1、第五节用样本估计总体,总纲目录,教材研读,1.作频率分布直方图的步骤,考点突破,2.频率分布折线图和总体密度曲线,3.茎叶图的优点,考点二茎叶图,考点一频率分布直方图,考点三样本的数字特征,4.样本的数字特征,1.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(一组数据中最大值与最小值的差).(2)决定组距与组数.(3)将数据分组.(4)列频率分布表.(5)画频率分布直方图.,教材研读,2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线:一般地,随着样本容量的增加,作频率分布直方图时所分组数增加,组距减小,相应的频率分布
2、折线图就会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.,3.茎叶图的优点茎叶图的优点是可以?保留原始数据,而且可以?随时记录.,4.样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数,与平均数有关的结论(1)若给定一组数据x1,x2,xn的平均数为?,则ax1,ax2,axn的平均数为a?.(2)若给定一组数据x1,x2,xn的平均数为?,则ax1+b,ax2+b,axn+b的平均数为a?+b.(3)若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这(M+N)个数的平均数是?;若两组数据x1,x2,xn和y1,y2,yn的平均数分别是?和?,则x1+y1,x2+y2,xn+yn的平均数是?
3、+?.,与方差有关的结论(1)若给定一组数据x1,x2,xn,其方差为s2,则ax1,ax2,axn的方差为a2s2.(2)若给定一组数据x1,x2,xn,其方差为s2,则ax1+b,ax2+b,axn+b的方差为a2s2,特别地,当a=1时,有x1+b,x2+b,xn+b的方差为s2,这说明将一组数据的每一个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的,即不影响数据的波动性.,1.(2017课标全国,2,5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是?()A.x1,x2,xn的平均
4、数B.x1,x2,xn的标准差C.x1,x2,xn的最大值D.x1,x2,xn的中位数,答案B统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.,B,2.10名工人某天生产同一种零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有?()A.abcB.bcaC.cabD.cba,D,答案Da=?=14.7,因为这组数据中,17出现的次数最多,故c=17.这些数据由小到大排列依次是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,因此b=15,所以cba.,3.把样本容量为20的数据分组,分组区间与频
5、数如下:10,20),2;20,30),3;30,40),4;40,50),5;50,60),4;60,70,2,则在区间10,50)上的数据的频率是?()A.0.05B.0.25C.0.5D.0.7,D,答案D由题意知,在区间10,50)上的数据的频数是2+3+4+5=14,故其频率为?=0.7.,4.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为?()?A.93B.123C.137D.167,C,5.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m+n=?(),A.7B.8C.9D.10,C,答案C根据茎叶图,可得
6、甲组数据的中位数为?=21,根据甲、乙两组数据的中位数相等,得乙组数据的中位数为21=20+n,解得n=1.又甲组数据的平均数为?=?,乙组数据的平均数为?=22,所以?=22,解得m=8,所以m+n=9.,D,答案D由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-(0.02+0.10)2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为2000.7=140,故选D.,典例1某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,40),80,
7、90,并整理得到频率分布直方图:,考点一频率分布直方图命题方向一利用频率分布直方图求频数或频率,考点突破,(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.,典例2某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
8、,命题方向二利用频率分布直方图求数字特征,(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.,解析(1)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间0.5,1,(1,1.5,(1.5,2,(2,2.5,(2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频
9、率分布表:,根据题意,该市居民该月的人均水费估计为40.1+60.15+80.2+100.25+120.15+170.05+220.05+270.05=10.5(元).,典例3(2017广东惠州第一次调研)某大学生在开学季准确销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获得利润30元,未售出的产品,每盒亏损10元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了160盒该产品,以x(单位:盒,100x200)表示这个开学季内的市场需求量,y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.,命题方向三利用频率分布直方图估计概率,(1)根据直方图估
10、计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数;(2)将y表示为x的函数;(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率.,解析(1)由频率分布直方图得,这个开学季内市场需求量x的众数是150盒,需求量在100,120)内的频率为0.005 020=0.1,需求量在120,140)内的频率为0.010 020=0.2,需求量在140,160)内的频率为0.015 020=0.3,需求量在160,180)内的频率为0.012 520=0.25,需求量在180,200内的频率为0.007 520=0.15.则平均数?=1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153(
11、盒).(2)因为每售出1盒该产品获得利润30元,未售出的产品,每盒亏损10元,所以当100x160时,y=30x-10(160-x)=40x-1 600,当160x200时,y=16030=4 800,规律总结解决频率分布直方图问题的要点(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示?,故每组样本的频率为组距?,即矩形的面积.(3)直方图中每组样本的频数为频率总数.,1-1某高校从参加今年自主招生考试的1 000名学生中随机抽取100名学生的成绩进行统计,得到如图所示的样本频率分布直方图.若规定60分及以上为合格,则估计这1 000名学生中合格的人数是?()?A.600B.65
12、0C.700D.750,C,答案C样本中合格的频率是1-0.1-0.2=0.7,故估计这1 000名学生中成绩合格的人数是1 0000.7=700.故选C.,考点二茎叶图,C,答案C,解析从茎叶图知,A,D是正确的,乙运动员的得分较集中,甲运动员得分较分散,故B是正确的,甲运动员得分的平均分为?27.故选C.,规律总结茎叶图的应用及注意事项(1)茎叶图的绘制需注意:“叶”的每个位置上只有一个数字,而“茎”的每个位置上的数的位数一般不需要统一;重复出现的数据要重复记录,不能遗漏.(2)茎叶图通常用来记录两位数的数据,可以用来分析单组数据,也可以用来比较两组数据.通过茎叶图可以确定数据的中位数,数
13、据大致集中在哪块茎,数据分布是否均匀等.,B,答案B由茎叶图可知在20名教师中,上学期使用多媒体进行教学的次数在16,30)内的人数为8,据此可以估计400名教师中,使用多媒体进行教学的次数在16,30)内的人数为400?=160.,2-2为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5,解析(1)设A药观测数据的平均数为?,B药观测数据的平均数为?,由观测结果可得?=?(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2
