1、第2节 等差数列及其前n项和,最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.,知 识 梳 理,1.等差数列的概念,(1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是_，那么这个数列就为等差数列. 数学语言表达式：an1and(nN+，d为常数).,同一个常数,等差数列,2.等差数列的通项公式与前n项和公式,(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_.,a1(n1)d,3.等差数列的性质,(1)通项公式的推广：anam_ (n，
2、mN +). (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN +)，则_. (3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN+)是公差为_的等差数列. (4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.,(nm)d,akalaman,md,微点提醒,1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值. 3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an
3、是常数列. 4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN+，都有2an1anan2.( ) (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d0，则前n项和不是二次函数. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修5P17练习1T3(2)改编)设数列an是等差数列，其前n项
4、和为Sn，若a62且S530，则S8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34,答案 B,3.(必修5P38A6(2)改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.,解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180. 答案 180,4.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3S2S4，a12，则a5( ) A.12 B.10 C.10 D.12,又a12，d3，a5a14d24(3)10. 答案 B,5.(2019皖南八校模拟)已知等差数列an中，a21，前5项和S515，则数列an的公差为( ),解析
5、设等差数列an的首项为a1，公差为d，,答案 D,6.(2019江西赣中南五校联考)在等差数列an中，已知a3a80，且S90，则S1，S2，S9中最小的是_.,解析 在等差数列an中， a3a80，S90，,a50， S1，S2，S9中最小的是S5. 答案 S5,考点一 等差数列基本量的运算,【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)(2019西安检测)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m( ) A.9 B.10 C.11 D.15,解析
6、 (1)法一 设等差数列an的公差为d，,(2)设等差数列an的公差为d，,ama1(m1)d7m4030，m10. 答案 (1)C (2)B,规律方法 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.,【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)，的第四项等于( ),A.3 B.4 C.log318 D.log324 (2)(一题多解)设等差数列an的
7、前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.,解析 (1)log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)成等差数列， log3(2x)log3(4x2)2log3(3x)， log32x(4x2)log3(3x)2，则2x(4x2)9x2， 解之得x4，x0(舍去). 等差数列的前三项为log38，log312，log318，,(2)法一 设数列an的首项为a1，公差为d，,所以S66a115d30. 法二 由an为等差数列，故可设前n项和SnAn2Bn，,答案 (1)A (2)30,考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移,(1)证明 当n2时，由an2SnSn10，,【迁移探究1】
8、本例条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由.,解 因为anSnSn1(n2)，an2SnSn10， 所以SnSn12SnSn10(n2).,所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数， 故数列an不是一个等差数列.,规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数. (2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN+)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论： (1)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列. (2)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.问题的最终判定还是利用
9、定义.,【训练2】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.,(1)求an的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.,解 (1)设an的公比为q，由题设可得,故an的通项公式为an(2)n.,故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.,考点三 等差数列的性质及应用 多维探究 角度1 等差数列项的性质,【例31】 (2019九江一模)在等差数列an中，a13a8a15120，则a2a14的值为( ) A.6 B.12 C.24 D.48,解析 在等差数列an中，a13a8a15120， 由等差数列的性质，a13a8a155a8120， a824，
10、a2a142a848. 答案 D,角度2 等差数列和的性质 【例32】 设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于( ),A.63 B.45 C.36 D.27,解析 由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列， 即2(S6S3)S3(S9S6)， 得到S9S62S63S345， 所以a7a8a945. 答案 B,规律方法 1.项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN+)，则amanapaq. 2.和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 (1)S2nn(a1a2n)n(anan1)； (2)S2n1(2n1)an.,S2 019
11、32 0196 057. (2)由a3a4a53及等差数列的性质，3a43，则a41. 又a4a122a8，得1a1228.a1216115.,答案 (1)6 057 (2)A (3)A,考点四 等差数列的前n项和及其最值 【例4】 (2019衡水中学质检)已知数列an的前n项和为Sn，a10，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立.,(1)求数列an的通项公式；,两式相减得2an2an1an(n2).,所以an2an1(n2)，,所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2，,规律方法 求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法： (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sna
12、n2bn(a0)，通过配方或借助图像求二次函数的最值. (2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.,A.3 B.3或4 C.4或5 D.5 (2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_.,由d0，解得a13，d2，,则n40，得n4，,(2)因为等差数列an的首项a120，公差d2，,又因为nN+，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110,思维升华 1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和SnAn2Bn及通项anpnq来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想 (1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad. 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. (3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.,易错防范 1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列. 2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.,
