1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题).第卷1至2页,第卷3至4页,共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第卷(选择题共50分)注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2013四川,理1)设集合A=x|x+2=0,集合B=x|x2-4=0,则AB=(). A.-2B.2C.-2,2D.答案:A
2、解析:由题意可得,A=-2,B=-2,2,AB=-2.故选A.2.(2013四川,理2)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是().A.AB.BC.CD.D答案:B解析:复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称.3.(2013四川,理3)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是().答案:D解析:由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,故选D.4.(2013四川,理4)设xZ,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:xA,2xB,则().A.p:xA,2xBB.p:xA,2xBC.Л
3、729;p:xA,2xBD.p:xA,2xB答案:D5.(2013四川,理5)函数f(x)=2sin(x+)0,-20,故再排除B;当x+时,3x-1远远大于x3的值且都为正,故x33x-10且大于0,故排除D,选C.8.(2013四川,理8)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是().A.9B.10C.18D.20答案:C解析:记基本事件为(a,b),则基本事件空间=(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5
4、,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)共有20个基本事件,而lg a-lg b=lgab,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使lgab的值相等,则不同值的个数为20-2=18(个),故选C.9.(2013四川,理9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是().A.14B.12C.34D.78答案:C解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为
5、x,y,则由题意可得,0x4,0y4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”=(x,y)|x-y|2,由图示得,该事件概率P=S阴影S正方形=16-416=34.10.(2013四川,理10)设函数f(x)=ex+x-a(aR,e为自然对数的底数),若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0)=y0,则a的取值范围是().A.1,eB.e-1-1,1C.1,e+1D.e-1-1,e+1答案:A解析:由题意可得,y0=sin x0-1,1,而由f(x)=ex+x-a可知y00,1,当a=0时,f(x)=ex+x为增函数,y00,1时,f(y0)1,e+1.f(
6、f(y0)e+11.不存在y00,1使f(f(y0)=y0成立,故B,D错;当a=e+1时,f(x)=ex+x-e-1,当y00,1时,只有y0=1时f(x)才有意义,而f(1)=0,f(f(1)=f(0),显然无意义,故C错.故选A.第卷(非选择题共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2013四川,理11)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是.(用数字作答)答案:10解析:由二项式展开
7、系数可得,x2y3的系数为C53=C52=10.12.(2013四川,理12)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=AO,则=.答案:2解析:如图所示,在平行四边形ABCD中,AB+AD=AC=2AO,=2.13.(2013四川,理13)设sin 2=-sin ,2,则tan 2的值是.答案:3解析:sin 2=-sin ,2sin cos =-sin .又2,cos =-12.sin =1-cos2=32.sin 2=-32,cos 2=2cos2-1=-12.tan 2=sin2cos2=3.14.(2013四川,理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,
8、f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是.答案:(-7,3)解析:当x0时,令x2-4x5,解得,0x5.又因为f(x)为定义域为R的偶函数,则不等式f(x+2)5等价于-5x+25,即-7x3;故解集为(-7,3).15.(2013四川,理15)设P1,P2,Pn为平面内的n个点,在平面内的所有点中,若点P到点P1,P2,Pn的距离之和最小,则称点P为点P1,P2,Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:若三个点A,B,C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;若四个点A,
9、B,C,D共线,则它们的中位点存在且唯一;梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)答案:解析:由“中位点”可知,若C在线段AB上,则线段AB上任一点都为“中位点”,C也不例外,故正确;对于假设在等腰RtABC中,ACB=90,如图所示,点P为斜边AB中点,设腰长为2,则|PA|+|PB|+|PC|=32|AB|=32,而若C为“中位点”,则|CB|+|CA|=4|AC|=|OA|+|OC|,同理在MBD中,|MB|+|MD|BD|=|OB|+|OD|,则得,|MA|+|MB|+|MC|+|MD|OA|+|OB|+|OC|+|OD|,故O为梯形内唯一
10、中位点是正确的.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2013四川,理16)(本小题满分12分)在等差数列an中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列an的首项、公差及前n项和.解:设该数列公差为d,前n项和为Sn.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即数列an的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,数列的前n项和Sn=4n或Sn=3n2-n2.17.(2013四川,理17)(本小题满分12分)在A
11、BC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2A-B2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35,(1)求cos A的值;(2)若a=42,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.解:(1)由2cos2A-B2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35,得cos(A-B)+1cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-35,即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35.则cos(A-B+B)=-35,即cos A=-35.(2)由cos A=-35,0Ab,则AB,故B=4.根据余弦定理,有(42)2=52+c2
12、-25c-35,解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B=22.18.(2013四川,理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,24这24个整数中等可能随机产生.(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 100
13、1 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30121172 1001 051696353当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大;(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望.解:(1)变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1
14、,故P1=12;当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=13;当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=16.所以,输出y的值为1的概率为12,输出y的值为2的概率为13,输出y的值为3的概率为16.(2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲1 0272 1003762 1006972 100乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.(3)
15、随机变量可能的取值为0,1,2,3.P(=0)=C30130233=827,P(=1)=C31131232=49,P(=2)=C32132231=29,P(=3)=C33133230=127,故的分布列为0123P8274929127所以,E=0827+149+229+3127=1.即的数学期望为1.19.(2013四川,理19)(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,AB=AC=2AA1,BAC=120,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面A
16、DD1A1;(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值.解:(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线lBC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,所以,BCAD,则直线lAD.因为AA1平面ABC,所以AA1直线l.又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l平面ADD1A1.(2)解法一:连接A1P,过A作AEA1P于E,过E作EFA1M于F,连接AF.由(1)知,MN平面AEA1,所以平面AEA1平面A1MN.所以AE平面A1MN,则
17、A1MAE.所以A1M平面AEF,则A1MAF.故AFE为二面角A-A1M-N的平面角(设为).设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,BAC=120,有BAD=60,AB=2,AD=1.又P为AD的中点,所以M为AB中点,且AP=12,AM=1,所以,在RtAA1P中,A1P=52;在RtA1AM中,A1M=2.从而AE=AA1APA1P=15,AF=AA1AMA1M=12.所以sin =AEAF=25.所以cos =1-sin2=1-252=155.故二面角A-A1M-N的余弦值为155.解法二:设A1A=1.如图,过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以A1E,A1D1,A
18、1A的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合).则A1(0,0,0),A(0,0,1).因为P为AD的中点,所以M,N分别为AB,AC的中点.故M32,12,1,N-32,12,1.所以A1M=32,12,1,A1A=(0,0,1),NM=(3,0,0).设平面AA1M的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1A1M,n1A1A,即n1A1M=0,n1A1A=0,故有(x1,y1,z1)32,12,1=0,(x1,y1,z1)(0,0,1)=0,从而32x1+12y1+z1=0,z1=0.取x1=1,则y1=-3,所以n1=(1,-3,0).设平面A
19、1MN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2A1M,n2NM,即n2A1M=0,n2NM=0,故有(x2,y2,z2)32,12,1=0,(x2,y2,z2)(3,0,0)=0,从而32x2+12y2+z2=0,3x2=0.取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1).设二面角A-A1M-N的平面角为,又为锐角,则cos =n1n2|n1|n2|=(1,-3,0)(0,2,-1)25=155.故二面角A-A1M-N的余弦值为155.20.(2013四川,理20)(本小题满分13分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且
20、椭圆C经过点P43,13.(1)求椭圆C的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,求点Q的轨迹方程.解:(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=43+12+132+43-12+132=22,所以a=2.又由已知,c=1.所以椭圆C的离心率e=ca=12=22.(2)由(1)知,椭圆C的方程为x22+y2=1.设点Q的坐标为(x,y).(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为0,2-355.(2)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+
21、2.因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22.又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.由2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,得2(1+k2)x2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2x2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22.将y=kx+2代入x22+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.由=(8k)2-4(2k2+1)60,得k232.由可知,x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1,代入中并化简,得x
22、2=1810k2-3.因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=y-2x,代入中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.由及k232,可知0x232,即x-62,00,62.又0,2-355满足10(y-2)2-3x2=18,故x-62,62.由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以-1y1.又由10(y-2)2=18+3x2有(y-2)295,94且-1y1,则y12,2-355.所以,点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x-62,62,y12,2-355.21.(2013四川,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2+2x+a,x0,其中a是实数.设A(x1,f(x1)
23、,B(x2,f(x2)为该函数图象上的两点,且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x20,求x2-x1的最小值;(3)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),单调递增区间为-1,0),(0,+).(2)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f(x1),点B处的切线斜率为f(x2),故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f(x1)f(x2)=-1.当x0时,对函数f(x)求导,得f(x)=2x+2.因为x1x20,所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1.所
24、以2x1+20.因此x2-x1=12-(2x1+2)+2x2+2-(2x1+2)(2x2+2)=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-32且x2=-12时等号成立.所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,x2-x1的最小值为1.(3)当x1x2x10时,f(x1)f(x2),故x10x2.当x10时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2)处的切线方程为y-ln x2=1x2(x-x2),即y=1x2x+ln x2-1.两切线重合的充要条件是1x2=2x1+2,lnx2-1=-x12+a.由及x10x2知,-1x10.由得,a=x12+ln12x1+2-1=x12-ln(2x1+2)-1.设h(x1)=x12-ln(2x1+2)-1(-1x10),则h(x1)=2x1-1x1+10.所以,h(x1)(-1x1h(0)=-ln 2-1,所以a-ln 2-1.又当x1(-1,0)且趋近于-1时,h(x1)无限增大,所以a的取值范围是(-ln 2-1,+).故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln 2-1,+).
