1、 渐开线与摆线渐开线与摆线人民教育出版社A版选修4-4第二讲第四节学习目标：学习目标：1、通过课堂活动、动手操作，感知圆的渐开线和平摆线的存在，能说出渐开线和摆线内的几何等量关系.2、通过活动问题的转化、利用数学向量和坐标的知识建立渐开线和摆线的参数方程，能说出其中参数的含义.3、通过实例介绍，感受数学语言的特点和数学在生活中的运用.把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎
2、样？能否求出它的轨迹方程？这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？做一做做一做：一、一、渐开线的定义渐开线的定义我们把笔尖画出的曲线叫做我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，圆的渐开线，相应的定圆叫做相应的定圆叫做渐开线的基圆渐开线的基圆.想一想：想一想：动点（笔尖）在运动的时候始终动点（笔尖）在运动的时候始终满足什么几何等量关系？满足什么几何等量关系？ABMO 设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角 的一段弧 ，展开后成为切线，所以切线BMBM的长就是弧 的长，这就是动点（笔尖）满足的几何等量关系。ABAB二、渐开线的参数方程二、渐开线的参数方程ABMOxy
3、以基圆圆心以基圆圆心O O为原点，直线为原点，直线OAOA为为x x轴，建立平轴，建立平面直角坐标系。面直角坐标系。设基圆的半径为设基圆的半径为r r，绳子外端，绳子外端M M的坐标为（的坐标为（x x，y y）.显然，点显然，点M M由角由角 唯一唯一确定确定.B取 为参数，则点 的坐标为（rcos,rsin）,从而(cos,sin),|.BMxryrBMr 1(cos,sin)eOB 由于向量是与同方向的单位向量，2(sin,cos)eBM 因而向量是与向量同方向的单位向量.2(),BMre 所以即(cos,sin)(sin,cos)BMxryrr(cossin)().(sincos)xr
4、yr解得 是参数这就是这就是圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程.ABMO渐开线的参数方程渐开线的参数方程ABMOxy(cossin)()(sincos)xryr是参数渐开线的应用：渐开线的应用：由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形.设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程.在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力.齿轮工作原理齿轮工作原理三、摆线的定义三、摆线的定义 如果在自行车的轮子上喷一
5、个彩色印记，那么如果在自行车的轮子上喷一个彩色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，彩色印记会画出什么自行车在笔直的道路上行使时，彩色印记会画出什么样的曲线？样的曲线？想一想想一想：OABM 上述问题抽象成数学问题就是：上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？同样地，我们先分析圆（半径为r）在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何等量关系.OAMAOAr线段的长等于 的长，即我们把点我们把点M M的轨迹叫做的轨迹叫做平摆线平摆线，简称，简称摆线摆线，又叫，又叫旋轮线旋轮线.O
6、M 摆线在它与定直线的摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。分叫做一个拱。xyO DAEBMC四、摆线的参数方程四、摆线的参数方程 根据点根据点M M满足的几何条件，我们取定直线为满足的几何条件，我们取定直线为X X轴，定点轴，定点M M滚动滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为设圆的半径为r.r.MxAB设开始时定点在原点，圆滚动了 角后与 轴相切于点，圆心在点.MABxCD从点分别做，轴的垂线，垂足分别是，(,),Mx yM设点的坐标为取 为参数，根据点满足的几何条件，有sin,xO
7、DOA DAOA MCrrcos.yDMACAB CBrr 所以，摆线的参数方程为：所以，摆线的参数方程为：(sin),()(1 cos).xryr为参数OABMxyO DAEBMC摆线的参数方程摆线的参数方程(sin),()(1cos).xryr为参数摆线的参数方程为：摆线的参数方程为：思考：思考：在摆线的参数方程中，参数在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是多少一个拱的宽度与高度各是多少？课堂小结课堂小结渐开线的参数方程渐开线的参数方程摆线的参数方程摆线的参数方程(cossin)()(sincos)xryr是参数(sin),()(1cos).xryr为参数作业：课本P42 1、2、3阅读：课本P43 摆线及其应用
