1、11.2 复数的有关概念2NZQR C 为了解决实际问题，数集随着新数的概念的引入而扩展，从而复数的概为了解决实际问题，数集随着新数的概念的引入而扩展，从而复数的概念应运而生念应运而生.3 从从1818世纪起，复数在数学、力学中得到了应用，现在的复数理论在数学、力学、世纪起，复数在数学、力学中得到了应用，现在的复数理论在数学、力学、电学等方面有着更加广泛的应用电学等方面有着更加广泛的应用.它已成为科技人员普遍熟悉的数学工具它已成为科技人员普遍熟悉的数学工具.这就需要我们更进一步掌握好复数，下面我们继续学习复数的有关概念这就需要我们更进一步掌握好复数，下面我们继续学习复数的有关概念.41.1.掌
2、握复数相等的充要条件掌握复数相等的充要条件.（重点）（重点）2.2.理解复数的模的有关概念理解复数的模的有关概念.3.3.理解复数与复平面内的点以及平面向量的一一对应关系，并能熟练应用复数的理解复数与复平面内的点以及平面向量的一一对应关系，并能熟练应用复数的几何意义解题几何意义解题.（难点）（难点）5思考思考1:1:复数复数z=a+bi=0,z=a+bi=0,实数实数a,ba,b应满足什么条件？应满足什么条件？提示：提示：a=b=0.a=b=0.思考思考2:2:若复数若复数a+bi=c+dia+bi=c+di（a,b,c,da,b,c,d是实数是实数)，则，则a,b,c,da,b,c,d应满足
3、什么条件？应满足什么条件？提示：提示：复数复数a+bia+bi，c+dic+di可以看成是关于可以看成是关于i i的一次二项式，类比两个二项式相的一次二项式，类比两个二项式相等的意义，我们规定：等的意义，我们规定：探究点探究点1 1 复数相等的复数相等的充要条件充要条件6如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那么我们就说这两个分别相等，那么我们就说这两个复数相等复数相等,Rdcba 若abicdiacbd.，7思考思考3:3:复数复数a+bia+bi与与c+dic+di相等的充要条件是相等的充要条件是a=c,b=da=c,b=d，正确吗？，正确吗？提示：提示：不正确，不正确
4、，a+bi=c+dia+bi=c+dia=c,b=da=c,b=d，前提条件是，前提条件是a,b,c,da,b,c,d都是实数都是实数.思考思考4:4:如果两个复数能比较大小，那么这两个复数一定是实数吗？如果两个复数能比较大小，那么这两个复数一定是实数吗？提示：提示：是是.虚数不能比较大小，如果两个复数能比较大小，那么这两个复数一定虚数不能比较大小，如果两个复数能比较大小，那么这两个复数一定是实数是实数.8例例1 1 设设x,yR,x,yR,并且并且(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i,(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i,求求x,yx,y的值的值.yxyx321211xy解：解：由复
5、数相等的意义，得由复数相等的意义，得解这个方程组，得解这个方程组，得9已知已知 ，其中，其中 求求iyyix)3()12(Ryx,.yx与与解：解：根据复数相等的定义，得方程组根据复数相等的定义，得方程组2x1y1(3y).，解得解得5x,y4.2【变式练习变式练习】10探究点探究点2 2 复数的几何意义复数的几何意义思考思考1:1:在几何上，我们用什么来表示实在几何上，我们用什么来表示实数数?分析分析:实数可以用数轴上的点来表示，实数可以用数轴上的点来表示，实数实数 数轴上的点数轴上的点 一一对应一一对应(数数)(形形)思考思考2 2：类比实数的表示，可以用什么来表示复数？类比实数的表示，可
6、以用什么来表示复数？请往下看！请往下看！11复平面的概念：复平面的概念：用直角坐标平面内的点来表示复数时用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个我们称这个直角坐标平面为直角坐标平面为_,x_,x轴称为轴称为_，y y轴称轴称为为_._.这样，每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它对应；反过来，复平面内的每这样，每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它对应；反过来，复平面内的每一个点都有唯一的一个复数与它对应，复数集一个点都有唯一的一个复数与它对应，复数集C C和复平面内所有的点构成的集合是和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的，一一对应的，即任一个复数即任一个复数z=a+bi与复平面内
7、的点与复平面内的点Z(a,b)是对应的是对应的.复平面复平面实轴实轴虚轴虚轴12复数复数z=a+biz=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)xyobaZ(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应z=a+bi实轴上的点表示实数实轴上的点表示实数,虚轴上的点虚轴上的点(除原点除原点)都表示纯虚数都表示纯虚数.复数的几何意义复数的几何意义13(A)(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上在复平面内，对应于实数的点都在实轴上(B)(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上(C)(C)在
8、复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数(D)(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）D D练一练练一练14思考思考3:3:我们知道平面直角坐标系中的点我们知道平面直角坐标系中的点Z Z与以原点与以原点O O为起点、为起点、Z Z为终点的向量为终点的向量是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？OZ提示提示:因为复平面内的点因为复平面内的点Z Z（a a，b b）与以原点）与以原点O O为起点为起点,Z,Z为
9、终点的向量一为终点的向量一一对应一对应 ，所以我们也可以用向量，所以我们也可以用向量 来表示复数来表示复数z=a+bi.z=a+bi.OZOZxayo),(baZbbiaz复数复数z=a+biz=a+bi平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应15思考思考4:4:我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到我们知道任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离，任何一个向量都有模（或绝对值），它表示向量的长度，相应地，原点的距离，任何一个向量都有模（或绝对值），它表示向量的长度，相应地，我们可以给出复数的模（或绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？我们可
10、以给出复数的模（或绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？设复数设复数z=a+bi在复平面内对应的点是在复平面内对应的点是Z（a，b），），点点Z到原点的距离到原点的距离 叫作叫作_，记作记作_.显然，显然，_.复数的模表示复数的模表示_.ozz提示：提示：定义：复数的模（或绝对值）定义：复数的模（或绝对值）复数复数z z的模（或绝对值）的模（或绝对值）z22ba 复平面内该点到原点的距离复平面内该点到原点的距离16例例2 2 求下列复数的模：求下列复数的模：（1 1）-2+3i.-2+3i.（2 2）（3 3）3-4i.3-4i.（4 4）-1-3i.-1-3i.13i22.22123231
11、3()i().解解221313212222()i()().223 34345()i().2241 31310()i()().17解：解：【变式练习变式练习】求下列复数的模：求下列复数的模：（1 1）4 4 （2 2）2+i 2+i （3 3）-i -i （4 4）-1+3i -1+3i （5 5）3-2i3-2i1 44()222 2215()i.223011()i().224131310()i().225 323213()i().181.1.若复数若复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)对应的点位于实轴的上方，则（对应的点位于实轴的上方，则（）A.bA.b0 B.a0 B.a0
12、,b0,b0 0C.aC.a0 D.a0 D.a0,b0,b0 0【解析解析】选选A.A.实轴上方的点满足纵坐标大于实轴上方的点满足纵坐标大于0 0，即，即b b0.0.A A192.2.设设|z|=z,|z|=z,则则()()A.zA.z是纯虚数是纯虚数 B.zB.z是实数是实数C.zC.z是正实数是正实数 D.zD.z是非负实数是非负实数【解析解析】选选D.D.因为因为|z|0,|z|0,所以所以z=|z|0.z=|z|0.D D203.3.若复数（若复数（3-m3-m）+(m2-4)i+(m2-4)i对应的复平面内的点位对应的复平面内的点位于第一象限，则实数于第一象限，则实数m m的取值
13、范围是（的取值范围是（）A.mA.m3 B.m3 B.m2 2或或m m-2-2C.2C.2m m3 3或或m m-2 D.2-2 D.2m m3 3【解析解析】因为复数因为复数(3-m)+(m2-4)i(3-m)+(m2-4)i对应的点对应的点位于第一象限，所以位于第一象限，所以 解方程组可得解方程组可得2 2m m3 3或或m m-2-2，故选，故选C.C.C C23-m0,m-40，214 4z z1 13 34i4i，z z2 2(n2(n23m3m1)1)(n2(n2m m6)i6)i，且且z z1 1z z2 2，则实数，则实数m m_，n n_._.【解析解析】由复数相等的意义，
14、得由复数相等的意义，得22n3m 13nm 64.，解得解得m=2,n=m=2,n=2.2.2 22 2225.5.若复数若复数z z1 1=3-5i,z=3-5i,z2 2=1-i,z=1-i,z3 3=-2+ai=-2+ai在复平面内所在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数对应的点在同一条直线上，则实数a=_.a=_.【分析分析】先写出三个复数对应的复平面内的点，先写出三个复数对应的复平面内的点，然后利用斜率相等求然后利用斜率相等求a a的值的值.【解析解析】设复数设复数z z1 1,z,z2 2,z,z3 3分别对应点分别对应点P P1 1（3,-5),3,-5),P P2 2(1,
15、-1),P(1,-1),P3 3(-2,a),(-2,a),由已知可得由已知可得 ，从，从而可解得而可解得a=5.a=5.-5+1a+1=3-1-2-15 5236.6.实数实数m m分别取什么数值时，复分别取什么数值时，复z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)iz=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i对应的点对应的点Z Z：（1 1）位于）位于x x轴上方轴上方.（2 2）在直线）在直线y=x+7y=x+7上上.【解析解析】（1 1）若点）若点Z Z位于位于x x轴上方，则有轴上方，则有m2-2m-15m2-2m-150 0，解得，解得m m5 5或或m m-3.-3.（2 2）
16、若点）若点Z Z在直线在直线y=x+7y=x+7上，则有上，则有m2-2m-15=(m2+5m+6)+7,m2-2m-15=(m2+5m+6)+7,解得解得m=-4.m=-4.241.1.复数复数z=a+biz=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)一一对应一一对应2.2.建立了平面直角坐标系来表示复数的平面建立了平面直角坐标系来表示复数的平面复平面复平面.x x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴3.3.复数复数z=a+biz=a+bi平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应.22ba 4.4.复数的模复数的模:点点Z Z到原点的距离到原点的距离,|z|=|z|=25凡在小事上对真理持轻率态度的人，在大事上也是不足信的.
