1、 第二单元方程（组）与不等式（组）第8课时 一元二次方程及其应用在数与式的运算中的应用例 1：(2010 年广东广州)已知关于 x 的一元二次方程 ax2小结与反思：本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，关键还是要想得到代换的思想，属于中等难度的试题，具有一定的区分度.在方程中的应用7小结与反思：此题是灵活运用数学方法、解题技巧求值的问题，首先要观察条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用整体代入法即可得解.例 3：如图 Z11，A、B、C 两两不相交，半径)都是 0.5 cm，则图中的阴影部分的面积是(图 Z11
2、解析：由于不能求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为 180，所以三个扇形的圆心角和为 180，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为 0.5 cm 的半圆的面积答案：B 基础点巧练妙记基础点 1一元二次方程的概念1.概念（1）只含有一个未知数(一元)；（2）未知数的最高次数是_；（3）整式方程 22.一般形式：ax2+bx+c=0(a0),其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.3.解的意义:使一元二次方程等号两边_的未知数的值.相等练提 分 必1.下列方程是一元二次方程的是_.x2+2x-3=0；x2+3=0；(x2+3)2=9；x
3、2+=4；5x2-6y-2=0;(x+1)(x-2)=7.1x练提 分 必2.已知x=1是方程3x2+bx+c=0的一个根，则4+b+c=_.3.若(a-3)+4x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的值为_.1-327ax基础点 2一元二次方程的解法（黔东南州2015.19，黔西南州2016.15，毕节2考，安顺2015.7）解法解法 公式法公式法适用于所有一元二次方程，求根公式为适用于所有一元二次方程，求根公式为_【注意事项注意事项】（1）先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定）先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为要化为0；（2）将）将a,b,c代入公式时注意其符号；代
4、入公式时注意其符号；（3）若）若b2-4ac0，则原方程无解，则原方程无解适用情况或注意事项242bbaca 直接开平方法直接开平方法适用于：适用于：（1）方程缺少一次项，即方程）方程缺少一次项，即方程ax2+c=0（ac0且且a0）;（2）形如）形如a（x+n）2=b（ab0且且a0）的方程）的方程 因式分解法因式分解法适用于：将方程右边化为适用于：将方程右边化为0后，方程的左边可以后，方程的左边可以分解成因式乘积的形式分解成因式乘积的形式 配方法适用于：二次项系数化为适用于：二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较后，一次项系数为绝对值较小的偶数，否则计算复杂易出错；小的偶数，否则计算复杂
5、易出错；【注意事项注意事项】（1）在配方过程中，一定要在等号两边同时加上一次）在配方过程中，一定要在等号两边同时加上一次项系数一半的平方；项系数一半的平方；（2）方程二次项系数化为）方程二次项系数化为1后，一次项的正负决定配方后，一次项的正负决定配方后括号里面的常数是加或减后括号里面的常数是加或减练提 分 必4.用配方法解方程x2+2x-1=0,下列配方正确的是（）A.(x+1)2=3 B.(x-1)2=3C.(x+1)2=2 D.(x-1)2=25.方程(x-2)2=9的解是()A.x1=5,x2=-1 B.x1=-5,x2=1C.x1=11,x2=-7 D.x1=-11,x2=76.解方程
6、：x2-2x-8=0.C A x1=-2,x2=4练提 分 必7.解方程：（x+1）（x-2）=38.解方程:3x2-4x=1.9.解方程：3x(x-1)=2(x-1).12121121,22xx122727,33xx1221,3xx【走出误区】公因式中含有未知数的一元二次方程，应先移项，提取公因式，将方程左边化为因式乘积右边为0的形式，切记不能直接约去含有未知数的公因式，以免丢根.基础点 3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式（2011版课标新增内容）（遵义2考，铜仁必考，黔西南州2017.15，毕节2015.12，安顺3考）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的情况，
7、由根的判别式b2-4ac的符号决定.（1）b2-4ac _ 方程有两个不相等的实数根；（2）b2-4ac0 方程_；（3）b2-4ac_ 方程无实数根.0有两个相等的实数根02.根的判别式的作用（1）不用解方程，判断方程根的情况；（2）根据一元二次方程根的情况，求方程中字母的值或取值范围.练提 分 必10.一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根11.下列方程中，没有实数根的是()A.2x+3=0 B.x2-1=0C.=1 D.x2+x+1=021x BD练提 分 必12.若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根
8、，则a的取值范围是()A.a1 B.a4 C.a1 D.a113.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_.C k1【走出误区】根据根的情况，利用一元二次方程根的判别式求字母的取值范围时，若二次项系数含有字母，不要忽略二次项系数不为零的条件.3.根与系数的关系（2011版课标新增选学内容）（遵义2016.15，黔东南州必考）（1）若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根，则x1+x2=_；x1x2=_.（2）常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是否为一元二次方程的两个根；ba ca已知方程及方程的一个根，求另
9、一个根及字母值；不解方程求关于根的式子的值，如求x21+x22等；判断两根的符号；求新方程；由所给两根满足的条件，确定字母的取值.此类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系外，同时还要考虑a0,b2-4ac0这两个前提条件.4.根与系数关系的几种常见变形形式x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2；(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1；.12121211+xxxxx x 22212121212211212+()2xxxxxxx xxxx xx x 2212121212()()4xxxxxxx x 练提 分 必14.若x1
10、、x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1+x2的值为_,x1x2的值为_，的值为_.15.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=3,x2=-1，则bc的值为_.16.若关于x的方程x2+3x+a=0有一根为-1，则另一根为_.1211xx 23 2-36-2已知已知一根一根直接代入原方程，得到一个关于未知系数的方直接代入原方程，得到一个关于未知系数的方程，解方程求出未知系数程，解方程求出未知系数已知已知二根二根把两个根直接代入原方程，列出关于未知系数把两个根直接代入原方程，列出关于未知系数的方程组，解方程组，求出未知系数的方程组，解方程组，求出未知系数利
11、用根与系数的关系求解利用根与系数的关系求解【提分要点】已知方程的根求未知系数的方法基础点 4一元二次方程的应用1.增长（下降）率模型（遵义2015.15，毕节2016.23）设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)nb；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)nb.练提 分 必17.某市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为()A.20(1+2x)=80 B.220(1+x)=80C.20(1+x2)=80 D.20(1+x)2=80D2.利
12、润问题“每每模型”（铜仁2017.23，安顺2014.21）总利润单件利润数量；成本每件a元，售价为m元时销量是n件，售价每降低d元，则可多卖出c件.设售价降低了x元，则每件的利润为（m-x-a）元,销量增加 件，销量变为（n+）件,则降价后的利润为w=(m-x-a)(n+)元.cxdcxdcxd练提 分 必18.问题背景：某品牌钢笔每支进价为10元，当售价为每支12元时，销量为180支，若单价每提高1元，销量就会减少10支；问题1：设每支钢笔的单价提高x元，用含有x的代数式表示销量p练提 分 必涨价金额（元）涨价金额（元）销量（支）销量（支）0 180 1 180-10 2 180-20 3
13、 180-30 x p则p=_180-10 x;练提 分 必问题2：设单价为x元，用含有x的代数式表示每支钢笔的利润q和销量p；则q=_;p=_;单价（元）单价（元）涨价（元）涨价（元）单件利润（元）单件利润（元）销量（支）销量（支）12012-1018013113-10180-10 x114214-10180-10 x2xx-12qpx-10180-10（x-12）问题3：商家为了让利给顾客，并同时获得840元的利润，售价应定为多少元？解：由题意得840（x-10）180-10(x-12)x2-40+384=0 x1=24，x2=16，又180-10（x-10）0 x30，又要让利给顾客，x
14、=16答：当售价为16元时，既让利给顾客，又同时获利840元.问题问题4：当售价定为多少时，商家获得利润：当售价定为多少时，商家获得利润w最大，是多少？最大，是多少？解：由题意得w=（x-10）180-10(x-10)=-10(x2-40 x+300)=-10(x-20)2+1000 由问题3得x30.当x=20时，w取最大值为1000.当售价为20元时，商家获利最大，最大利润为1000元3.几何面积模型（黔西南州2015.7）矩形ABCD的长为a,宽为b,空白部分宽为x.（1）如图，S阴影(a-2x)(b-2x)；图(2)如图，图,图，S空白(a-x)(b-x).图 图 图4.握手、单循环赛
15、与送礼物模型(1)握手总次数（比赛总数）=;(2)礼物份数=n(n-1).5.病毒传染模型若一人感染病毒，且可传染 x个人，则两轮传染后感染病毒人数为（1+x）2人.注意：解一元二次方程的应用题要验根，根据实际情况对解进行取舍.1()2n n 练提 分 必19.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出_个分支.20.已知一株玉米得了花斑病，由于植株间距紧密，每天都会传染8棵植株，两天后患此病的植株数是_.9 81练提 分 必21.某中学举办了一年一度的乒乓球赛，比赛采用单循环制，如果比赛总场数为120场，则这次乒乓球赛共有
16、_支队伍参赛.16练提 分 必22.（人教九上17页10题改编）在母亲节来临之际，小明想将下面一幅寒梅春燕图送给妈妈，并自己给该画设计了一个镜框.已知该画的长为1米，高为1.2米，小明 设计的镜框的四条边的宽度相同，若镶过镜框后，剩余画设计的镜框的四条边的宽度相同，若镶过镜框后，剩余画面面积为面面积为0.8平方米，求镜框边的宽为多少米平方米，求镜框边的宽为多少米.第第22题图题图解：根据题意，设镜框的宽为x米,则画的剩余部分的长为（1-2x）米，高为（1.2-2x）米，根据题意得（1-2x）（1.2-2x）=0.8解得x1=1，x2=0.1x1米，x=1不合题意，故舍去，镜框边的宽为0.1米.
