1、课题课题2121等腰三角形等腰三角形基础基础知识梳理知识梳理考点一 等腰三角形考点二 等边三角形考点三 线段的垂直平分线考点四 角平分线中考题型突破中考题型突破题型一 考查等腰三角形的性质题型二 考查等腰三角形的判定题型三 考查线段的垂直平分线题型四 考查角平分线的性质定理及其逆定理易错在等腰三角形中求角时未进行分类讨论导致丢解易混易错突破易混易错突破考点年份题号分值考查方式1.等腰三角形的性质2018239以解答题的形式,与全等三角形相结合,考查等腰三角形的性质201793以选择题的形式,与菱形相结合,考查等腰三角形的性质与判定2017103以选择题的形式,以轮船航行为问题情境,考查等腰三角
2、形的性质与判定2016162以选择题的形式,考查等边三角形的性质与判定2.线段的垂直平分线201883以选择题的形式,与全等三角形相结合,考查线段垂直平分线与角平分线的知识2017183以填空题的形式,与尺规作图相结合,考查线段垂直平分线的知识2016103以选择题的形式,以尺规作图为问题情境,考查线段垂直平分线的知识备考策略:本课题的内容作为一些基本知识点,考查学生对等腰三角形的掌握和理解情况.预计2019年中考试题可能与四边形或圆的知识相结合,考查等腰三角形的性质和判定.河北考情探究考点一等腰三角形考点一等腰三角形1.定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.基础知识梳理2.性质:(1)等腰
3、三角形的两底角相等.(简称“等边对等角”)(2)等腰三角形顶角的角平分线,底边上的中线和底边上的高互相重合.(简称“三线合一”)(3)等腰三角形是轴对称图形,顶角的角平分线或底边上的中线、底边上的高所在的直线是等腰三角形的对称轴.3.判定:(1)定义判定.(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)考点二等边三角形考点二等边三角形1.定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.性质:因为等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质,其特殊性质如下:(1)等边三角形的三条边相等.(2)三个角相等,且都是60度.(3)内、外心重合.(4)等边三角形是轴对
4、称图形,有三条对称轴.3.判定:(1)三边都相等的三角形是等边三角形.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.考点三线段的垂直平分线考点三线段的垂直平分线1.定义:垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线2.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.角平分线的性质定理的逆定理:在角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.考点四角平分线考点四角平分线1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.题型一
5、考查等腰三角形的性质题型一考查等腰三角形的性质该题型主要考查等腰三角形(包括等边三角形)的性质,主要内容包括:利用等腰三角形的性质进行线段或角的计算,利用等腰三角形的性质进行推理等.中考题型突破典例典例1(2018石家庄模拟)在ABC中,AB=AC.(1)如图,如果BAD=30,AD是BC边上的高,AD=AE,则EDC=15;(2)如图,如果BAD=40,AD是BC边上的高,AD=AE,则EDC=20;(3)思考:通过以上两题,你发现BAD与EDC之间有什么关系?请用式子表示:BAD=2EDC.(4)如图,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,上述式子是否仍成立?如果是,请你说明理由.12ED
6、CBAD或答案答案(1)在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,CAD=BAD=30,ADC=90.AD=AE,ADE=AED=(180-CAD)=(180-30)=75,EDC=ADC-ADE=90-75=15.故答案为15.(2)在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,CAD=BAD=40,ADC=90.1212AD=AE,ADE=AED=(180-CAD)=(180-40)=70,EDC=ADC-ADE=90-70=20.故答案为20.(3)BAD=2EDC(4)是,理由如下:AD=AE,121212EDCBAD或ADE=AED,BAD+B=ADC=ADE+EDC=AED+EDC
7、=(EDC+C)+EDC=2EDC+C.又AB=AC,B=C,BAD=2EDC.名师点拨名师点拨 等腰三角形有两个重要的性质,这两个性质有着不同的适用范围,一般情况下,如果等腰三角形中出现了相等的边,那么可以利用等腰三角形的性质得到相等的边所对的角相等,如果等腰三角形中出现了底边的中线、高或顶角的平分线,那么可以利用“三线合一”的性质.变式训练变式训练1(2017邯郸丛台模拟)如图,已知BD平分ABC,AB=AD,DEAB,垂足为E.(1)求证:ADBC;(2)若DE=6cm,求点D到BC的距离;当ABD=35,DAC=2ABD时,求BAC的度数.答案答案(1)证明:BD平分ABC,ABD=D
8、BC.又AB=AD,ADB=ABD.ADB=DBC,ADBC.(2)过点D作DFBC交BC的延长线于点F,如图所示.BD平分ABC,DEAB,DFBC,DF=DE=6cm.BD平分ABC,ABC=2ABD=70.DAC=2ABD,DAC=70,ADBC,ACB=DAC=70,BAC=180-ABC-ACB=180-70-70=40.题型二考查等腰三角形的判定题型二考查等腰三角形的判定该题型主要考查利用等腰三角形(包括等边三角形)的定义与判定定理判定等腰三角形.典例典例2(2018保定模拟)如图,AB=AC,BD,CD分别平分ABC和ACB.问:(1)图中有几个等腰三角形?(2)在图的基础上,过
9、点D作EFBC,交AB于点E,交AC于点F,如图,图中现在增加了几个等腰三角形?(3)如图,若将题中的ABC改为不等边三角形,其他条件不变,则图中有几个等腰三角形?线段EF与BE,CF之间有什么关系,请加以证明.答案答案(1)AB=AC,ABC=ACB,且ABC是等腰三角形.BD,CD分别平分ABC和ACB,DBC=ABC=ACB=DCB,BD=CD,BDC是等腰三角形.在图中共有2个等腰三角形.1212(2)由(1)得,ABC,BDC是等腰三角形.EFBC,EDB=DBC.BD平分ABC,DBE=DBC.DBE=EDB,BE=DE,BDE为等腰三角形.同理可得CDF为等腰三角形.ABC是等腰
10、三角形,ABC=ACB.EFBC,AEF=ABC,AFE=ACB,AEF=AFE.AEF是等腰三角形,图中共有5个等腰三角形,比图增加了3个等腰三角形.(3)同(2)可得BDE,CDF是等腰三角形.ABC不是等腰三角形,BDC,AEF都不是等腰三角形,即图中有2个等腰三角形.BDE为等腰三角形,BE=DE.CDF为等腰三角形,CF=DF.EF=DE+DF=BE+CF.名师点拨名师点拨本题的求解过程实际上验证了一个重要的结论:平行线遇上角平分线,等腰三角形就出现,根据这个结论,就能非常轻松地得到BDE,CDF是等腰三角形,为解题提供了极大的便利.变式训练变式训练2(2016河北中考)如图,AOB
11、=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有(D)A.1个B.2个C.3个D.3个以上答案答案D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,易知PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取点M,N,使CM=DN,则PCMPDN(SAS),CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,满足CM=DN的M,N有无数个,满足题意的三角形有无数个.题型三考查线段的垂直平分线题型三考查线段的垂直平分线该题型主要考查线段垂直平分线的知识,主要内容包括:根据线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行线段或
12、角的计算,根据线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行推理等.典例典例3(2017唐山乐亭模拟)如图,在ABC中,C=90,AB的垂直平分线DE交AC于点D,垂足为E,若A=30,CD=3.(1)求BDC的度数;(2)求AC的长度.答案答案(1)AB的垂直平分线DE交AC于点D,垂足为E,AD=BD,ABD=A=30,BDC=ABD+A=2A=60.(2)C=90,BDC=60,CBD=90-BDC=90-60=30,BD=2CD=23=6,AD=BD=6,AC=AD+CD=6+3=9.名师点拨名师点拨 利用线段的垂直平分线的性质可以得到两条相等的线段,进而利用等腰三角形的性质可以推出它们所对的
13、角也相等.变式训练变式训练3(2016河北中考)如图,已知钝角三角形ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心,CA的长为半径画弧;步骤2:以点B为圆心,BA的长为半径画弧,交弧于点D;步骤3:连接AD,交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是(A)A.BH垂直平分线段ADB.AC平分BADC.SABC=BCAHD.AB=AD答案答案A由作图可知点B,C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B,C都在线段AD的垂直平分线上,即BC所在的直线垂直平分线段AD.故选A.题型四考查角平分线的性质定理及其逆定理题型四考查角平分线的性质定理及其逆定理该题型主要考查角平分线的性质定理及
14、其逆定理,主要内容包括:根据角平分线的性质定理及其逆定理进行线段或角的计算,根据角平分线的性质定理及其逆定理进行推理等.典例典例4(2018衡水模拟)如图,在ABC中,ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.(1)求证:AP平分BAC的外角CAM;(2)过点C作CEAP,E是垂足,并延长CE交BM于点D.求证:CE=ED.答案答案(1)过点P作PTBC于点T,PSAC于点S,PQBA于点Q,如图,在ABC中,ABC的平分线与ACB的外角的平分线相交于点P,PQ=PT,PS=PT,PQ=PS,AP平分DAC,即AP平分BAC的外角CAM.(2)AP平分BAC的外角CAM,DAE
15、=CAE.CEAP,AED=AEC=90.在AED和AEC中,AED AEC,CE=ED.,DAECAEAEAEAEDAEC 名师点拨名师点拨本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步证明出PQ=PS和AED AEC,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.变式训练变式训练4(2018沧州模拟)如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,ABC的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,且BD=2DE,连接AE.(1)求线段CD的长;(2)求ADE的面积.答案答案(1)过点D作DHAB,垂足为H,如图.BD平分ABC,C=90,设DH=C
16、D=x,则AD=3-x.C=90,AC=3,BC=4,根据勾股定理,得AB=5.sinBAC=,=,解得x=,即CD=.(2)SABD=ABDH=5=.BD=2DE,=2,SADE=SABD=.DHADBCAB3xx454343121243103ABDADESSBDDE1253易错易错 在等腰三角形中求角时未进行分类讨论导致丢解在等腰三角形中求角时未进行分类讨论导致丢解典例典例已知等腰三角形的一个角是70,则这个等腰三角形另外两个角的度数分别是.易混易错突破易错警示易错警示已知等腰三角形的一个角为,求其他两个角的度数时,首先应分析是否需要分类讨论,一般分为三种情况:(1)如果题目中已经指明角是
17、等腰三角形的顶角或底角,则不需分类讨论;(2)当角是直角或钝角时,角一定是等腰三角形的顶角,则不需分类讨论;(3)当角是锐角且未指明其是等腰三角形的顶角还是底角时,则必须分类讨论,否则将会出现丢解的错误.解析当这个70的角是底角时,该等腰三角形的顶角为180-702=40,故另外两个角的度数分别是70,40;当这个70的角是顶角时,该等腰三角形的底角为(180-70)=55,故另外两个角的度数分别是55,55.综上所述,这个等腰三角形另外两个角的度数分别是70,40或55,55.12答案答案70,40或55,551.已知某等腰三角形的一个外角等于100,则这个等腰三角形底角的度数为(C)A.4
18、5B.50C.80或50D.45或50随堂巩固检测2.如图,在ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BAD=35,则C的度数为(C)A.35B.45C.55D.603.如图,ABC是等边三角形,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,则图中等边三角形共有(C)A.3个B.4个C.5个D.6个4.如图,在ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,且AC=8,BC=6,则BDC的周长为(D)A.20B.22C.10D.145.如图,在ABC中,A=36,B=72,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,则图中等腰三角形的个数为(B)A.2B.3C.4D.56.如图,点O在ABC内,且到三边的
19、距离相等,若A=60,则BOC=120.7.在ABC中,A=100,当B=40时,ABC是等腰三角形.8.如图,ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D,若ADB的周长是10cm,AB=4cm,则AC=6cm.9.如图,在ABC中,BC=AC,ACB=90,D是AC上一点,AEBD交BD的延长线于点E,且AE=BD,求证:BD平分ABC.12答案答案延长AE,BC交于点F,如图所示.AEBE,BEF=90.又ACF=ACB=90,ADE=BDC,DBC=FAC.在ACF和BCD中,ACF BCD,AF=BD.又AE=BD,AE=AF,AE=EF,即E是AF的中点.,ACFBCDACBCFACDBC 1212又AEBD,直线BE是线段AF的垂直平分线,BD平分ABC.
