1、统一命题、省(区、市)卷题组 考点 一元二次不等式及其解法,五年高考,1.(2019天津文,10,5分)设xR,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为 .,答案,解析 3x2+x-20(x+1)(3x-2)0,所以-1x .,方法总结 求解一元二次不等式,常借助二次函数图象,首先确定图象与x轴的交点,然后由图 象位于x轴上方或下方的部分确定不等式的解集.,2.(2018天津文,14,5分)已知aR,函数f(x)= 若对任意x-3,+), f(x)|x|恒 成立,则a的取值范围是 .,答案,解析 本题主要考查不等式恒成立问题. 当x-3,0时,因为f(x)|x|恒成立,所以x2+2x+a-
2、2-x,参变量分离得a-x2-3x+2,令y=-x2-3x+ 2=- + ,所以当x=0或x=-3时,y取得最小值,为2,所以a2. 当x(0,+)时,因为f(x)|x|恒成立,所以-x2+2x-2ax,参变量分离得a- x2+ x,令y=- x2+ x=- + ,所以当x= 时,y取得最大值,为 , 所以a .由可得 a2.,方法技巧 用分离参变量法求解不等式恒成立问题的技巧. 若不等式f(x,)0(xD,为实参数)恒成立,则将f(x,)0转化为g(x)或g(x)(xD)恒成 立,进而转化为g(x)max或g(x)min(xD),求g(x)(xD)的最值即可.该方法适用于参数与变 量能分离,
3、函数最值易求的题目.,3.(2016浙江理改编,1,5分)已知集合P=xR|1x3,Q=xR|x24,则P(RQ)= .,答案 (-2,3,解析 Q=(-,-22,+),RQ=(-2,2),P(RQ)=(-2,3.,4.(2015湖北改编,10,5分)设xR,x表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得t=1,t2=2, tn=n同时成立,则正整数n的最大值是 .,答案 4,解析 若n=3,则 即 得9t616,当 t 时,有t=1,t2=2,t3=3, n=3符合题意. 若n=4,则 即 得34t1253, 当 t 时,有t=1,t2=2,t3=3,t4=4, 故n=4符合题意. 若n=5,
4、则 即 6335, ,故无解, n=5不符合题意,则正整数n的最大值为4.,教师专用题组 考点 一元二次不等式及其解法,1.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的 取值范围是 .,答案,解析 要满足f(x)=x2+mx-10对于任意xm,m+1恒成立, 只需 即 解得- m0.,2.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时, f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)5 的解集是 .,答案 (-7,3),解析 f(x)是偶函数,f(x)=f(|x|). 又x0时, f(x)=x2-4
5、x, 不等式f(x+2)5f(|x+2|)5 |x+2|2-4|x+2|5(|x+2|-5)(|x+2|+1)0 |x+2|-50|x+2|5-5x+25-7x3. 故解集为(-7,3).,评析 本题综合考查函数的奇偶性以及不等式等知识,考查灵活应用知识的能力及转化与化 归思想.,3.(2012江苏,13,5分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f (x)c的 解集为(m,m+6),则实数c的值为 .,答案 9,解析 解法一:f(x)=x2+ax+b的值域为0,+), =a2-4b=0. 又f(x)c的解集为(m,m+6),即x2+ax+b-c0的解
6、集为(m,m+6), m,m+6是对应方程x2+ax+b-c=0的两个根, 由得,a2=4m2+24m+36, 由得,4b-4c=4m2+24m, 由可得4m2+24m+36=4m2+24m+4c,解得c=9. 解法二:因为函数f(x)的值域为0,+),所以当x2+ax+b=0时有=a2-4b=0,即b= ,所以f(x)=x2+ax +b=x2+ax+ = ,由f(x)= c,解得- x+ ,即- - x - .因为不等式f (x)c的解集为(m,m+6),所以 - =2 =6,解得c=9.,评析 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),ax
7、2+bx+c0的解集是(- ,x1)(x2,+);ax2+bx+c0的解集是x1,x2.注意当a0的情况进行求解.,4.(2010江苏,11,5分)已知函数f(x)= 则满足不等式=f(1-x2)f(2x)的x的取值范围是 .,答案 (-1, -1),解析 画出f(x)= 的图象, 由图可知,若f(1-x2)f(2x),则 即 得x(-1, -1).,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 一元二次不等式及其解法,1.(2019七大市三模,6)已知函数f(x)= 则不等式f(x)f(-x)的解集为 .,答案 (-2,0)(2,+),解析 当x0时, f(x)f(-x)x2
8、-2x-x2+2x,x2或x0,x2; 当xf(-x)-x2-2xx2+2x,-2f(-x)的解集为(-2,0)(2,+).,评析 本题考查分段函数、一元二次不等式的解法,要解不等式,必须对x进行分类讨论,是基 础题.,2.(2019苏州期中,8)已知二次函数f(x)=-x2+2x+3,不等式f(x)m的解集的区间长度为6(规定:闭 区间a,b的长度为b-a),则实数m的值是 .,答案 -5,解析 f(x)=-x2+2x+3m即x2-2x-3+m0, 对于方程x2-2x-3+m=0,设其根为x1,x2,则有x1+x2=2,x1x2=m-3,依题意,得|x1-x2|=6,即|x1-x2|= =
9、= =6,解得m=-5.,一题多解 f(x)=-x2+2x+3m即x2-2x+m-30, 令h(x)=x2-2x+m-3,易知其函数图象开口向上,设x2-2x+m-3=0的解为x1,x2,不妨令x1x2, 不等式的解集为x1,x2, 又x1= ,x2= , x2-x1= = =6, 即 =61,m=-5.,3.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,10)已知偶函数f(x)的定义域为R,且在0,+)上为增函 数,则不等式f(3x)f(x2+2)的解集为 .,答案 (-2,-1)(1,2),解析 f(x)为R上的偶函数,且在0,+)上为增函数, f(3x)f(x2+2)等价于f(|3x|)f(|x
10、2+2|), |3x|x2+2,x2-3|x|+20, (|x|-1)(|x|-2)0, 1|x|2,1x2或-2x-1. 所以所求解集为(-2,-1)(1,2).,4.(2019海安高级中学期中,9)关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为(-1,2),则关于x的不等式 +cbx的解集为 .,答案 (-,0),解析 关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为(-1,2), 不等式 +cbx可化为 -2a-ax, 又a0, -2-x, 0, 解得x0,故答案为(-,0).,一题多解 ax2+bx+c0的解集为(-1,2), ax2+bx+c=a(x+1)(x-2)=a(x2-x-2)=ax2-a
11、x-2a, +cbx可化为 0, x0.故答案为(-,0).,5.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,10)已知a0,b0,且a+3b= - ,则b的最大值为 .,答案,解析 由a+3b= - 可得 -3b=a+ 2(当且仅当a=1时取等号),即3b2+2b-10,解得-1b ,又b0,所以0b ,所以b的最大值为 .,方法总结 本题利用基本不等式得到关于b的不等式,求解b的范围,从而解出b的最大值.,6.(2018南京金陵中学月考,5)不等式 3的解集为 .,答案 (-,0),解析 0,解得x ,x(-,0) .,易错警示 解分式不等式要移项通分,等价变形,不能简单去分母,如果要去
12、分母,就必须讨论x 的范围.,7.(2018海安高三上学期第一次质量测试,9)关于x的不等式x+ +b0(a,bR)的解集为x|3x 4,则a+b的值为 .,答案 5,解析 关于x的不等式x+ +b0(a,bR)的解集为x|3x4,即 0(a,bR)的 解集为x|3x4,3和4是方程x2+bx+a=0的两个实数根,3+4=-b,34=a,a=12,b=-7,a+ b=5.,一、填空题(每小题5分,共30分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：30分钟 分值：45分),1.(2019徐州检测,12)已知正实数x,y满足 + =1,则x+y的最小值为 .,答案,解析 + =1可
13、化为 + =1, 令m=2(x+y),得 + =1, 去分母,得m+y+4(m-y)=m2-y2,即m2-5m=y2-3y, 所以m2-5m+ = 0, 由题意得m1,所以m , 即2(x+y) ,所以x+y , 即x+y的最小值为 .,一题多解 设m=2x+y,n=2x+3y,则m0,n0,x+y= , 原等式可化为 + =1, 则x+y= = = (5+4)= , 当且仅当 = ,即n=2m时,取“=”.,2.(2019七市第二次调研,12)已知关于x的不等式ax2+bx+c0(a,b,cR)的解集为x|3x4,则 的最小值为 .,答案 4,解析 依题意,得a0,且 即 = = =4 ,
14、当且仅当144a2=5,即a=- 时,取等号.,3.(2018苏北四市高三一模,13)已知函数f(x)= 函数g(x)=f(x)+f(-x),则不等式g(x) 2的解集为 .,答案 -2,2,解析 f(x)= 则f(-x)= 故g(x)= 当x1时,g(x)2x2-3x+421x2, 当-1x1时,g(x)=22恒成立, 当x-1时,g(x)2x2+3x+42-2x-1. 综上,x-2,2.,思路分析 本题是一道分段函数的问题,写出f(x)和f(-x)的解析式,相加得到g(x)的解析式,然后 分段解不等式即可.,4.(2018盐城中学高三期末,13)已知函数f(x)=x2+(1-a)x-a,若
15、关于x的不等式f(f(x)0的解集为空 集,则实数a的取值范围是 .,答案 -3a2 -3,解析 f(x)=x2+(1-a)x-a=(x-a)(x+1)-1时, f(x)-1,所以-1a2 - 3; 当a-1时, f(x)0的解集为ax-1,此时要满足f(f(x)0的解集为空集,只需f(x)-1恒成立,即x2+ (1-a)x-a+10恒成立,所以只需=a2+2a-30,解得-3a1,又a-1,所以-3a-1. 综上,-3a2 -3.,5.(2017苏北三市三模)已知对于任意的x(-,1)(5,+),都有x2-2(a-2)x+a0,则实数a的取值 范围是 .,答案 (1,5,解析 令f(x)=x
16、2-2(a-2)x+a,则当=4(a-2)2-4a0在R上恒成立,符合题意;当 0,即a1或a4时,要满足题意,只需函数f(x)的两个零点都在1,5上,则 解得4a5. 故实数a的取值范围是(1,5.,6.(2017如皋联考,14)若实数x,y满足4x2-2 xy+4y2=13,则x2+4y2的取值范围是 .,答案 10-4 ,10+4 ,解析 由4x2-2 xy+4y2=13得 (4x2-2 xy+4y2)=1, 令s=x2+4y2,则s=x2+4y2= ,令 =k, 则s= ,可得(4s-52)k2-2 sk+4s-13=0, 由题意知上述关于k的方程有解, 所以(-2 s)2-4(4s-
17、52)(4s-13)0, 即s2-20s+520,故10-4 s10+4 .,一题多解 设s2=x2+4y2,x0, 则 代入4x2-2 xy+4y2=13得, 4s2cos2-2 scos sin +s2sin2=13, s2= = , 5+3cos 2- sin 25-2 ,5+2 , s2 , 即x2+4y2的取值范围是10-4 ,10+4 .,二、解答题(共15分) 7.(2019无锡期末,17)十九大提出对农村要坚持精准扶贫,至2020年年底全面脱贫.现有扶贫工 作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查,该村现有贫困农户100家,他们均从事水果种 植,2017年年底该村平均每户年纯
18、收入为1万元,扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品 种改良,提高产量;另一方面,抽出部分农户从事水果包装、销售工作,其人数必须小于种植的 人数.从2018年年初开始,若该村抽出5x户(xZ,1x9)从事水果包装、销售工作.经测算,剩 下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高 ,而从事包装、销售农户的年纯收 入每户平均为 万元.(参考数据:1.13=1.331,1.1531.521,1.23=1.728) (1)至2020年年底,为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元),至少 抽出多少户从事包装、销售工作? (2)至2018年年底,该村每户年均纯收入能否达到1.35万元?若能,请求出从事包装、销售的户 数;若不能,请说明理由.,解析 (1)由题意得1 1.6, 5x1.6, 0.2,解得x4. (5分) 又x10且xZ,故x=4,5,6,7,8,9. 答:至少抽出20户从事包装、销售工作. (7分) (2)假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元,由题意得, 1.35, (8分) 化简整理得,3x2-30x+700. (10分) - x-5 , (11分) 3 4,且xZ,-1x-51,即4x6. (13分),答:至2018年年底,该村每户年均纯收入能达到1.35万元,此时从事包装、销售的户数为20户,25 或30户. (15分),
