1、13.2 分析法 2综合法：综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明近要证明的结论，直到完成命题的证明.31 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q 综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难进展更难.会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想.但开头难怎么办？我们今天来学习另一种方法但开头难怎么办？我们今天来学习另一
2、种方法分析法分析法.用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理表示已知条件、已有的定义、公理、定理等等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为41.1.了解分析法的思考过程与特点了解分析法的思考过程与特点.（重点）（重点）2.2.能熟练运用分析法证明命题能熟练运用分析法证明命题.（难（难点）点）3.3.了解分析法与综合法的区别与联了解分析法与综合法的区别与联系系.5探究点探究点1 1 分析法分析法 在证明数学命题时，我们也可以从命题的在证明数学命题时，我们也可以从命题的结论入手，不断地寻求保证结论成立的条件，结论入手，不断地寻求保证结论成立的条
3、件，直到归结为命题给定的条件，或归结为定义、直到归结为命题给定的条件，或归结为定义、定理、公理定理、公理.下面我们看几个例题：下面我们看几个例题：6例例1 1 已知：已知：a，b是不相等的正数是不相等的正数.求证：求证：3322aba bab.3322aba bab，22(ab)(aabb)ab(ab)，22(ab)(aabb)ab(ab)0，22(ab)(a2abb)0，2(ab)(ab)0，2ab0(ab)0.且证明证明 要证明要证明只需证明只需证明 只需证明只需证明 只需证明只需证明 只需证明只需证明 只需证明只需证明 由于命题的条件由于命题的条件“a a，b b是不相等的正数是不相等的
4、正数”，它保证，它保证上式成立上式成立.这样就证明了命题的结论这样就证明了命题的结论.7例例2 2 求证：求证：87510.证明证明 要证明要证明 87510成立,只需证明只需证明 22(87)(510)，872 565 102 50,从而只需证明从而只需证明 5056 即即 5650，这显然成立，这显然成立.这样就证明了这样就证明了 87510.8例例3 3 求证：函数求证：函数 16122)(2xxxf在区间在区间 （3 3，+）上是增加的）上是增加的.证明证明 要证明函数要证明函数 16122)(2xxxf在区间（在区间（3 3，+）上是增加的，）上是增加的，只需证明只需证明 对于任意对
5、于任意 1x，2x（3 3，+），且），且1x 2x时，有时，有12f(x)f(x)0，91x2x只需证明只需证明 对任意的对任意的3，有，有221211222212121212121212()()(21216)(21216)22(1212)2()()12()2()(6)0.f xf xxxxxxxxxxxxxxxxxxx101x2x1x2x1x2x16122)(2xxxf因为因为3，-0且且+6，它保证上式成立，它保证上式成立.在区间（在区间（3，+）上是增加的）上是增加的.所以所以这样，就证明了：函数这样，就证明了：函数11思考思考1 1：通过前面的例子，它们的证明有什么共同特通过前面的例
6、子，它们的证明有什么共同特点？点？提示：提示：都是从要求证的结论出发，一步一步地探索保都是从要求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这我们把这样的思维方法称为分析法样的思维方法称为分析法 12特点：特点：这个明显成立的条件可以是：这个明显成立的条件可以是：执果索因执果索因即：即：要证结果要证结果Q Q，只需证条件，只需证条件P P已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等.13思考思考2.2.分析法的推理过程是合情推
7、理还是演绎推理分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?提示提示:分析法的推理过程是演绎推理分析法的推理过程是演绎推理,分析法的每一步分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理推理都是严密的逻辑推理,从而得到的每一个结论都从而得到的每一个结论都是正确的是正确的,不同于合情推理中的不同于合情推理中的“猜想猜想”.14探究点探究点2 2 分析法和综合法的综合应用分析法和综合法的综合应用思考思考1.1.综合法与分析法的区别是什么？综合法与分析法的区别是什么？提示提示:综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待证结论出每步寻找的是必要条件；分
8、析法是从待证结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.15思考思考2 2：分析法和综合法有什么联系？分析法和综合法有什么联系？提示：提示：(1)(1)用综合法和分析法证明同一个问题时，用综合法和分析法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆一般思路恰好相反，过程相逆.(2)(2)有的问题单纯用二者之一不能解决时，可二者有的问题单纯用二者之一不能解决时，可二者兼用，一般先分析后综合兼用，一般先分析后综合.16注：解题时，一般用分析法寻找解题思路，再用综合注：解题时，一般用分析法寻找解题思路，再用综合法写解题过程法写解题过程思考思考3 3：分析法和综合
9、法的优缺点分别是什么？分析法和综合法的优缺点分别是什么？提示：提示：分析法的优点：解题方向明确，容易找到解分析法的优点：解题方向明确，容易找到解题的思路和方法；题的思路和方法；缺点：思路逆行，叙述较繁缺点：思路逆行，叙述较繁.综合法的优点：从条件推出结论，较简捷地解决问综合法的优点：从条件推出结论，较简捷地解决问题；题；缺点：不便于思考缺点：不便于思考.17例例4 4 如图，已知如图，已知BE,CFBE,CF分别为分别为ABCABC的边的边AC,ABAC,AB上的高，上的高，G G为为EFEF的中点，的中点，H H为为BCBC的中点的中点.求证：求证：HGHGEF.EF.证明：证明：考虑待证的
10、结论考虑待证的结论“HGHGEFEF”和已知的和已知的命题条件：命题条件：G G是是EFEF的中点，连接的中点，连接EH,FH,EH,FH,只需证明只需证明EHFEHF为等腰三角形，为等腰三角形，即即EH=HFEH=HF即可即可.E EF FH HC CB BA AG G18根据条件CFAB,且H是BC的中点，可知FH是RtBCF斜边上的中线.1所以FH=BC.21同理HE=BC.2这样，就证明了EHF为等腰三角形.所以HGEF.19例例5 5 已知已知:a,b,c:a,b,c都是正实数，且都是正实数，且ab+bc+ca=1.ab+bc+ca=1.求求证：证：a+b+ca+b+c3.22222
11、22222考虑待证的结论“a+b+c 3只需证明 a+b+c3，即a+b+c+2 ab+bc+ca 3.又ab+bc+ca=1，所以，只需证明a+b+c 1，即a+b+c-10.证明：证明：”，因为a+b+c0，20.3.0.a-cc-bb-a02-2220-1222222222cbacabcabcbacabcabcbacabcab所以非负，故上式成立由于任意实数的平方都即，只需证明所以，只需证明，因为21【提升总结提升总结】综合法、分析法的灵活选用综合法、分析法的灵活选用 在实际问题中，常把这两种方法结合起来使用，在实际问题中，常把这两种方法结合起来使用，即先用分析法探索证明的途径，或者联合
12、使用分析法即先用分析法探索证明的途径，或者联合使用分析法与综合法，即从与综合法，即从“欲知欲知”想想“需知需知”(分析分析)，从，从“已已知知”推推“可知可知”(综合综合)，双管齐下，两面夹击，逐步，双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径论的途径.然后利用综合形式写出证明过程，这也是然后利用综合形式写出证明过程，这也是解决数学证明问题的一种重要思想方法解决数学证明问题的一种重要思想方法.221.1.用分析法证明：要证明用分析法证明：要证明A AB B，只需证明，只需证明C CD D，这里是的，这里是的 ()(
13、)A.A.充分条件充分条件 B.B.必要条件必要条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解题分析：解题分析：利用分析法的推理过程判断利用分析法的推理过程判断.B B232.2.要证：要证：a a2 2+b+b2 2-1-a-1-a2 2b b2 200，只要证明，只要证明()()A.2ab-1-aA.2ab-1-a2 2b b2 20 0 B.aB.a2 2+b+b2 2-1-0-1-0C.C.-1-a -1-a2 2b b2 20 0 D.(aD.(a2 2-1)(b-1)(b2 2-1)0-1)0【解析解析】(a(a2 2-1)(b-1)(b2 2-1
14、)0-1)0a a2 2+b+b2 2-1-a-1-a2 2b b2 20.0.44ab22ab2D D24F FE ES SC CB BA A证明证明:要证明要证明AFSC,AFSC,只需证明只需证明SCSC平面平面AEF,AEF,只需证明只需证明AESC,AESC,只需证明只需证明AEAE平面平面SBC,SBC,只需证明只需证明AEBC,AEBC,只需证明只需证明BCBC平面平面SAB,SAB,只需证明只需证明BCSA,BCSA,只需证明只需证明SASA平面平面ABC,ABC,因为因为SASA平面平面ABCABC成立成立,所以所以AFSCAFSC成立成立.3.3.如图如图,SA,SA平面平
15、面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线,垂足为垂足为F,F,求证求证:AFSC.:AFSC.254.4.求证：求证：372 5.证明：证明：因为因为 都是正数，都是正数，3725和所以为了证明所以为了证明 372 5，只需证明只需证明 22(37)(2 5)，展开得展开得102 2120，即即215，只需证明只需证明21252125，因为，因为21252125成立，成立，所以不等式所以不等式 成立成立.372 526回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？1.1.分析法的定义及特点分析法的定义及特点.2.2.理解分析法与综合法的区别与联系理解分析法与综合法的区别与联系.3.3.分析法和综合法的综合应用分析法和综合法的综合应用.27 不要将过去看成是寂寞的，因为这是再也不会回头的.应想办法改善现在，因为那就是你，毫不畏惧地鼓起勇气向着未来前进.朗费罗
