统计学中称为3原则原则.课本课本87页页 1.设随机变量设随机变量XN(0,1)，则，则X的密度函数为的密度函数为_，P(X0)=_，P(|X|1)=_，P(X1)=_，P(X1)=_ (精确到精确到0.0001.)221()2xf xe ；0.50.682
19、70.841350.15865O1-1xy=0课本课本87页页 2.设随机变量设随机变量XN(0,22)，随机变量，随机变量YN(0,32)，画出分布密度曲线草图，画出分布密度曲线草图，并指出并指出P(X-2)与与P(X2)的关系，以及的关系，以及P(|X|1)与与P(|Y|1)之间的大小关系之间的大小关系.O1-1xy=3=22-2(2)(2)1.P XP X 解：解：作出分布密度曲线如图示，由图可知，作出分布密度曲线如图示，由图可知，(|1)(|1).PXP Y例例2(1)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(2,2),且且P(4)0.8,则则P(02)()A.0.6 B.0
20、.4 C.0.3 D.0.2(2)据统计，某脐橙的果实横径据统计，某脐橙的果实横径(单位：单位：mm)服从正态分布服从正态分布N(80，52)，则果，则果实横径在实横径在75，90内的概率为内的概率为()附附:若若XN(,2),则则P(X)0.6827,P(2X2)0.9545.A.0.6827 B.0.8413 C.0.8186 D.0.9545例例2(1)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N(2,2),且且P(4)0.8,则则P(01a).XN(2，2)，12a1a22，a2.解解：正态变量几乎总是落在区间正态变量几乎总是落在区间3，3内，所以可通过判断取内，所以可通过判断取
21、出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常.N(10，0.22)，310.6，39.4，9.529.4,10.6，9.989.4，10.6，该厂这一天的生产状况是正常的该厂这一天的生产状况是正常的.正态分布的实际应用正态分布的实际应用解题时，应当注意零件尺寸应落在解题时，应当注意零件尺寸应落在3，3之内，否则可以认为之内，否则可以认为该批产品不合格该批产品不合格.判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产生不合格能发生的，而一旦发生
22、了，就可以认为这批产生不合格.变式变式 据调查统计，某校男生的身高据调查统计，某校男生的身高X(单位：单位：cm)服从正态分布服从正态分布N(174，9).若该校有男生若该校有男生3 000人，则估计该校男生身高在人，则估计该校男生身高在174，180范围内的人数为范围内的人数为_.解：解：因为身高因为身高XN(174，9)，所以，所以174，3.所以所以217423168，217423180，所以身高在所以身高在168，180范围内的概率约为范围内的概率约为0.954 5.因为因为174，所以身高在所以身高在168，174和和174，180范围内的概率相等，均约为范围内的概率相等，均约为0.
23、477 25.故该校男生身高在故该校男生身高在174，180范围内的人数约为范围内的人数约为3 0000.477 251 432.2(0,)(20)1.0.1.0.4(2)()0.40.2.0.3.NPXPXACDXB 已已知知，且且，则则等等于于课堂检测课堂检测A2.60(100 25)57().(90,110.(95,125.(100,120.(105,115XNABCC已已知知一一次次考考试试共共有有名名同同学学参参加加,考考生生的的成成绩绩,据据此此估估计计,大大约约应应有有人人的的分分数数在在下下列列哪哪个个区区间间内内？A3.0 1(2)().0.9544.0.0456.0.977
24、2.0.022()8XNXABCD 已已知知，,则则 在在区区间间，内内取取值值的的概概率率等等于于D4.(0 1)(2)_.XNP X设设，,则则0.95445.(3)0.5_.x 若若已已知知正正态态总总体体落落在在区区间间，的的概概率率为为,则则相相应应的的正正态态曲曲线线在在时时达达到到最最高高点点3 6.已知正态总体的数据落在已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落在里的概率和落在(3,5)里的概率相等，那里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是么这个正态总体的数学期望是_.18.如图，为某地成年男性体重的正态曲线图，则如图，为某地成年男性体重的正态曲线图，则P(|X-72|20)=_.0.95447.若若 XN(5,1)，则，则P(6X7)=_.0.1359xy110 272(kg)小结：小结：22()21()R.2xf xex ,若随机变量若随机变量X的概率分布密度函数为的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量，则称随机变量X服从服从正态分布正态分布，记，记为为XN(,2).特别地，当特别地，当=0,=1时，称随机变量时，称随机变量X服从服从标准正态分布标准正态分布.1.正态分布：正态分布：正态密度函数：正态密度函数：2.特殊区间的概率：特殊区间的概率：()0.6827PX，(22)0.9545PX，(33)0.9973PX.
