1、生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例（数学建模二）（数学建模二）高考文科数学一轮复习高考文科数学一轮复习1.解决优化问题的基本思路教教材材研研读读2.利用导数解决优化问题的一般步骤考点一 利润最大、效率最高问题考点二 费用最省、用料最少问题考点三 几何体的表面积、容积问题考考点点突突破破1.解决优化问题的基本思路解决优化问题的基本思路(1)优化问题往往涉及变量之间的变化,因而就产生了函数关系,这时就可以利用导数解决优化问题.教材研读(2)导数是解决这类问题的基本方法之一.利用导数解决生活中的优化问题的基本思路是:2.利用导数解决优化问题的一般步骤利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实
2、际问题的数学模型,列出函数解析式y=f(x);(2)求函数f(x)的导数f(x),并解方程f(x)=0,即求函数可能的极值点;(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大小,得出函数f(x)的最大值或最小值;(4)根据实际问题的意义给出答案.1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x0),则获得最大利润时的年产量为()A.1百万件 B.2百万件C.3百万件 D.4百万件答案答案 C y=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),当0 x0;当x3时,y0.故当x=3时,该商品的年利润最大.C2.将8分为两个非负数之和,使其立方和
3、最小,则这两个数为()A.2和6 B.4和4C.3和5 D.以上都不对答案答案 B设其中一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=512-192x+24x2且0 x8,则y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=4.当0 x4时,y0;当40,所以当x=4时,y取得极小值,也是最小值.所以这两个数为4和4.B3.某集团为了获得更大的利润,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额-t2+5t(百万元)(0t3).若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内,且使集团由广告费而产生的收益最大,则应投入广告费 百万元.答案
4、答案2解析解析设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元),则f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0t3).所以当t=2时,f(t)max=4,即当集团投入2百万元广告费时,才能使集团由广告费而产生的收益最大.典例典例1当前,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的函数关系式为y=+4(x-6)2,其中2x6,m为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.2mx利润最大、效率最高问题利润最大、效率最高问题考点突破(1)求m的值;(
5、2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(精确到0.1)解析解析(1)当x=4时,y=21,代入函数关系式y=+4(x-6)2,得+16=21,解得m=10.2mx2m(2)由(1)可知,套题每日的销售量y=+4(x-6)2,所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6),所以f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)单调递增;当x时,f(x)0,函数f(x)单调递减.102
6、x2104(6)2xx103102,310,63所以x=是函数f(x)在区间(2,6)上的极大值点,也是最大值点.所以当x=3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格约为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.103103方法技巧方法技巧1.利润最大问题是生活中常见的一类问题,求解利润最大问题一般根据“利润=收入-成本”建立函数关系式,再利用导数求最大值.2.注意事项:价格要大于成本,否则就会亏本;销量要大于0,否则不会获利.1-1甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔,以此来弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方
7、的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系式x=2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的实际年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方实际年利润最大时的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y(元)与年产量t(吨)的函数t关系式为y=0.002t2,在乙方按照获得最大实际年利润的年产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?解析解析(1)解法一:因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w(t)=2 000-st.因为w(t)=2 000-s()2=-s+,所以当t=时,w取得最大
8、值.所以乙方实际年利润最大时的年产量为吨.解法二:因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w(t)=2 000-st.ttt21 000ts21 000s21 000s21 000st则(t)=-s=,令w(t)=0,得t=.当t0;当t时,w(t)0,所以t=时,w(t)取得极大值,也是最大值.所以乙方实际年利润最大时的年产量为吨.(2)设甲方净收入为v元,则v(s)=st-0.002t2.将t=代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式1 000t1 000s tt21 000s21 000S21 000S21 000S21 000s21 000s为v(s)=-,则v(s
9、)=-+=.令v(s)=0,得s=20.当s0;当s20时,v(s)0,所以s=20时,v(s)取得极大值,也是最大值.所以甲方向乙方要求赔付价格为20元/吨时,获得最大净收入.21 000s342 1 000s221 000s358 1 000s2351 000(8 000)ss典例典例2为了在夏季降温和冬季供暖时减小能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建筑成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0 x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层
10、建筑费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.35kx费用最省、用料最少问题费用最省、用料最少问题解析解析(1)每年的能源消耗费用为C(x)=(0 x10),由题可知C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.而隔热层的建造费用为C1(x)=6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20+6x=+6x(0 x10).(2)f(x)=6-,令f(x)=0,即=6,解得x=5或x=-(舍去).35kx4035x4035x80035x22 400(35)x 22 400(3
11、5)x 253当0 x5时,f(x)0;当50;当x=5时,f(x)=0.故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=65+=70.故当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.8003 55 方法技巧方法技巧1.解决费用最省问题,也是导数的一个重要应用.解决这类问题,第一要选取合适的量为自变量,并确定其取值范围;第二将费用表示为自变量的函数,再利用导数求最值,使问题得到解决.2.把实际问题转化为数学问题,正确列出解析式是解题的关键,利用导数求最值时要注意函数的定义域.2-1已知A,B两地相距200千米,一只船从A地逆水航行到B地,水速为8千米/时,船在静水中的航行速度为v千
12、米/时(80),则y1=kv2.当v=12时,y1=720,720=k122,得k=5.设全程燃料费为y元,由题意,得y=y1=,y=.令y=0,解得v=0(舍去)或v=16.若v016,当v(8,16)时,y0,y为增函数.故v=16(千米/时)时,y=取得极小值,也是最小值,此时全程2008v 21 0008vv 222 000(8)1 000(8)v vvv221 00016 000(8)vvv21 0008vv 21 0008vv 燃料费最省.若v016,当v(8,v0时,y0,y=为增函数.故当v=v0时,y取极小值,也是最小值,此时全程燃料费最省.综上可得,若v016,则当v=16
13、(千米/时)时,全程燃料费最省;若v0V1.解析解析(1)设切去的正方形边长为x,则焊接成的盒子的底面边长为4-2x,高为x.所以V1=(4-2x)2x=4(x3-4x2+4x)(0 x2),则V1=4(3x2-8x+4).令V1=0,得x1=,x2=2(舍去).又V1=12(x-2),当0 x0;当x2时,V1V1故此方案符合要求.方法技巧方法技巧利用导数解决几何中的面积、体积最大问题时,一定要看清题意,分析几何体的特征,设出变量,列出函数关系式,注明定义域,再利用导数求最值.若在定义域内只有一个极值,则这个极值便是最值,解此类题时,要注意利用数形结合的思想及函数的思想分析问题.3-1在一个
14、半径为1的半球材料中截取两个高度均为h的圆柱,其轴截面如图所示.设两个圆柱体积之和为V=f(h).(1)求f(h)的表达式,并写出h的取值范围;(2)求两个圆柱体积之和V的最大值.解析解析(1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为r1=,r2=.它们的高均为h,所以体积之和V=f(h)=h+h21h21(2)h21r22r=(1-h2)+(1-4h2)h=(2h-5h3).因为02h0;当h时,f(h)0.所以f(h)在上为增函数,在上为减函数.所以当h=时,f(h)取得极大值,也是最大值,f(h)的最大值为f=.10,23015300,1530 1,152300,1530 1,152301530154 3045故两个圆柱体积之和V的最大值为.4 3045
