1、4.1 因式分解第四章第四章 因式分解因式分解一、学习目标1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法。经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法。2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观。经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观。3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。4.感受因式分解在解决相关问题中的作用。感受因式分解在解决相关问题中的作用。大家大家会会计算计算(a+b)(ab)吗吗？(a+b)(ab)=a2b2这这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的从是大家学
2、过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的从式式子子(a+b)(ab)=a2b2中看中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即号右边能否推出等号左边呢？即a2b2=(a+b)(ab)是否是否成立呢成立呢？二、问题导入能能从等号右边推出等号左边，因为多项式从等号右边推出等号左边，因为多项式a2b2与与(a+b)(ab)既既然然相等，那么两个式子交换一下位置还成立相等，那么两个式子交换一下位置还成立a2b2=(a+b)(ab)是是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题将
3、学习的内容：因式分解的问题二、问题导入1讨论讨论99399能被能被100整除吗？你是怎样想的整除吗？你是怎样想的？与与同伴交流同伴交流99399能被能被100整除整除因为因为99399=9999299=99(9921)=999800=9998100其中有一个因数为其中有一个因数为100，所以，所以99399能被能被100整除整除三、探究新知99399还能被哪些正整数整除？还能被哪些正整数整除？还还能被能被99，98，980，990，9702等整除等整除从从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式了几个数的积的形式
4、三、探究新知2议一议议一议你能尝试把你能尝试把a3a化成化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流个整式的乘积的形式吗？与同伴交流大家大家可以观察可以观察a3a与与99399这两个代数式这两个代数式a3a=a(a21)=a(a1)(a+1)三、探究新知 3做一做做一做（1）计算计算下列各式：下列各式：(m+4)(m4)=_；(y3)2=_；3x(x1)=_；m(a+b+c)=_；a(a+1)(a1)=_216m 269yy233xx mambmc3aa 三、探究新知（2）根据根据上面的算式填空：上面的算式填空：3x23x=()()；m216=()()；ma+mb+mc=()()；y26y+9=()
5、2 a3a=()()()3x1x 4m 4m mabca3y 1a 1a 三、探究新知在在（1）中，等号左边）中，等号左边都是都是整式整式乘积乘积的形式，等号右边都是多项的形式，等号右边都是多项式；在（式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式式乘积的形式三、探究新知想一想想一想由由a(a+1)(a1)得到得到a3a的变形是什么运算？由的变形是什么运算？由a3a得到得到a(a+1)(a1)的变形与这种运算有什么不同的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的？你还能举一些类似的例子加以说明吗？例子加以说明吗？由由
6、a(a+1)(a1)得到得到a3a的变形是整式乘法，由的变形是整式乘法，由a3a得到得到a(a+1)(a1)的变形是分解因式，这两种过程正好相反的变形是分解因式，这两种过程正好相反三、探究新知由由(a+b)(ab)=a2b2可知，左边是可知，左边是整式整式的乘积形式的乘积形式，右边右边是一个多项式；由是一个多项式；由a2b2=(a+b)(ab)来看，左边是一个多项式，来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反三、探究新知如如：m(a+b+c)=ma+mb+mc（1）ma+mb+mc=m(a+b+c)（2）联系联系：等式（等式
7、（1）和（）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形）是同一个多项式的两种不同表现形式式区别区别：等式（等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算是乘法运算等式（等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解即是因式分解即ma+mb+mc m(a+b+c)所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形三、探究新知例例1 下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式？下列由左边到右边的变形，哪些是分解因式？（1）4a(a2b)4a28ab；（2）6ax3ax23a
8、x(2x)；（3）a24(a2)(a2)；（4）x23x2x(x3)2四、典例精讲解解：（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；从左到右是整式乘法，而不是因式分解；（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；从左到右的变形是因式分解；（3）和（）和（2）相同，是因式分解；）相同，是因式分解；四、典例精讲（4）虽然）虽然x23xx(x3)，但是等号右边，但是等号右边x(x3)2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的
9、形式，所以整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解）的变形不是因式分解四、典例精讲 1连一连连一连解解：五、课堂练习2下列哪些变形是因式分解，为什么？下列哪些变形是因式分解，为什么？（1）(a+3)(a 3)=a 29（2）m24=(m+2)(m 2)（3）a 2b2+1=(a+b)(a b)+1（4）2mR+2mr=2m(R+r)解解：（2）（）（4）是因式分解，主要依据因式分解的定义，看右边）是因式分解，主要依据因式分解的定义，看右边的结果是否为几个整式乘积的形式的结果是否为几个整式乘积的形式五、课堂练习1归纳总结：归纳总结：（1）分解因式与整式乘法互为逆过程，二者有着密切的联系，）分解因式与整式乘法互为逆过程，二者有着密切的联系，同时又有根本性的区别同时又有根本性的区别：（2）类比思想的运用：由分解因数类比得出分解因式的概念）类比思想的运用：由分解因数类比得出分解因式的概念六、课堂小结2将一个多项式分解因式应注意什么问题？将一个多项式分解因式应注意什么问题？分解的结果要以积的形式表示分解的结果要以积的形式表示；每个因式必须是整式，且每个因式的次数每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须都必须不高于不高于原来原来多项式多项式的次数的次数；必须分解到每个多项式因式不能再分解为止必须分解到每个多项式因式不能再分解为止六、课堂小结再见
