1、二项分布F佳 2022年05月回顾：回顾：(1)离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示，2()().D aXba D X(2)方差的性质：方差的性质：则称则称222112222211()()()()()().nnnniiiiiiD XxE XpxE XpxE XpxE Xpx pE X为随机变量为随机变量X的的方差方差，并称，并称 为随机变量为随机变量X的的标准差标准差，记为，记为(X).()D X()(1,2,3,).iiP Xxpin随机变量的随机变量的方差和标准差方差和标准差都可以度量随机变量取
2、值与其均值的都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度偏离程度，反，反映了随机变量取值的映了随机变量取值的离散程度离散程度.在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含特征，它们只包含两个可能结果两个可能结果.例如，检验一件产品结果为例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等或阴性等.我们把只我们把只包含两个可能结果包含两个可能结果的试验叫做的试验叫做伯努利试验伯努利试验(Bernoulli trials).（还记得我们之前的还
3、记得我们之前的0-1分布吗？分布吗？）我们将一个伯努利试验我们将一个伯努利试验独立地重复进行独立地重复进行n次次所组成的随机试验所组成的随机试验称为称为n重伯努利试验重伯努利试验.显然，显然，n重伯努利试验具有如下共同特征重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做同一个伯努利试验重复做n次；次；(2)各次试验的结果相互独立各次试验的结果相互独立.（3）伯努利试验伯努利试验“重复重复”意味着意味着各次试验的概率各次试验的概率相同相同.思考思考 下面下面3个随机试验是否为个随机试验是否为n重伯努利试验重伯努利试验?如果是，那么其如果是，那么其中的伯努利试验是什么中的伯努利试验是什么
4、?对于每个试验，定义对于每个试验，定义“成功成功”的事件为的事件为A，那么，那么A的概率是多大的概率是多大?重复试验的次数是多少重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币10次次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击，连续射击3次次.(3)一批产品的次品率为一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取，有放回地随机抽取20件件.解：解：(1)是是,P(A)0.5,n10；(2)是是,P(A)0.8,n3；(3)是是,P(A)0.05,n20.伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利
5、试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.40.8 0.8 0.8 0.80.8P 44(1 0.8)(1 0.8)(1 0.8)(1 0.8)(1 0.8)0.2P 问题问题1：已知甲罚球已知甲罚球1次，命中目标的概率是次，命中目标的概率是0.8，请问他投篮，请问他投篮4次，全次，全都投中的概率为多少？都投中的概率为多少？问题问题2：甲罚球甲罚球1次，命中目标的概率是次，命中目标的概率是0.8，他投篮，他投篮4次，恰好均未投中次，恰好均未投中的概率为多少？的概率为多少
6、？问题问题3：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中1次的概率是多少次的概率是多少?分解问题：分解问题：1)在在4次投篮中他恰好命中次投篮中他恰好命中1次的情况有几种次的情况有几种?表示投中表示投中,表示没投中表示没投中,则则4 4次投篮中投中次投篮中投中1 1次的情况有以下四种次的情况有以下四种:2)说出每种情况的概率是多少说出每种情况的概率是多少?3)上述四种情况能否同时发生上述四种情况能否同时发生?解：记在第解：记在第 1、2、3、4 次投篮中，击中目标为事件次投篮中，击中目标为事件,4321AAAA则恰好击中则恰好击中1次的概率为：次的概率为：12341234(PP AAAAAAA
7、A12341234)AAAAAAAA34 0.8(0.2)1340.8(0.2)C问题问题3：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中1次的概率是多少次的概率是多少?问题问题4：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中2次的概率是多少次的概率是多少?问题问题5：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中3次的概率是多少次的概率是多少?问题问题6：在在4次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中4次的概率是多少？次的概率是多少？24224)8.01()8.0(C34334)8.01()8.0(C44444)8.01()8.0(C问题问题7：在在n次投篮中甲恰好命中次投篮中甲恰好命中k次的概率是多少
8、次的概率是多少?knkknC)8.01()8.0(一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概发生的概率为率为p(0pp1，所以，所以5局局3胜制对甲有利胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利较强者越有利.解解2：若采用若采用3局局2胜制，不妨设赛满胜制，不妨设赛满3局，用局，用X表示表示3局比赛中甲胜的局数，局比赛中甲胜的局数，则则XB(3,0.6)，所以甲最终获胜的概率为，所以甲最终获胜的概率为pP XP XC22313(2)(3)0.60.40.60.648同理，若采用同理，若采用5局局3胜制
9、，胜制，不妨设赛满不妨设赛满5局，局，则则XB(5,0.6)，所以甲最终获，所以甲最终获胜的概率为胜的概率为pP XP XP X2(3)(4)(5)CC332445550.60.40.60.40.60.68256例例3 甲、乙两选手进行象棋比赛甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获乙获胜的概率为胜的概率为0.4,那么采用那么采用3局局2胜制还是采用胜制还是采用5局局3胜制对甲更有利胜制对甲更有利?思考思考:为什么假定赛满为什么假定赛满3局或局或5局，不影响甲最终获胜的概率局，不影响甲最终获胜的概率?采用采用3局局2胜制赛满胜制赛满3局时局时,
10、若前若前2局获胜局获胜,那第那第3局的胜负并局的胜负并不影响甲获胜不影响甲获胜;同样同样,采用采用5局局3胜制赛满胜制赛满5局局,若前若前3局获胜局获胜,那后那后2局的胜负并不影响甲获胜局的胜负并不影响甲获胜,若前若前4局胜局胜3局局,那第那第5局的胜负也不影局的胜负也不影响甲获胜响甲获胜.例例3 甲、乙两选手进行象棋比赛甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获乙获胜的概率为胜的概率为0.4,那么采用那么采用3局局2胜制还是采用胜制还是采用5局局3胜制对甲更有利胜制对甲更有利?课本P77 练习 2鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果
11、5只鸡接种了疫苗，求（1）没有鸡感染病毒的概率;（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.探究探究:假设随机变量假设随机变量X服从二项分布服从二项分布B(n,p),那么那么X的均值和方差各是什么的均值和方差各是什么?(1)当当n1时时,X分布列为分布列为 P(X0)1p,P(X1)p,则有则有E(X)0(1p)+1ppD(X)02(1p)+12pp2 p(1p)(2)当当n2时时,X分布列为分布列为 P(X0)(1p)2,P(X1)2p(1p),P(X2)p2E(X)0(1p)212p(1p)2p2 2pD(X)02(1p)2122p(1p)22p2(2p)22p(1p)由此可猜想,若XB(n,p),
12、则有()E Xnp，()(1).D Xnpp下面对均值进行证明下面对均值进行证明.0()(1)nkkn knkE XkC pp 证明：证明：1111101(1)(1)nnkkn knkppCpp ,()XB n pX由由,可可得得 的的概概率率分分布布列列为为()(1).kkn knP XkC pp 111(1)nkkn knknCpp 1111(1)nkkn knknpCpp ().E Xnp 若若XB(n,p)，则有，则有()()(1).E Xnp D Xnpp ,练习：某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是 p，供电网络中一天平均用电的单位个数是（）A.np（1-p
13、）B.np C.n D.p(1-p)课本P76 练习 1将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.（1）求X的分布列；（2）E(X)=_,D(X)=_.作业：课本P80 习题7.4 11.二项分布：二项分布：一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p(0p1)，用，用X表示事件表示事件A发生的次数，则发生的次数，则X的分布列为的分布列为()(1)0 1 2.kkn knP XkC ppkn,如果随机变量如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从服从二项分二项分布布，记作记作X B(n，p).若若XB(n,p)，则有，则有()()(1).E Xnp D Xnpp,2.二项分布的均值与方差：二项分布的均值与方差：本小节结束F佳 2022年05月
