1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2012北京文,6,5分)已知an为等比数列.下面结论中正确的是 ( ) A.a1+a32a2 B. + 2 C.若a1=a3,则a1=a2 D.若a3a1,则a4a2,答案 B 设an的首项为a1,公比为q,则a2=a1q,a3=a1q2. a1+a3=a1(1+q2),又1+q22q, 当a10时,a1(1+q2)2a1q,即a1+a32a2; 当a10, + 2 .故B正确. 若a1=a3,则q2=1.q=1.当q=1时,a1=a2;当q=-1时,a1a2.故C不正确. D项中,若q0,则a3qa1q,此时a4a2;若q0,则a3qa1q,此时a
2、4a2,故D不正确.,评析 本题考查等比数列的通项公式以及利用基本不等式分析解决问题的能力,考查分类讨 论思想,难度适中.,2.(2011北京文,7,5分)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件, 则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备 费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 ( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件,答案 B 每批生产x件,则平均每件产品的生产准备费用是 元,每件产品的仓储费用是 元,则 + 2 =20,当且仅当 = ,即x=80时,“=”成立, 每批应生产产品80件,故选B.,错因分
3、析 审题错误,不能正确表示平均每件产品的生产准备费用与平均每件产品的仓储费 用.,评析 本题考查利用基本不等式解决实际问题,难度中等.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 基本不等式,1.(2015福建,5,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 C 将(1,1)代入直线 + =1,得 + =1,又a0,b0,故a+b=(a+b) =2+ + 2+2= 4,等号当且仅当a=b时取到,故选C.,解题思路 把点代入直线方程,问题可转化为已知 + =1,求a+b的最小值问题.,2.(2015陕西,9,5分)设f(x
4、)=ln x,0p C.p=rq,答案 C 解法一:由题意知p=f( )=ln , q=f =ln , r= (f(a)+f(b)= (ln a+ln b)= ln(ab)=ln . 又ba0, 0. 函数f(x)=ln x为增函数, p=rq,故选C. 解法二(特殊值法):令a=1,b=2,p=f( )=ln , q=f =f =ln , r= (ln 1+ln 2)=ln . ,ln ln ,p=rq.,3.(2015湖南,7,5分)若实数a,b满足 + = ,则ab的最小值为 ( ) A. B.2 C.2 D.4,答案 C 依题意知a0,b0,则 + 2 = ,当且仅当 = ,即b=2a
5、时,“=”成立.因为 + = ,所以 ,即ab2 ,所以ab的最小值为2 ,故选C.,4.(2019天津文,13,5分)设x0,y0,x+2y=4,则 的最小值为 .,答案,解析 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌 握程度,以及学生的推理、运算能力. = = =2+ . x0,y0,4=x+2y2 ,解得0xy2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时 ,2+ 2+ = ,故 的最小值为 .,思路分析 首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+ ,注意到x与2y的和 为定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原
6、式的最小值,在此应特别注意基本不等式 的使用条件“一正、二定、三相等”,注意等号是否成立.,5.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x0)上的一个动点,则点P到直线 x+y=0的距离的最小值是 .,答案 4,解析 本题通过曲线y=x+ (x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基 本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何 关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养. 设P ,x00,则点P到直线x+y=0的距离d= = 4,当且仅当x0= , 即x0= 时取“=”. 故点P到直线x+y=0的距离的最
7、小值是4.,一题多解 当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行. 设P ,x00,易知y=1- , 令1- =-1,得 =2. x00,x0= ,P( ,3 ). 此时点P到直线x+y=0的距离为 =4. 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.,6.(2019天津理,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运 算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. x+2y=5,x0,y0, = = =2 + 2 =4 ,当且仅当 即 或 时,原式取得最小值4
8、 .,7.(2019上海,7,5分)若x,yR+,且 +2y=3,则 的最大值为 .,答案,解析 本题主要考查函数的最值,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力. x0, =3-2y,3-2y0,y0,0y , =3y-2y2=-2 + ,当y= 时, = .,一题多解 x,yR+,则3= +2y2 , ,即 , 当且仅当 =2y= ,即x= ,y= 时, 取最大值,为 .,8.(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .,答案,解析 本题主要考查运用基本不等式求最值. 由已知,得a-3b=-6,故2a+ =2a+2-3b2 =2 =2 = ,当且仅当2
9、a=2-3b,即a=-3b时等 号成立, 由a=-3b,a-3b+6=0, 得a=-3,b=1, 故当a=-3,b=1时,2a+ 取得最小值 .,易错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题: (1)使用基本不等式求最值,易失误的原因是忽视其使用的前提“一正、二定、三相等”.要利 用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧.,9.(2017天津文,13,5分)若a,bR,ab0,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时,“=”成立), =4ab+ , 由
10、于ab0,4ab+ 2 =4 当且仅当4ab= 时,“=”成立 , 故当且仅当 时, 的最小值为4.,规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须 一致.,10.(2017山东,12,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .,答案 8,解析 本题考查基本不等式及其应用. 由题设可得 + =1,a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +24+2 =8 . 故2a+b的最小值为8.,11.(2015山东,14,5分)定义运算“”:xy= (x,yR,xy0).当x0,y0时,xy+(2y)x 的最小值为 .,答案,
11、解析 xy+(2y)x= + = = = + , x0,y0, + 2 = , 当且仅当 = ,即x= y时等号成立,故所求最小值为 .,考点二 不等式的综合应用,1.(2019课标全国理,6,5分)若ab,则 ( ) A.ln(a-b)0 B.3a0 D.|a|b|,答案 C 本题考查不等式的性质及指数函数和对数函数的单调性;通过特值法和综合法考 查了推理论证能力;考查的核心素养为逻辑推理. ab,a-b0,取a-b=1,则ln(a-b)=0.故A错误. 由y=3x在R上单调递增可知3a3b,故B错误. 由y=x3在R上是增函数可知a3b3,故C正确. 取a=0,b=-1,则|a|b|,故D
12、错误.,易错警示 容易由ab直接得|a|b|而致错.,2.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)= 设aR,若关于x的不等式f(x) 在R上恒 成立,则a的取值范围是( ) A. B. C.-2 ,2 D.,答案 A 本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题. 当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于-x2+x-3 +ax2-x+3在R上恒成 立,即有-x2+ x-3ax2- x+3在R上恒成立.由y=-x2+ x-3图象的对称轴为x= ,可得在x = 处取得最大值- ;由y=x2- x+3图象的对称轴为x= ,可得在x= 处取得最小值 ,则 - a . 当x1时,关于x的不等
13、式f(x) 在R上恒成立等价于- +ax+ 在R上恒成立, 即有- a + 在R上恒成立,由于x1,所以- -2 =-2 ,当且仅当x= 时取得最大值-2 ;因为x1,所以 x+ 2 =2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2 a2. 由可得- a2,故选A.,思路分析 讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+ x-3ax2- x+3, 由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得- a + ,再利用 基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.,3.(2015课标,12,5分)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若
14、存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由f(x0)1,则a . 令g(x)= ,则g(x)= . 当x 时,g(x)0,g(x)为增函数,思路分析 先分离参数,再构造函数求解,要注意应用分类讨论思想.,4.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总 存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,答案 30,解析 本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为y万元,则y= 6+4x=4 240. 当且仅当x= ,即x=30时,等号成立.,易错警示 1.a+
15、b2 (a0,b0)中“=”成立的条件是a=b. 2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.,C组 教师专用题组,考点一 基本不等式,1.(2014重庆,9,5分)若log4(3a+4b)=log2 ,则a+b的最小值是 ( ) A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4,答案 D 由log4(3a+4b)=log2 ,得3a+4b=ab,且a0,b0, + =1,a+b=(a+b) = + +77+2 =2 +7=4 +7 当且仅当 = 时,等号成立 ,即a+b的最小值为7+4 .,2.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当 取得最大
16、值时, + - 的最大值 为 ( ) A.0 B.1 C. D.3,答案 B 由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2, = = . 又x、y、z为正实数, + 4, 当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2. + - = + - =- + =- +1,当 =1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.,评析 本题考查基本不等式的应用、二次函数求最值等知识,考查学生的运算能力.,3.(2015重庆,14,5分)设a,b0,a+b=5,则 + 的最大值为 .,答案 3,解析 解法一:令t= + , 则t2=( + )2=a+1+b+3+2 9+a+1+b+3=18, 当且仅当 =
17、,即a= ,b= 时,等号成立. 即t的最大值为3 . 解法二:设 =m, =n,则m,n均大于零, 因为m2+n22mn,所以2(m2+n2)(m+n)2, 所以m+n , 所以 + =3 , 当且仅当 = ,即a= ,b= 时,“=”成立, 所以所求最大值为3 .,4.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是 .,答案,解析 b2+c22bc,即2(b2+c2)b2+c2+2bc=(b+c)2,b2+c2 . 由a+b+c=0,得b+c=-a. 由a2+b2+c2=1,得1-a2=b2+c2 = (当且仅当b=c时取“=”),
18、a2 ,- a , 故a的最大值为 .,5.(2013四川,13,5分)已知函数f(x)=4x+ (x0,a0)在x=3时取得最小值,则a= .,答案 36,解析 x0,a0,f(x)=4x+ 2 =4 , 当且仅当4x= 时等号成立, 此时a=4x2,由已知x=3时函数取得最小值, 所以a=49=36.,考点二 不等式的综合应用,1.(2013课标全国,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是 ( ) A.(-,+) B.(-2,+) C.(0,+) D.(-1,+),答案 D 由2x(x-a)x- ,令f(x)=x- ,即af(x)有解,则af(x)min,又y=f
19、(x)在(0,+)上递增, 所以f(x)f(0)=-1,所以a-1,选D.,2.(2014辽宁,16,5分)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时, + + 的 最小值为 .,答案 -1,解析 由题意得c=4a2+b2-2ab=(2a+b)2-6ab.2ab , 当且仅当2a=b时取“=”,-6ab-3 , c=(2a+b)2-6ab(2a+b)2-3 ,即c , |2a+b|2 , 当且仅当2a=b时,|2a+b|有最大值2 , 此时|2a+2a|=2 ,c=4a2, + + = + + = + = -1-1, + + 的最小值为-1.,评析 本题考
20、查基本不等式及函数思想的应用,考查了分析问题、解决问题的能力和运算求 解能力.灵活运用基本不等式是求解的关键.,3.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b0,则 + 的最小值为 .,答案,解析 a+b=2,b0, b=2-a0,得a , + 的最小值为 .,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 基本不等式,1.(2018北京朝阳二模文,11)已知x0,y0,且满足x+y=4,则lg x+lg y的最大值为 .,答案 2lg 2,解析 因为x+y=4,x0,y0,所以xy =4,当且仅当x=y=2时,等号成立.则lg x+lg y=lg(xy) lg 4=2lg
21、2.,2.(2017北京丰台一模文,11)设a+b=M(a0,b0),M为常数,且ab的最大值为2,则M等于 .,答案 2,解析 a+b=M(a0,b0), ab = . ab的最大值为2, =2,又M0, M=2 .,3.(2018北京丰台一模文,12)已知点A(2,0),B(0,1),若点P(x,y)在线段AB上,则xy的最大值为 .,答案,解析 已知点A(2,0),B(0,1),则线段AB所在直线的方程为y=- x+1,即x+2y=2,x0,2,此时y 0,1,xy0,则x+2y=22 xy 当且仅当x=1,y= 时取等号 .故xy的最大值为 .,考点二 不等式的综合应用,1.(2017
22、北京朝阳二模文,4)“x0,y0”是“ + 2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A 当x0,y0时,可得 0, 0. 根据基本不等式得 + 2 =2 . 故充分性成立. 当x0,y0”是“ + 2”的充分而不必要条件. 故选A.,思路分析 分别说明充分性和必要性是否成立.,方法点拨 在证必要性不成立时,也可举反例,如x=-2,y=-1,得结论.,2.(2019北京昌平期末文,13)能说明“若点M(a,b)与点N(5,5)在直线x+y-2=0的同侧,则a+b4” 是假命题的一个点M的坐标为 .,答案 (2,1)(答案不唯一
23、),解析 点M(a,b)与点N(5,5)在直线x+y-2=0的同侧(a+b-2)(5+5-2)0a+b-20,所以取一组数 使2a+b4即可,例如(2,1),(1,2),(0,3),(3,0)等.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:15分钟 分值:15分 一、选择题(每小题5分,共15分),1.(2017北京房山一模,6)“a0”是“a+ 2 ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 当a0时,由基本不等式得a+ 2 ,当且仅当a= 时取等号,故充分性成立; 当a+ 2 时,移项得a+ -2 0,即 0, 0,
24、得a0,故必要性成立.故选C.,2.(2019北京朝阳期中,6)已知函数f(x)=|2x-2|.若f(a)=f(b)(ab),则a+b的取值范围是 ( ) A.(-,1) B.(-,2) C.(1,+) D.(2,+),答案 B 由f(a)=f(b),得|2a-2|=|2b-2|, 显然a1,b1.当a1,b1或a2 =2 ,所以2 4, 解得a+b2,所以a+b的取值范围是(-,2),故选B.,3.(2019北京海淀二模文,4)若关于x的方程x+ =a在(0,+)上有解,则a的取值范围是 ( ) A.(0,+) B.1,+) C.2,+) D.3,+),答案 C 当x0时,x+ 2 =2 ,
25、则a的取值范围是2,+). 故选C.,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(2019清华中学生标准学术能力试卷文,12)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最 大值为 ( ) A. B.log2 C. D.log2,答案 D 由2a+b=2a+2b2 = (当且仅当a=b时取等号),可得a+b2,所以2a+b4.令t= 2a+b,由2a+2b+2c=2a+b+c得2a+b+2c=2a+b2c,所以2c= =1+ .因为t4,所以1 ,即12c , 因此0clog2 .故选D.,2.(2019北京门头沟一模,13)已知x,yR+,求z=(
26、x+2y) 的最值. 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法: 甲:z=(x+2y) =2+ + +818. 乙:z=(x+2y) 2 2 =16. 你认为甲、乙两人解法正确的是 . 请你写出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确 .,答案 甲 已知x,yR+,求z= (x+y)的最值,解析 甲同学的解法中取得最小值的条件是 = ,即x=y,而乙同学的解法中需要同时满 足x=2y与 = 才能取得最小值16,显然不可能满足,故乙的解法错误. 给出的试题是“已知x,yR+,求z=(x+y) 的最值”. 解法一:z=(x+y) =2+ + 2+2 =4(当且仅当x=y时取“=”). 解法二:z=(x+y) 2 2 =4(当且仅当x=y时取“=”),易错警示 用基本不等式求最值时要注意“=”成立的条件,若同时用两次或两次以上的基 本不等式,需要“=”同时成立.,
