1、第七章 随机变量及其分布7.1.1 条件概率条件概率7.1条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式学习目标学习目标1.了解条件概率的概念.2.掌握求条件概率的两种方法.(难点)3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.(重点)4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们具有如下共同特征；(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型知识回
2、顾知识回顾一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.()()()knAPAnn知识回顾知识回顾1.若AB为不可能事件，则事件A与事件B互斥；2.事件A与事件B至少有一个发生的事件叫做事件A与B的和事件，记为AB（或A+B）；3.若事件A与事件B互斥互斥，则P(AB)=P(A)+P(B);4.事件A与B同时发生的事件叫做事件A与事件B的积事件，记为AB（或AB）；5.若事件A与事件B相互独立相互独立时，有P(AB)=P(A)P(B).思考：思考：如果事件A与B不相互独立，如何表
3、示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.新知探究新知探究问题问题1：某个班级有某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数数如下表所示：如下表所示：团员团员非团员非团员合计合计男生男生16925女生女生14620合计合计301545在班级里随机选择一人做代表：在班级里随机选择一人做代表：(1)选到男生的概率是多少？选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？分析：分析：随机选择一人做代表，则样本空间随机选择一人做代表，则样本空间包含包含45个等可能的样本
4、点个等可能的样本点.用用A表示事件表示事件“选到团员选到团员”，B表示事件表示事件“选到男生选到男生”，根据表中的数据可以得出，根据表中的数据可以得出，n()=45，n(A)=30，n(B)=25.问题问题1：某个班级有某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数数如下表所示：如下表所示：团员团员非团员非团员合计合计男生男生16925女生女生14620合计合计301545解：解：(1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率根据古典概型知识可知，选到男生的概率(2)“在选到团员的条件下，选到男生在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是的概率就是“在事
5、件在事件A发发生的条件下，事件生的条件下，事件B发生发生”的概率，记为的概率，记为P(B|A).此时相当于以此时相当于以A为为样本空间来考虑事件样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件发生的概率，而在新的样本空间中事件B就就是积事件是积事件AB，包含的样本点数，包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知，根据古典概型知识可知，新知探究新知探究问题问题2：某日你妈妈带你到她的一个朋友家做客，闲谈间正巧碰到她的某日你妈妈带你到她的一个朋友家做客，闲谈间正巧碰到她的女儿回家，这时主人介绍说：女儿回家，这时主人介绍说：“这是我的一个女儿，我还有一个孩子呢这是我的一个女儿，我还有
6、一个孩子呢.”这个家庭中有两个孩子，已知其中有一个是女孩，问这时另一个孩子也这个家庭中有两个孩子，已知其中有一个是女孩，问这时另一个孩子也是女孩的概率为多大？是女孩的概率为多大？解：解：(,),(,),(,),(,)已知样本空间是男男男女女男女女，且所有样本点都是等可能的.(,),(,),(,)用A表示事件“选择的家庭中有女孩”A男女女男女女(,)BB用 表示事件“两个都是女孩”女女“在家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩在家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是的概率就是“在事件在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生发生”的概率，记为的概率，记为P(B|A).此时此时A成
7、为样本空间，事件成为样本空间，事件B就是积事件就是积事件AB.根据古典概型知识可知，根据古典概型知识可知，()1(|)()3n ABP B An在上面两个问题中，在事件在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率都是发生的概率都是()(|)()n ABP B An A()(|)()n ABP B An A分析：分析：求求P（B|A）的的一般思想一般思想为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间的样本空间为为，则有，则有ABAB 概念生成概念生成一般用于古典概型一般用于古典概型(减缩样本空间法减缩样本空间法)一般概型一
8、般概型(条件概率定义法条件概率定义法)一般地,设A,B为两个随机事件，且P(A)0,我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率条件概率.()()()PA BPBAPA追问1.如何判断条件概率?题目中出现“在已知前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.追问追问2.P(B|A)与P(A|B)的区别是什么?1.条件概率概念：条件概率概念：P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.知识概念知识概念条件概率与事件独立性的关系条件概率与事件独立性的关系问题问题
9、3：在问题在问题1和问题和问题2中，都有中，都有P(B|A)P(B).一般地，一般地，P(B|A)与与P(B)不一定相等。不一定相等。如果如果P(B|A)与与P(B)相等，那么事件相等，那么事件A与与B应满足什么条件？应满足什么条件？直观上看，当事件直观上看，当事件A与与B相互独立时，事件相互独立时，事件A发生与否不影响事件发生与否不影响事件B发发生的概率，这等价于生的概率，这等价于P(B|A)=P(B)成立成立.思考：思考：对于任意两个事件对于任意两个事件A与与B，如果已知，如果已知P(A)与与P(B|A)，如何计算，如何计算P(AB)呢？呢？由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A
10、)0，则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称上式为概率的乘法公式概率的乘法公式(multiplication formula).知识点一条件概率与概率的乘法公式(1)条件概率:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)特殊情况:若事件A与B相互独立,即P(AB)=,且P(A)0,则P(B|A)=P(B);反之,若P(B|A)=P(B),且P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B),即事件A与B相互独立.(3)乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)0,则P(AB)=,称上式为概率的乘法公式.P(A)P(
11、B)P(A)P(B|A)知识概念知识概念(4)条件概率公式揭示了条件概率条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件与事件P(A)，P(AB)三者之间的关三者之间的关系，由条件概率公式可以解决下列两类问题系，由条件概率公式可以解决下列两类问题已知已知P(A)，P(AB)，求，求P(B|A)；已知已知P(A)，P(B|A)，求，求P(AB)在在5 5道试题中有道试题中有3 3道代数题和道代数题和2 2道几何题，每次从中随机抽出道几何题，每次从中随机抽出1 1道道题，抽出的题不再放回题，抽出的题不再放回.求求:(1 1)第第1 1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2 2次抽到几何题的概率次抽到几何题
12、的概率;(2 2)在第在第1 1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第2 2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率.分析分析:如果把如果把“第第1次抽到代数题次抽到代数题”和和“第第2次抽到几何题次抽到几何题”作为两个事作为两个事件，那么问题件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率就是条件概率.可以先求积可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率用乘法公式求积事件的概率.n(AB)63P(AB)n()2010所以典型例题典型例题3P(
13、AB)110P(B|A)3P A25在在5 5道试题中有道试题中有3 3道代数题和道代数题和2 2道几何题，每次从中随机抽出道几何题，每次从中随机抽出1 1道道题，抽出的题不再放回题，抽出的题不再放回.求求:(1 1)第第1 1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2 2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率;(2 2)在第在第1 1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第2 2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率.解法解法2：在缩小的样本空间：在缩小的样本空间A上求上求P(B|A).已知第已知第1次抽到代数题，次抽到代数题，这时还余下这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各道试题，其中代数题
14、和几何题各2道道.因此，事件因此，事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率为发生的概率为典型例题典型例题从例1可知，求条件概率有两种方法：方法一：基于样本空间，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求P（B|A）；方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。二、条件概率的性质二、条件概率的性质知识概念知识概念()()()PA BPBAPA()(|)()n ABP B An A练习：练习：在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，
15、这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若若已知已知出现点数不超过出现点数不超过3的的条件下条件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？处理，假如你在现场，你会如何抉择？解解1：设设A=出现的点数不超过出现的点数不超过31,2,3B=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 1,3,5只需求事件只需求事件 A 发生的条件下，事件发生的条件下，事件 B 的概率即的概率即(BA)BA2 21 13 34,64,65 5()2(|)()3n ABP B An A解法一
16、解法一(减缩样本空间法减缩样本空间法)()(|)()p ABP B Ap A123132解法解法2(条件概率定义法条件概率定义法)巩固练习巩固练习(1)条件概率:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)特殊情况:若事件A与B相互独立,即P(AB)=,且P(A)0,则P(B|A)=P(B);(3)乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)0,则P(AB)=,称上式为概率的乘法公式.P(A)P(B)P(A)P(B|A)(4)条件概率公式揭示了条件概率条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件与事件P(A)，P
17、(AB)三者之间的关三者之间的关系，由条件概率公式可以解决下列两类问题系，由条件概率公式可以解决下列两类问题已知已知P(A)，P(AB)，求，求P(B|A)；已知已知P(A)，P(B|A)，求，求P(AB)课后作业课后作业课后作业：全品导学案76-77页本节内容结束第七章 随机变量及其分布7.1.1 条件概率条件概率(习题）习题）7.1条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式(1)条件概率:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)特殊情况:若事件A与B相互独立,即P(AB)=,且P(A)0,则P(B|A)=
18、P(B);(3)乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)0,则P(AB)=,称上式为概率的乘法公式.P(A)P(B)P(A)P(B|A)(4)条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件P(A)，P(AB)三者之间的关系，由条件概率公式可以解决下列两类问题已知P(A)，P(AB)，求P(B|A)；已知P(A)，P(B|A)，求P(AB)知识回顾知识回顾例例2 2：已知：已知3 3张奖券中只有张奖券中只有1 1张有奖，甲、乙、丙张有奖，甲、乙、丙3 3名同学依次不放回地各名同学依次不放回地各随机抽取随机抽取1 1张张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？典型例题
19、典型例题例例3:银行储蓄卡的密码由银行储蓄卡的密码由6位数字组成位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了忘记了密密码的最后码的最后1位数字位数字.求：求：(1)任意按最后任意按最后1位数字，不超过位数字，不超过2次就按对的概率；次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后如果记得密码的最后1位是偶数，不超过位是偶数，不超过2次就按对的概率次就按对的概率.典型例题典型例题巩固练习巩固练习现有6个节目准备参加比赛,其中有4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次选取2个节目,求:(1)第1次选到舞蹈节目的概率;(2)第1次和第2次都选到舞蹈节目的概率;(3)在
20、第1次选到舞蹈节目的条件下,第2次选到舞蹈节目的概率.变式 (1)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优或良的概率是0.75,连续两天为优或良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优或良,则随后一天的空气质量为优或良的概率是.巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习巩固练习探究点二概率的乘法公式的应用例3(1)有一批种子的发芽率为0.9,发芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗(发芽,且幼苗成活)的概率为()A.0.72 B.0.8 C.0.9 D.0.5A解析设“这粒种子发芽”为事件A,“幼苗成活”为事件B,则“这粒种子成长为幼苗(发芽,且幼苗成活
21、)”为事件AB,根据题意得P(B|A)=0.8,P(A)=0.9,则P(AB)=P(B|A)P(A)=0.80.9=0.72,故选A.探究点三条件概率的性质及应用探索 先后抛出两枚质地均匀的骰子,已知第一枚出现4点,如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率?巩固练习巩固练习例4 有5瓶墨水,其中红色墨水1瓶,蓝色、黑色墨水各2瓶,某同学从中随机任取2瓶,若取得的2瓶中有1瓶是蓝色墨水,求另1瓶是红色墨水或黑色墨水的概率.巩固练习巩固练习1.条件概率的定义条件概率的定义.()()()PA BPBAPA2.条件概率的性质条件概率的性质.3.条件概率的计算方法条件概率的计算方法.(1)减缩样本空间法减缩样本空间法(2)条件概率定义法条件概率定义法()()()PA BPBAPA课后作业课后作业课后作业：全品21-22页1-14题本节内容结束
