1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)1 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集,集合,则( )A. B. C. D. (2)已知是虚数单位,,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 (3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是A. 90 B. 129 C. 132 D. 1384. 为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )A. 向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
2、 5.在的展开式中,记项的系数为,则 ( )A.45 B.60 C.120 D. 2106.已知函数( )A. B. C. D. 7.在同意直角坐标系中,函数的图像可能是( )8. 记,设为平面向量,则( ) A. B. C. D.9.已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有个红球和个篮球,从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.(a)放入个球后,甲盒中含有红球的个数记为;(b)放入个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则A. B.C. D.10. 设函数,记,则( )A. B. C. D. 2、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11. 若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运算
3、后输出的结果是_.12. 随机变量的取值为0,1,2,若,则_.13. 当实数,满足时,恒成立,则实数的取值范围是_.14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有_种(用数字作答).15.设函数若,则实数的取值范围是_15. 设直线与双曲线()两条渐近线分别交于点,若点满足,则该双曲线的离心率是_17、如图,某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为,某目标点沿墙面的射击线移动,此人为了准确瞄准目标点,需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。18.(本题满分14分)在中,内角所对的边分别为.已知,(I)求角的大小;(II)若,求的面积. 19(本题满分14分)已知数列和满足.若为等比数列,且(1) 求与;(2) 设。记数列的前项和为.(i)求;(ii)求正整数,使得对任意,均有20. (本题满分15分)如图,在四棱锥中,平面平面.(1) 证明:平面;(2) 求二面角的大小21(本题满分15分)如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限.()已知直线的斜率为,用表示点的坐标;()若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.22. (本题满分14分)已知函数(1) 若在上的最大值和最小值分别记
5、为,求;(2) 设若对恒成立,求的取值范围.参考答案1.B 2.A 3. 4. 5.C 6. 7. 8. 9. 10.B11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.18. (I)由题意得,即,由得,又,得,即,所以;(II)由,得,由,得,从而,故,所以的面积为19. (I)由题意,知,又有,得公比(舍去),所以数列的通项公式为,所以,故数列的通项公式为,;(II)(i)由(I)知,所以;(ii)因为;当时,而,得,所以当时,综上对任意恒有,故20. (I)在直角梯形中,由,得,由,则,即,又平面平面,从而平面,所以,又,从而平面;(II)方法一:作,与交于点,过点作,与交于点,连结
6、,由(I)知,则,所以是二面角的平面角,在直角梯形中,由,得,又平面平面,得平面,从而,由于平面,得:,在中,由,得,在中,得,在中,得,从而,在中,利用余弦定理分别可得,在中,所以,即二面角的大小是方法二:以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图所示,由题意可知各点坐标如下:,设平面的法向量为,平面的法向量为,可算得,由得,可取,由得,可取,于是,由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角的大小是21. (I)设直线的方程为,由,消去得,由于直线与椭圆只有一个公共点,故,即,解得点的坐标为,由点在第一象限,故点的坐标为;(II)由于直线过原点,且与垂直,故直线的方程为,所以点到直
7、线的距离,整理得,因为,所以,当且仅当时等号成立,所以点到直线的距离的最大值为.22.(I)因为,所以,由于,(i)当时,有,故,此时在上是增函数,因此,(ii)当时,若,在上是增函数,若,在上是减函数,所以,由于,因此,当时,当时,(iii)当时,有,故,此时在上是减函数,因此,故,综上;(II)令,则,因为,对恒成立,即对恒成立,所以由(I)知,(i)当时,在上是增函数,在上的最大值是,最小值是,则,且,矛盾;(ii)当时,在上的最大值是,最小值是,所以,从而且,令,则,在上是增函数,故,因此,(iii)当时,在上的最大值是,最小值是,所以,解得,(iv)当时,在上的最大值是,最小值是,所以,解得,综上的取值范围.