1、 7.4.2 超几何分布 高二数学选择性必修 第三册 第七章 随机变量及其分布学习目标1.理解超几何分布,能够判定随机变量是否服从超几何分布;2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值与方差;3.核心素养:数学抽象、数学建模、数学运算.一、回顾旧知2.二项分布则若),(pnBX(1)(),0,1,2,.kkn knC ppP Xkkn3.()(,),()(,1).E XnXB np DpXnpp如果那么 X 0 1 k nPnnqpC00111nnqpCknkknqpC0qpCnnn1.n重伯努利试验二、探究新知不服从二项分布X,4,3,2,1,0
2、可能的取值为X的分布列为X.4,3,2,1,0)(41004928kCCCkXPkkXP01234410049208CCC410039218CCC410029228CCC410019238CCC410009248CCC 1.问题.已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求:随机变量X的分布列.如果采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08且各次抽样的结果相互独立,此时XB(4,0.08).如果采用不有放回抽样,那么抽到4件产品中次品数X是否服从二项分布?如果不服从，那么X的分布列是什么?2.超几何分布 一般地,假设一批产品共有N
3、件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为.,2,1,)(rmmmkCCCkXPnNknMNkM.,min,0max,MnrMNnmNnNMNMNn其中 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.,2,1,)(rmmmkCCCkXPnNknMNkM.,min,0max,MnrMNnmNnNMNMNn其中超几何分布1.公式中个字母的含义N总体中的个体总数 M总体中的特殊个体总数(如次品总数)n样本容量k样本中的特殊个体数(如次品数)2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.
4、3.“任取n件,恰有z件次品”是一次性抽取,用组合数列式.4.各对应的概率和必须为1.三、巩固新知解:55044911)1(CCCXP1011.例4.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选 中的概率.设X表示选出的5名数学中含甲的人数(只能取0或1),则X服从超几何分布,且N=50,M=1,n=5,因此甲被选中的概率为1.判断随机变量是否服从超几何分布;2.根据已知条件，确定M,N,n对应的值;3.代入超几何分布的概率公式，求出结果;,10X个零件中不合格品数为设抽取的解:,服从超几何分布则X,10,3,30nMN且的分布列为X.3,2,1,0)(103010273kCCCkXPkk件不
5、合格的概率为至少有1)3()2()1()1(XPXPXPXP103072733103082723103092713CCCCCCCCC20314620362034520395.7192.0另解:)0(1)1(XPXP10301027031CCC203571.7192.02.例5.一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.3.变式训练1101P XP XP X56165 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.解:设甲班恰有X人被选到,则X服从超几何分
6、布,且N=12,M=4,n=4,2248412(2)C CP XC变式:求甲班至多1名同学被选到的概率.413848441212CC CCC1412498994951654.变式训练2解:.3512)1(37121312CCCCP,2,1,0)2(服从超几何分布可能取XX.3,2,7nMN其中,723510)0(373502CCCXP,74)1(372512CCCXP,71)2(371522CCCXP的数学期望为X的分布列为X76712741720)(XE？72376 一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球,3个黄球，2个蓝球，从中任取3个球.(1).求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概
7、率.(2).设X表示取到的蓝色小球的个数,求X的分布列和数学期望.探究:nNknMNkMCCCkXP)(,即NMp 令NnMnpXE)(猜想.,2,1,)(rmmmkCCCkXPnNknMNkM由.,min,0max,MnrMNnmNnNMNMNn其中rmknNknMNkMCCCkXE)(,得rmknNknMNkMCCCM11)(11kMkMMCkC所以因为,111nNknMNrmkkMCCC11()rkn kMN Mnk mNMCCECXnNnNCMC11nPNnM,)1()1()1(,(11MNMNxxx易知)1的系数相等等号两侧展开式的nx服从超几何分布的随机变量的均值是什么?5.超几何
8、分布的均值.,2,1,)(rmmmkCCCkXPnNknMNkM.,min,0max,MnrMNnmNnNMNMNn其中NnMnpXE)(若X服从超几何分布,解:(1),有放回于摸球对由题意知),4.0,20(BX的分布列为X.20,2,1,0,6.04.0)(20201kCkXPPkkkk,不放回摸球对于由题意知,X超几从何分布服的分布列为X204060220100(),0,1,2,20.kkkC CPP XkkC 6.例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(
9、2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.解(2).20,0,6.04.0)(20201kCkXPPkkkk204060220100(),0,20.kkkC CPP XkkC20,20Xf样本中黄球的比例是一个随机变量 根据下表计算得)106()1.04.0(:20XPfP有放回摸球.7469.020:(0.40.1)(610)P fPX不放回摸球.7988.0采用不放回摸球估算的结果更可靠些 6.例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(2).分别就有放
10、回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.0.050 0.100.150.200.25两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布.这两种分布的均值相等都等于8.但从两种分步的概率分步图看,超几何分布更集中在均值附近.当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小.此时，超几何分布可以用二项分步近似.7.二项分布与超几何分布区别和联系1.区别 一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.2.联系当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布.8.变式训练
11、3 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物,根据现行国家标 准GB30952012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从
12、这10天的数据中任取3天数据,记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求 的分布列102.51)3(PM记“从这天的日均监测数据中，随机抽出 天，恰有一天空气质量达到一级”解为事件A.1237310()C CP AC2140 2.XX由条件知，服从超几何分步，其中随机变量 的可能取值为0,1,2,3.337310(),(0,1,2,3).kkC CP XkkC0337310(0)C CP XC7.241237310(1)C CP XC21.402137310(2)C CP XC7.403037310(3)C CP XC1.120X故 的分布列为 X 0 1 2 3P 72421407401120四、课堂小结.,2,1,)(rmmmkCCCkXPnNknMNkM2.超几何分布的均值NnMnpXE)(作业:课本P81 习题7.4 5,6题1.超几何分布
