1、6.2.3 组 合 高二数学选择性必修 第三册 第六章 计数原理学习目标1.理解组合和组合数的概念;2.会推导组合数公式，并会用公式求值.3.理解组合数的两个性质，并会应用性质求值、化简和证明.4.核心素养:数学抽象、数学运算。1.问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？2.问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天一项活动，有多少种不同的选法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙 3一、探究新知从已知的 3个不同元素中每次取出2个元素合成一组问题2 从已知的3 个不同元素 中每次取出2个元素,按
2、照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序3.1).组合定义:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.2).组合和排列有什么共同和不同点?组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙排列 4.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1).设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素
3、的 子集有多少个?(2).某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票?有多少种不同的火车票价?组合问题排列问题(3).10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习 小组,共有多少种分法?组合问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.(4).10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题(5).从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6).从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法?排列问题4.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(7).校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色、绿色的各3辆.从中
4、选3辆，有多少种不同的方法?.从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法?组合问题排列问题5.例5.平面内有A、B、C、D共4个点.(1).以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?(2).以其中2个点为端点的线段共有多少条?分析:(1).确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题;(2).确定一条线段，只需确定两个端点，而不考虑它们的顺序，是组合问题.解:(1).一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个 点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有 条.244 3=12A ,.12AB BA AC CA AD DA BC CB B
5、D DB CD DC 这条有向线段分别为,(2).将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数,共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 表示.mnC6.组合数:是一个数,应该把它与“组合”区别开来.mnC组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb你发现了什么?（
6、1).写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数.（2).写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的组合数.mmnnAC7由排列数能求组.合数探究:吗?图6.2-8根据分步计数原理，得到：因此：一般地，求从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数,可以分为以下2步：第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 元素的组合数 mnCnmmmA第2步,求每一个组合中 个元素的全排列数 mmmmnmnACA!121mmnnnnAACmmmnmn 这里 ,且 ,这个公式叫做*Nnm、nm mmnnCA组合数和排列数的区8.别和联系组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCA
7、m 从 n 个不同元中取出m个元素的排列数 mmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我们规定：9.组合数公式:10例6.计算：3710010101010(1).;(2).;(3).;(4).;CCCC3710010101010(1).;(2).;(3).;(4).;CCCC33101033:1098(1).1203!ACA解71010!10 9 8 7!10 9 8(2).1207!10 7!7!3!3!C 10101010101010!(3).110!ACA010(4).1C观察上面计算的结果，你有什么发现?11.组合数的性质mnmnn(1).CCmm-1mnnn+1(2).C+
8、CC1:mmnnCC证明)!1()!1(!)!(!mnmnmnmn)!1(!)1(!mnmmnmnn)!1(!)1(mnmnmmn!)1(!)!1(mnmn1.mnCcccmnmnmn1112.证明性质2:13.巩固应用1).计算:9710098100CC 2).解方程:4x252x25CC3).计算:913261504CCCC 166650310198101 CC4或或74004514914 CC1.组合定义:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.mnC2.组合数:3.组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm01.nC我们规定：1:mn mnnCC性质作业:课本P25 练习 2,3题二、课堂小结
