1、1.2点、线、面之间的位置关点、线、面之间的位置关系系1.2.1平面的基本性质与推论1.掌握平面的三个基本性质与三个推论,并会用三种语言表示性质和推论.2.了解异面直线的概念,能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系.3.能进行文字语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化.123451.空间点和直线的基本性质(1)连接两点的线中,线段最短.(2)过两点有一条直线,并且只有一条直线.123452.平面的基本性质 1234512345【做一做1-1】若点B在直线b上,b在平面内,则B,b,之间的关系可以记作()A.Bb,b B.Bb,bC.Bb,bD.Bb,b解析：关键是弄清点与直线是元素
2、与集合之间的关系,直线与平面是集合与集合之间的关系.答案：B12345【做一做1-2】若两个不重合的平面有公共点,则公共点有()A.1个B.2个C.1个或无数个D.无数个且在同一条直线上解析：利用基本性质3可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.答案：D12345【做一做1-3】如果直线a平面,直线b平面,Ma,Nb,且Ml,Nl,那么()A.l B.lC.l=MD.l=N解析：因为Ma,Nb,a,b,所以M,N,根据基本性质1可知l.故选A.答案：A123453.平面基本性质的推论推论1:经过一条直线和直线外的一
3、点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.名师点拨 基本性质2及其推论中,“有且只有一个”的含义是:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.12345【做一做2-1】下列命题正确的是()一条直线和一个点确定一个平面;两条相交直线确定一个平面;两条平行直线确定一个平面;四个点确定一个平面.A.B.C.D.答案：B12345【做一做2-2】由4条平行直线最多可以确定()A.2个平面B.4个平面C.5个平
4、面D.6个平面解析：本题从确定平面的条件来考虑即可,要使四条平行直线确定的平面最多,只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多,从而得到结果.由确定平面的条件知,由4条平行直线最多可以确定6个平面,选D.答案：D123454.空间两条直线的位置关系 12345【做一做3】下列说法正确的是()A.不相交的直线是平行直线B.有三个公共点的两个平面必重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形是平面图形解析：空间中的异面直线不相交,但不是平行直线,故选项A说法不正确;若三个公共点在一条直线上,则两个平面不一定重合,故选项B说法不正确;两两相交的三条直线可能会经过同一点,此时三条直
5、线不一定在同一个平面内,故选项C说法不正确.故选D.答案：D123455.异面直线(1)画法:画两条异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点,即不共面的特点,通常采用平面衬托法,以加强直观性,常见的画法如下图.(2)判断方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.12345【做一做4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AA1成异面直线的棱有条.答案：41231.对异面直线的理解剖析：若直线a,b是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b两条直线.例如,在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB和B1C1所在的直线既不平行又
6、不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异面.1232.平面的基本性质的作用剖析：(1)基本性质1的作用.基本性质1给出了判断直线在平面内的方法,引出了直线在平面内的定义,从而说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形,在每个平面内都可以用初中所学的平面几何知识.另外,该基本性质也是判断点在平面内的方法,还可借此用直线来检验平面.(2)基本性质2的作用.作用之一是确定平面,作用之二是可用它来证明点、线共面问题.123(3)基本性质3的作用.平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征,对我们确定两个平面的交线
7、有着重要的作用.其一,它是判定两个平面是否相交的依据,也就是说,若两个平面有公共点,则这两个平面相交;其二,它可以证多点共线的问题.若点是某两个平面的公共点,则该点必定在这两个平面的交线上.1233.教材中的“思考与讨论”已知两条直线相交,过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线,这些平行线是否都共面?为什么?剖析：都共面,如图所示,ab=A,过b上任意一点B作ca,则a,c可确定一个平面.因为Aa,所以A.又因为Bc,所以B,所以AB,即b.所以a,b,c共面.同理,在a上任取一点作b的平行线,这些平行线都与a,b共面,所以这些平行线都共面.题型一题型二题型三题型四题型五文字语言、图形
8、语言和符号语言的转换【例1】将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述,并且用图形语言予以表示.=l,Al,AB,AC.分析：本题实质是数学的三种语言:符号语言、文字语言、图形语言之间的互译.解文字语言叙述为:点A在平面与平面的交线l上,AB,AC分别在,内.图形语言如图.题型一题型二题型三题型四题型五反思 1.点、线、面是组成空间图形的基本元素,点是空间图形中最基本的元素,线和面可以看作是点的集合,因此点与线、点与面的关系是元素与集合的关系需用,等表示;而线与线、线与面、面与面的关系则是集合与集合的关系,所以应该用相关集合的符号、等来表示空间图形的基本关系.2.立体几何中通常用大写的英文
9、字母表示点(元素),而用小写的英文字母表示集合,这一点与集合中的表示不同.3.平面在作图时常用平行四边形表示,当两个平面相交时,被遮住的部分应用虚线表示.当表示两条直线异面时,要借助平面进行适当衬托.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A,B;(2)l,m=A,Al.解(1)点A在平面内,点B不在平面内,如图.(2)直线l在平面内,直线m与平面相交于点A,且点A不在直线l上,如图.题型一题型二题型三题型四题型五共线问题【例2】如图,已知ABC的三边所在的直线分别与平面交于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点共
10、线.题型一题型二题型三题型四题型五分析：证明P,Q,R三点均在平面ABC与平面的交线上.证明因为A,B,C是不在同一直线上的三点,所以过A,B,C有一个平面.又因为AB=P,且AB,所以点P既在内又在内.设=l,则Pl.同理可证:Ql,Rl.所以P,Q,R三点共线.反思 证明点共线,可先由两点确定一条直线,再证其他的点也在这一条直线上,也可证明所有点都在一条特定直线(两平面的交线)上.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】如图,在四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,AD,BC,CD上的点,且EFGH=P,求证:B,D,P三点共线.证明因为EAB,FAD,所以EF平面ABD.同理,
11、GH平面BCD,又EFGH=P,所以P平面ABD,P平面BCD,而平面ABD平面BCD=BD,所以P直线BD,即B,D,P三点共线.题型一题型二题型三题型四题型五共面问题【例3】如图,已知直线a分别与两平行直线b,c相交.求证:a,b,c三线共面.分析：先用两平行直线b,c确定一个平面,再证明a也在这个平面内.证明因为bc,则b,c确定一个平面,设为,如图,令ab=A,ac=B,所以A,B,所以AB,即直线a.所以a,b,c三线共面.题型一题型二题型三题型四题型五反思 证明共面问题的整体思路是先用部分对象确定一个平面,再证明剩余对象亦在其中.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】(1)“
12、线段AB在平面内,直线AB不全在平面内”这一说法是否正确,为什么?(2)已知Al,Bl,Cl,Dl(如图),求证:直线AD,BD,CD共面.(1)解不正确.线段AB在平面内,线段AB上的所有点都在平面内.线段上的A,B两点一定在平面内.直线AB在平面内.题型一题型二题型三题型四题型五(2)证明因为直线l与点D可以确定平面,所以只需证明AD,BD,CD都在平面内即可.因为Al,所以A.又D,所以AD.同理,BD,CD.所以AD,BD,CD都在平面内,即它们共面.题型一题型二题型三题型四题型五共点问题【例4】三个平面,两两相交于三条直线,即=c,=a,=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条
13、直线必过同一点.分析：证明多条直线过同一点,我们可以这样来思考:首先证明其中的两条直线相交,得一个交点,然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点).题型一题型二题型三题型四题型五证明因为=b,=a,所以a,b.因为直线a和b不平行,所以a,b必相交,设ab=P,如图,则Pa,Pb.因为a,b,所以P,P.又因为=c,所以Pc,即交线c经过点P.所以a,b,c三条直线相交于同一点.反思 证明三线共点的思路是:先证明两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归为点在直线上的问题.题型一题型二题型三题型四题型五交线问题【例5】如图,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长
14、线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及AC;(2)过三点E,F,D1.分析：找两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.题型一题型二题型三题型四题型五解(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图甲.(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图乙.题型一题型二题型三
15、题型四题型五反思 画截面截得正方体的截面图形,关键是利用好公理,找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】如图,在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.(1)画出交线l;(2)设lA1B1=P,求PB1的长.题型一题型二题型三题型四题型五解(1)如图,延长DM,D1A1,交于点Q,则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.连接QN,则直线QN就是两平面的交线l.(2)M是AA1的中点,MA1DD1,A1是QD1的中点.123
16、451如图,该图形用符号语言可表示为()A.=m,n,mn=AB.=m,n,mn=AC.=m,n,Am,AnD.=m,n,Am,An答案：A123452平面=l,点A,点B,且Cl,但C,ABl=R,如图,过A,B,C三点的平面为,则是()A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.直线AR解析：由已知条件可知,C,A,B,所以AB.而 RAB,所以R.又因为C,R,所以CR=.答案：C123453在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如果P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么在正方体中过点P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析：如图,延长PQ分别交CB,
17、CD的延长线于点M,N,连接MR,交BB1于点E,交CC1的延长线于点H,连接NH,分别交D1D,D1C1于点F,G,则六边形QPERGF为截面图形.答案：D123454如图,请把下面的叙述用符号语言表示出来.(1)点A,B在直线a上:;(2)直线a在平面内:,点C在平面内:;(3)点D不在平面内:,直线b不在平面内:.答案：(1)Aa,Ba(2)aC(3)Db123455如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD的中点,对角线AC1与过A1,B,D的平面交于点P,求证:点A1,P,O在同一直线上.12345证明如图,连接AC,A1C1.O是BD的中点,O是AC的中点,即OAC.O平面ACC1A1.PAC1,AC1平面ACC1A1,P平面ACC1A1.A1,P,O都在平面ACC1A1内.又A1,P,O都在平面A1BD内,A1,P,O都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上,即A1,P,O三点共线.
