1、随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势集中趋势”因为随机因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动幅度的大小所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征波动大小的数字特征.问题问题2从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛根据以往从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标
2、靶的环数X和和Y的分布列的分布列如表如表7.3-6和表和表7.3-7所示所示.表表7.3-6X678910P0.090.240.320.280.07如何评价这两名同学的射击水平？如何评价这两名同学的射击水平？表表7.3-7X678910P0.070.220.380.300.03通过计算，两人的均值均为通过计算，两人的均值均为8，无法区分两人的射击水平，无法区分两人的射击水平 下图是下图是X和和Y的概率分布图，比较两个图像，可以发的概率分布图，比较两个图像，可以发现乙同学的射击成绩更集中于现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩环，即乙同学的射击成绩更加稳定。更加稳定。通过计算，两人的
3、均值均为通过计算，两人的均值均为8，无法区分两人的射击水平，无法区分两人的射击水平怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？思考思考我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值偏差平方的平均值”来来实现的一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能实现的一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的取值与均值的“偏差平方的平均值偏差平方的平均值”来度量呢来度量呢?设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布
4、列如表的分布列如表7.3-8所示所示.表表7.3-8Xx1x2.xnPp1p2.pn考虑考虑X所有可能取值所有可能取值xi与与E(X)的偏差的平方的偏差的平方(x1E(X)2,(x2E(X)2,(xnE(X)2因为因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值取值与其均值E(X)的偏离程度我们称的偏离程度我们称为随机变量为随机变量X的的方差方差(variance)，有时也记为，有时也记为Var(X)，并称并称 为随机变量为随机变量X的的标准差标准差(standa
5、rd deviation)，记为记为(X).随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度方其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度方差或标准差越小，随机变量的取值越集中方差或标准差差或标准差越小，随机变量的取值越集中方差或标准差越大，随机变量的取值越分散越大，随机变量的取值越分散.因为因为D(Y)D(X)(等价地，等价地，)，所以随机变，所以随机变量量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画现
6、在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性由方差和标准差的定义，两名同学他们射击成绩的稳定性由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为射击成绩的方差和标准差分别为在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化.方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质了简化计算外，还有助于更好地理解其本质.离散型随机变量离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化？离加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量散型随机
7、变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同望的性质有什么不同?探探 究究离散型随机变量离散型随机变量X加上一个常数加上一个常数b，其均值也相应加上常数，其均值也相应加上常数b，故不改变故不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X b)=D(X).而离散型随机变量而离散型随机变量X乘以一个常数乘以一个常数a,其方差变为原方差的其方差变为原方差的a2倍倍,即即D(aX)=a2 D(X).一般地，可以证明下面的结论成立一般地，可以证明下面的结论成立:D(aX b)=a2D(X).例例1 抛掷
8、一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差的方差.投资投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如两种股票，每股收益的分布列分别如表表7.3-9和表和表7.3-10所示所示.例例2(1)投资哪种股票的期望收益大投资哪种股票的期望收益大?(2)投资哪种股票的风险较高投资哪种股票的风险较高?表表7.3-9 股票股票A收益的分布列收益的分布列收益收益X/元元102概率概率0.10.30.6表表7.3-10 股票股票B收益的分布列收益的分布列收益收益Y/元元012概率概率0.30.40.3随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机随机变量的方差是一个重要的数字特征
9、，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的的离散程度在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方解释例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性差的大小反映了技能的稳定性;如果随机变量是加工某种产品如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低;等等等等.
