1、二、错项减：二、错项减：一、颠倒加：一、颠倒加：143 143 数列的求和数列的求和(二二)1.全全 称称：乘除公比错位减乘除公比错位减2.使用前提使用前提：等差等比积数列等差等比积数列整理剩余套公式整理剩余套公式3.步步 骤骤：一设二乘错位减一设二乘错位减4.书写格式书写格式：前三后二要简前三后二要简明明中心对称是关键中心对称是关键一设二倒三相加一设二倒三相加5.其他方法其他方法：公式求导裂项公式求导裂项消消数列概述数列概述非非等差等比数列等差等比数列等差等比数列等差等比数列数列问题多变幻等差等比是典范八通六和及性质三大公式能互换公式法公式法没公式没公式,有办法有办法中项法中项法定义法定义法
2、常数nn1n是等差数列nn1常数n是等比数列122nnnn是等差数列n是等比数列21n2nn等差等比数列的证明方法等差等比数列的证明方法(中项式中项式)(首尾式首尾式)(二次式二次式)等差数列的求和公式等差数列的求和公式2)(1naaSnn2)1(1dnnna中na等比数列的求和公式等比数列的求和公式nSqqan1)1(11naqqaan111q(常数列常数列)(指数式指数式)1q(首尾式首尾式)1q等差数列求和公式的推导等差数列求和公式的推导-颠倒加颠倒加中心对称是关键中心对称是关键一设二倒三相加一设二倒三相加等比数列求和公式的推导等比数列求和公式的推导-错项减错项减全称：全称：乘乘(除除)
3、公比错位相减法公比错位相减法使用前提使用前提：等差等比乘积数列：等差等比乘积数列步骤步骤：一设二乘错位减：一设二乘错位减 整理剩余套公式整理剩余套公式逐差法经典之作逐差法经典之作-通项公式与求和公式的关系通项公式与求和公式的关系)2()1(11nSSnSannn等差数列 中,na等差数列123等差等比数列常用的性质等差等比数列常用的性质na下标和等对应项和等2121mmnn2121mmnnaaaa(常数列除外)等比数列 中,na下标和等对应项积等(常数列除外)2121mmnn2121mmnnaaaana等比数列na等差数列na等比数列0adnannnqaa0bnndSn22AAqSnn若 等差
4、数列,若 等比数列,nnba,nnbannBbAa 则 是等比数列nnbannba若 等差数列,na若 等比数列,na则 an，anm，an2m，为等差数列等距抽成等差(下标成等差的子数列仍为等差数列)则 an，anm，an2m，为等比数列等距抽成等比(下标成等差的子数列仍为等比数列)则 是等差数列则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为等差数列若 等差数列,na等段积（和）成等比等段和成等差456不动点法求数列通项公式不动点法求数列通项公式1.1.递推式形如递推式形如 的数列：的数列：01CBaAann特别的有：na则 是等比数列，是其特征值若数列 递推递推公式为：na01CBaAanndqa
5、ann1)()(1nnaqa一定可写成na即 是等比数列，是其特征值2.递推式形如递推式形如 的数列的数列DCaBAaannn1当特征值 是实数且不等时,为等比数列,当特征值 是实数且相等时,为等差数列当特征值 是复数时,个别数列 具有周期性nnaana1 na若数列 递推递推公式为：na，则DCaBAaannn1当特征值 是实数且不等时,一定有,当特征值 是实数且相等时,当特征值 是复数时,个别数列 具有周期性 na3.3.递推式形如递推式形如 的数列的数列012nnnCaBaAannnannna)(一定有若数列 递推递推公式为：na，则012nnnCaBaAa二、错项减：二、错项减：一、颠
6、倒加：一、颠倒加：143 143 数列的求和数列的求和(二二)1.全全 称称：乘除公比错位减乘除公比错位减2.使用前提使用前提：等差等比积数列等差等比积数列整理剩余套公式整理剩余套公式3.步步 骤骤：一设二乘错位减一设二乘错位减4.书写格式书写格式：前三后二要简前三后二要简明明中心对称是关键中心对称是关键一设二倒三相加一设二倒三相加5.其他方法其他方法：公式求导裂项公式求导裂项消消一一、颠倒加：颠倒加：中心对称是关键中心对称是关键一设二倒三相加一设二倒三相加)(2)()(中尾首xfxfxf数列是特殊的函数，若函数具有对称中心，则有(1)(2003年上海春考)设221)(xxf.利用课本中的值为
7、_推导等差数列前n项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(fffff解：设)6()5()0()4()5(fffffS则?(6)(5)()(4)(5)Sfffff两式相加得122S)221211(1223S故)1()0(ff26(?)(?)ff练习练习1.1.颠倒加颠倒加_明考明考 xxxftansin)(0)(kaf项数为27的等差数列满足.若则当 k=_时，(2)(2009年上海)已知函数na22，na0d且公差0)()()(2721afafaf练习练习2.2.颠倒加颠倒加_暗考暗考 解：易得 为增函数，奇函数故 在 上有唯一零点 x=0所以0)(27)()()(142721af
8、afafaf14k故)(xf)(xf22，三、错项减：三、错项减：1.全全 称称：乘除公比错位减乘除公比错位减2.使用前提使用前提：等差等比积数列等差等比积数列na已知等差数列 则等差等比积积数列 的前n项和，可用错项减求之,等比数列 )1(qbnnnba即数列 的前n项和，可用错项减求之)(nqbdn整理剩余套公式整理剩余套公式3.步步 骤骤：一设二乘错位减一设二乘错位减 4.书写格式书写格式：前三后二要简明前三后二要简明 5.其他方法其他方法：公式求导公式求导裂项消裂项消 例1：求数列 的前n项和2nn解：设nnnnnS22)1(232221321则143222)1(222222nnnnn
9、S两式相减得nS21)21(221nnn22)1(1nn一设二乘错位减一设二乘错位减整理剩余套公式整理剩余套公式前三后二要简明前三后二要简明公式求导裂项消公式求导裂项消)22222(213211nnnn公式法：)(nqbdnBqBAnn)(数列 的前n项和一定为等差等比积数列等差等比积数列(3)求数列 的前n项和Sn练习练习3.3.错项减错项减 nn332nnnS3解：因nnnnnS332352333131132则-得nS2nnnn332)3131313131(211232nnn332311)31(131211nn32122332352333113nnnnnS即BqBAnn)(结果一定为：说明
10、：运用说明：运用错项减错项减求和的几个细节求和的几个细节1.试卷上切忌画“”一设二乘错位减一设二乘错位减 整理剩余套公式整理剩余套公式前三后二要简明前三后二要简明 公式求导裂项消公式求导裂项消求数列 的前n项和2nn解：设nnnnnS22)1(232221321则143222)1(222222nnnnnS两式相减得 说明：运用说明：运用错项减错项减求和的几个细节求和的几个细节1.试卷上切忌画“”2.建议：用等比数列的“首尾式”求和公式以避免应用“首尾式”求和公式时犯“增项或减项”的错误1(1)1nnaqSq11nnaa qSq(指数式指数式)(首尾式首尾式)(3)求数列 的前n项和Snnn33
11、2解：因nnnnnS332352333131132则-得nS2nnnn332)3131313131(211232122332352333113nnnnnSnnn332311)31(131211建议：建议：用用“首尾式首尾式”求和公式求和公式说明：运用说明：运用错项减错项减求和的几个细节求和的几个细节1.试卷上切忌画“”2.建议：用等比数列的“首尾式”求和公式以避免应用“首尾式”求和公式时犯“增项或减项”的错误3.数列 的前n项和一定为)(nqbdn其中BqBAnn)(1dqAq,B用特值法可求得即即公式法公式法求等差等比积数列的和求等差等比积数列的和(3)求数列 的前n项和Snnn332nnn
12、S3另法：因又因n=1时有即B=0数列 的前n项和一定为)(nqbdn其中BqBAnn)(1dqAq,B用特值法可求得123dq，故1231113A 11(1)33BB 故大题中，大题中，不不可用此公式法可用此公式法(4)求数列 的前n项和)2()23(1nn解：设前n项和为Tn，则122)2()23()2()53()2()7()2()4(1nnnnnT两式相减得nT3nnnnnT)2()23()2()53()2()7()2()4()2(12132nnn)2()23(21)2(1)2(311nnnn)2()23()2()2()2()2(311221)2()13(nn即31)2()31(nnnT
13、BqBAnn)(结果一定为：一设二乘错位减一设二乘错位减整理剩余套公式整理剩余套公式解：因1232532)13(2)23(2102724nnnnnS两式相减得nn 46 即(5)求数列 的前n项和Sn2)13(12 nn则nS212127532)13(2)23(2102724nnnnnS412127532)13()2222(324nnnnS31212)13(1414838nnn122nnnSBqBAnn)(结果一定为：一设二乘错位减一设二乘错位减 整理剩余套公式整理剩余套公式1dqAq,特值法求Bncnnbcd 已知等差数列 的公差为na ,等比数列 的nb 公比为)1(qq,则数列 nnba
14、是数列 的 一阶差分数列,其中数列 是等差数列,其等差是,首项是qd111nnnnnnbcbcba11122111(1)11aq daqxdqqqq简言之：即等差乘等比数列一定可以裂项等差乘等比数列一定是另一个等差乘等比数列的差分数列故等差乘等比数列求和也可用故等差乘等比数列求和也可用裂项消裂项消 5.其他方法其他方法：公式公式求导求导裂项消裂项消(6)求数列 的前n项和Snnn332练习练习4.4.裂项消裂项消nnna332 nnn3)33(nnnn3311)331()3132()3332()3231()310(112322nnnnnnnnnn3解：因nnnnnS332352333131132故作业:预习：2.求数列 的前n项和)3()21(nn1.设类比推导等差数列前n项和公式的方法)30sin(sin)(0 xxxf求)59()58()31()29()2()1(000000ffffff的值数列的实际应用数列的实际应用3.课本P：61 A组 Ex4(2)(3)
