1、 1 第四节 实际问题与一元一次方程 一 . 教学内容： 实际问题与一元一次方程 1. 体会数学建模思想 . 2. 进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题 . 二 . 知识要点： 1. 数学建模 这里所讲的数学建模是利用数学方法（一元一次方程）解决实际问题的一种实践 . 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式（一元一次方程）表达，建立起数学模型，然后运用数学方法进行求解 . 建立数学模型的这个过程就称为数学建模 . 2. 用一元一次方程解决实际问题的几个注意事项 （ 1）先弄 清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知
2、数的代数式，再找相等关系更为合理 . （ 2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等 . （ 3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义 . （ 4）不要漏写“答”、“设”和“答”都不要丢掉单位名称 . （ 5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真 . 三 . 重点难点： 1. 重点：进一步体现一元一次方程与实际的密切联系，渗透数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能 力 . 2. 难点：本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地列方程是主要难点 . 突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关
3、数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系 . 【典型例题 】 2 例 1. 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示 . 小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示 . 小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？ 分析： 饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽 . 根据题意可设长方形的长为 x，则长方形的周长为 2x 2 10，梯形的周长为10 10 10 6 10 6 52. 则 2x 20 52，从而解得 x 16. 解： 设小明所钉长方形的长为 x，根据题意得： 2x 2 10 10 10 6 1
4、0 6 10 整理得， 2x 20 52 解得， x 16 由于饰物变化前后长度为 10 的边没有变化，所以长方形的一边长为 10 厘米 . 答：长方形的长为 16 厘米，宽为 10 厘米 . 评析： 图形变化问题的等量关系往往是变化前后的周长相等、面积相等、体积相等 . 例 2. 一批货物，甲把原价降低 10 元卖出，用售价的 10%做积累，乙把原价降低 20 元，用售价的20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？ 分析： 设这批货物的原售价为 x 元，则甲的积累是（ x 10） 10%元， 乙的积累是（ x 20） 20%， 相等关系是：甲的积累乙的积累 . 解： 设这批货
5、物的原售价为 x 元，根据题意得： （ x 10） 10%（ x 20） 20% 化简得： x 10 2（ x 20） 即 x 10 2x 40 解得 x 30 答：这批货物的原售价为 30 元 . 评析： 这个问题的相等关系比较简单，难点是对两个百分数的处理 . 3 例 3.某足球比赛的计分规则为胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分 . 一个队踢 14 场球负 5 场共得 19 分，问这个队胜了几场？ 分析： 根 据题意，所得的 19 分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分，而踢胜的场数和踢平的场数共 14 5 9 场，如果设胜了 x 场，那么踢平的场数就是 9 x 场 . 分
6、别乘它们的分值，和为 19. 解： 设胜了 x 场，根据题意得： 3x 1（ 14 x 5） 19 即 3x 9 x 19 解得 x 5 答：这个队胜了 5 场 . 评析： 积分多少与胜、平、负的场数相关，同时也与比赛积分规定有关，如果对体育比赛有一定了解，会有助于理解题意 . 例 4.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了 5%，由于国际油价上 涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了 14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率 . 分析： 数量关系如下表： 上个月 这个月 石油进口量 1 1 5% 进口石油费用 1 1 14% 石油价格 1 1 x 解： 设这个月的石油价格相对
7、上个月的增长率为 x. 根据题意得： （ 1 x）（ 1 5%） 1 14% 解得 x 1/2 20% 答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为 20%. 评析： 借助表格来分析较复杂的数量关系 . 这道题所用的相等关系是：数量 价格费用 . 4 例 5.2001 年以来，我市药店积极实施药品降价，累计降价的总金额为 269 亿元 . 五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了 2003 年， 2007 年的相关数据 . 已知 2007 年药品降价金额是 2003 年药品降价金额的 6 倍，结合表中信息，求 2003 年和 2007 年的药品降价金额 . 年份 2001 2003
8、2004 2005 2007 降价金额（亿元） 54 35 40 分析： 相等关系较为明显，可以根据累计降价的总金额为 269 亿元列方程，结合表格如果设 2003 年降价金额为 x 亿元，则 2007 年降价金额为 6x 亿元，有 54 x 35 40 6x 269. 解： 设 2003 年降价金额为 x 亿元，根据题意得： 54 x 35 40 6x 269 整理得， 7x 140 解得， x 20 6x 6 20 120 答： 2003 年和 2007 年药品降价金额分别是 20 亿元和 120 亿元 评析： 这个问题是以表格形式传递信息的，这种形式在现实中很普遍，重点培养从不同形式获取
9、有关数据信息，是值得注意的问题 . 例 6.初一（ 1）班有学生 60 人，其中参加数学小组 的有 36 人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少 5 人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的 1/4 多 2 人，则同时参加这两个小组的人数是 （ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 5 解： B 评析： 这道题的数量关系非常复杂，但是结合图形可以使其变得很明朗 . 【方法总结】 应用数学知识去研究 和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型 . 从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础 . 没有一个较好的数学模型就不可 能得到较好的研究
10、结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一 . 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一 . 【模拟试题】 （答题时间： 60 分钟） 一 . 选择题 1. 实验中学七年级（ 2）班有学生 56 人，已知男生人数比女生人数的 2 倍少 11 人，求男生和女生各多少人？下面设未知数的 方法，合适的是 （ ） A. 设总人数为 x 人 B. 设男生比女生多 x 人 C. 设男生人数是女生人数的 x 倍 D. 设女生人数为 x 人 2. 甲厂的年产值为 7450 万元，比乙厂的年产值的 5 倍还多 420 万元
11、，若设乙厂的年产值为 x 万元，下列所列方程中错误的是 （ ） A. 5x 420 7450 B. 7450 5x 420 C. 7450（ 5x 420） 0 D. 5x 420 7450 3. 某种品牌的彩电降价 30%后，每台售价为 a 元，则该品牌彩电每台原价应为 （ ） A. 0.7a 元 B. 0.3a 元 C. 元 D. 元 6 4. A、 B 两城相距 720km，普快列车从 A 城出发 120km 后，特快列车从 B 城开往 A 城， 6h 后两车相遇 . 若普快列车是特快列车速度的，且设普快列车速度为 xkm/h，则下列所列方程错误的是 （ ） 5. 用两根长 12cm 的
12、铁丝分别围成正方形和长与宽之比为 2 1 的长方形，则长方形和正方形的面积依次为 （ ） A. 9cm2和 8cm2 B. 8cm2和 9cm2 C. 32cm2和 36cm2 D. 36cm2和 32cm2 *6. 有一位旅客携带了 30kg 重的行李从上海乘飞机去北 京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带 20kg 重的行李，超重部分每千克按飞机票价格 1.5%购买行李票，现该旅客购买了 180 元的行李票，则他的飞机票价格应是 （ ） A. 800 元 B. 1000 元 C. 1200 元 D. 1500 元 二 . 填空题 1.一件运动衣按原价的八折出售时，售价是 40 元，则原价为
13、 _元 . 2. 买 4 本练习本与 3 枝铅笔一共用了 4.7 元 . 已知铅笔每枝 0.5 元，则练 习本每本 _元 . *3. 一个长方形鸡场的一边靠墙， 墙的对面有一个 2m 宽的门，另三边（门除外）用篱笆围成，篱笆总长 33m，若鸡场的长宽 3 2（尽量用墙），则鸡场的长为 _m，宽为 _m. 4. 某市居民 2007 年末的储蓄存款达到 9079 万元，比 2006 年末的储蓄存款的 15 倍还多 4 万元，则 2006 年末的存款为 _. 5.某商店销售一批服装，每件售价 150 元，打 8 折出售后，仍可获利 20 元，设这种服装的成本价为每件 x 元，则 x 满足的方程是 _
14、. *6.依法纳税是每个公民应尽的义务，新的中华 人民共和国个人所得税法规定，从 2008 年 3月 1 日起，公民全月工薪不超过 2000 元的部分不必纳税，超过 2000 元的部分应缴纳个人所得税，此项税款按下表分段累进计算 . 黄先生 4 月份缴纳个人所得税税金 55 元，那么黄先生该月的工薪是_元 . 全月应纳税所得税额 税率 7 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元至 2000 元的部分 10% ? ? 三 . 列方程解应用题 1.据某统计数据显示，在我国的 664 座城市中， 按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市 . 其中 ，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的 4 倍少 50 座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的 2 倍 . 求严重缺水城市有多少座？ *2. 甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务，规定两人各加工这批服装的一半，已知乙的工作效率相当于甲的，工作了 8 小时，甲完成了自己的任务， 这时乙还差 24 件服装没有完成 . 这批服装共有多少件？ 3. 如图所示，小红将一个正方形剪去一个宽为 4cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上沿平行短边的方向剪去一个宽为 5cm 的长条 .
