1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)本试题卷共6页,22题.其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上
2、指定的位置用2B铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖北,理1)i为虚数单位,i607的共轭复数为() A.iB.-iC.1D.-1答案:A解析:i607=i1514+3=i3=-i,i607的共轭复数为i.2.(2015湖北,理2)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹
3、谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石答案:B解析:由条件知254粒内夹谷28粒,可估计米内夹谷的概率为28254=14127,所以1 534石米中夹谷约为141271 534169(石).3.(2015湖北,理3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29答案:D解析:由条件知Cn3=Cn7,n=10.(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.(2015湖北,理4)设XN(1,12),YN(2,22),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中
4、正确的是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)答案:C解析:由曲线X的对称轴为x=1,曲线Y的对称轴为x=2,可知21.P(Y2)P(Y1),故A错;由图象知1P(X1),故B错;对任意正数t,由题中图象知,P(Xt)P(Yt),故C正确,D错.5.(2015湖北,理5)设a1,a2,anR,n3,若p:a1,a2,an成等比数列:q:(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=(a1a2+a2a3+an-1an)2,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是
5、q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案:A解析:p:a1,a2,an成等比数列,设公比为t,(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=a12(1+t2+t4+t2n-4)a12t2(1+t2+t4+t2n-4)=a14t2(1+t2+t4+t2n-4)2,(a1a2+a2a3+an-1an)2=a12t(1+t2+t4+t2n-4)2=a14t2(1+t2+t4+t2n-4)2.q成立.故pq.当an=0时,q成立,而p不成立.qp.故p是q的充分不必要条件.6.(2015湖北,理6)已知符号函数sgn x=1,x0,0,x=0,-
6、1,x1),则()A.sgng(x)=sgn xB.sgng(x)=-sgn xC.sgng(x)=sgnf(x)D.sgng(x)=-sgnf(x)答案:B解析:f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a1),当x0时,xax,g(x)0.sgng(x)=-1;当x=0时,x=ax,g(x)=0.sgng(x)=0;当xax,g(x)0.sgng(x)=1.sgng(x)=-sgn x.故选B.7.(2015湖北,理7)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y12”的概率,p2为事件“|x-y|12”的概率,p3为事件“xy12”的概率,则()A.p1p2p3B
7、.p2p3p1C.p3p1p2D.p3p20,p3-p1=ln2-38=ln2-ln e38=ln816e30,p2p30)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1e2B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2C.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2答案:D解析:由条件知e12=c2a2=1+b2a2,e22=1+b+ma+m2,当ab时,b+ma+mba,e12e22.e1e2.当ab时,b+ma+me22.e1e2.所以,当ab时,e1e2;当ae2.9.(2015湖北,理9)已知集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|
8、y|2,x,yZ,定义集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30答案:C解析:A=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0).如图,B中元素共25个.(1)当x1=y1=0时,AB=B,共有25个元素.(2)当x1=0,y1=-1时,AB中的元素为(x2,y2-1),其中不在B中的元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共5个.(3)当x1=0,y1=1时,AЛ
9、719;B中的元素为(x2,y2+1),其中不在B中的元素有(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共5个.(4)当x1=-1,y1=0时,AB中的元素为(x2-1,y2),其中不在B中的元素有(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共5个.(5)当x1=1,y1=0时,AB中的元素为(x2+1,y2),其中不在B中的元素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共5个.综上,AB中的元素共有25+54=45(个).10.(2015湖北,理10)设xR,x表示
10、不超过x的最大整数,若存在实数t,使得t=1,t2=2,tn=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:tn=n,ntnn+1,即n1nt(n+1)1n,问题转化为求n的最大值,使k取1到n时,不等式k1kt(k+1)1k均成立,即lnkkln tln(k+1)k,构造函数f(x)=lnxx,则f(x)=1-lnxx2,当0x0,当xe时,f(x)0,且f(2)=ln22313成立;当n=4时,514=12511281112=313成立;当n=5时,615=(63)115=216115,而313=(35)115=243115,(n+1)1n313不成立.所以正整
11、数n的最大值为4.二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置.书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)11.(2015湖北,理11)已知向量OAAB,|OA|=3,则OAOB=.答案:9解析:OAOB=OA(OA+AB)=|OA|2+OAAB.又OAAB,|OA|=3.OAOB=9.12.(2015湖北,理12)函数f(x)=4cos2x2cos2-x-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.答案:2解析:令f(x)=41+cosx2sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x
12、+1)|=0,即sin 2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系作出y=sin 2x与y=|ln(x+1)|的图象.由图象知共2个交点,故f(x)的零点个数为2.13.(2015湖北,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD= m.答案:1006解析:在ABC中,BAC=30,ABC=180-75=105,BCA=45.AB=600,由正弦定理得ABsinBCA=BCsinBAC,解得BC=3002(m).在RtBCD中,CBD=30,DCB=90,
13、CD=BCtan 30=300233=1006(m).14.(2015湖北,理14)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:|NA|NB|=|MA|MB|;|NB|NA|-|MA|MB|=2;|NB|NA|+|MA|MB|=22.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)解析:(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),再取AB中点为P,连接CP,CB,则BPC为直角三角形,得|BC|=
14、r=2=b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)由(1)知圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=2,令x=0,得y1=2-1或y2=2+1,所以A(0,2-1),B(0,2+1).设M(cos ,sin ),则|MB|2=cos2+(sin -2-1)2=4+22-2(2+1)sin ,|MA|2=cos2+sin -(2-1)2=4-22-2(2-1)sin .|MB|2|MA|2=4+22-2(2+1)sin4-22-2(2-1)sin=2+2-(2+1)sin2-2-(2-1)sin=(2+1)(2-sin)(2-1)(2-sin)=2+12-1=3+22.|MB|
15、MA|=1+2.同理|NB|NA|=1+2.|NA|NB|=|MA|MB|,即成立.又|NB|NA|-|MA|MB|=1+2-11+2=1+2-(2-1)=2,也成立.又|NB|NA|+|MA|MB|=1+2+11+2=22,也成立.综上所述,都正确.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(2015湖北,理15)(选修41:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则ABAC=.答案:12解析:由题意易知PBAPAC,则得PBPA=PA
16、PC=ABAC.又PA2=PBPC,BC=3PB,所以PA2=4PB2,即PA=2PB,故ABAC=PBPA=12.16.(2015湖北,理16)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin -3cos )=0,曲线C的参数方程为x=t-1t,y=t+1t(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.答案:25解析:由题意知直线l的直角坐标方程为y=3x,曲线C的普通方程为y2-x2=4.由y=3x,y2-x2=4,得x=22,由弦长公式得|AB|=102=25.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答
17、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分11分)(2015湖北,理17)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)0,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为512,0,求的最小值.解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=-6.数据补全如下表:x+02322x123712561312Asin(x+)050-50且函数表达式为f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-6,得g(x)=5sin2x+2-6.因为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ.令2x+2-6=k,解得x=k2+12-,kZ.由于函
18、数y=g(x)的图象关于点512,0成中心对称,令k2+12-=512,解得=k2-3,kZ.由0可知,当k=1时,取得最小值6.18.(本小题满分12分)(2015湖北,理18)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)当d1时,记cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)由题意有,10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1,d=2,或a1=9,d=29.故an=2n-1,bn=2n-1,或an=19(2n+79),bn=929
19、n-1.(2)由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2n-12n-1,于是Tn=1+32+522+723+924+2n-12n-1,12Tn=12+322+523+724+925+2n-12n.-可得12Tn=2+12+122+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,故Tn=6-2n+32n-1.19.(本小题满分12分)(2015湖北,理19)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EFPB,交PB于点F,连接DE,DF,B
20、D,BE.(1)证明:PB平面DEF,试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3,求DCBC的值.解法1:(1)因为PD底面ABCD,所以PDBC.由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.而DE平面PCD,所以BCDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.而PB平面PBC,所以PBDE.又PBEF,DEEF=E,所以PB平面DEF.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体B
21、DEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB.图1(2)如图1,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由(1)知,PB平面DEF,所以PBDG.又因为PD底面ABCD,所以PDDG.而PDPB=P,所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=,有BD=1+2,在RtPDB中,由DFPB,得DPF=FDB=3,则tan3=tanDPF=BDPD=1+2=3,解得=2.所以DCBC=1=22.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时,DCBC=22.解法2:(1)如图2,以D为原
22、点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.图2设PD=DC=1,BC=,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(,1,0),C(0,1,0),PB=(,1,-1),点E是PC的中点,所以E0,12,12,DE=0,12,12,于是PBDE=0,即PBDE.又已知EFPB,而DEEF=E,所以PB平面DEF.因PC=(0,1,-1),DEPC=0,则DEPC.所以DE平面PBC.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB.(2)由PD平面ABCD,所以D
23、P=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量;由(1)知,PB平面DEF,所以BP=(-,-1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3,则cos3=BPDP|BP|DP|=12+2=12,解得=2,所以DCBC=1=22.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时,DCBC=22.20.(本小题满分12分)(2015湖北,理20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元,要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天
24、生产A,B两种产品时间之和不超过12小时,假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有2x+1.5yW,x+1.5y12,2x-y0,x0,y0.(1)目标函数为z=1 000x+1 200y.图1当W=12时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分
25、别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1 000x+1 200y变形为y=-56x+z1 200,当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=-56x+z1 200在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160.图2当W=15时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).将z=1 000x+1 200y变形为y=-56x+z1 200,当x=3,y=6时,直线l:y=-56x+z1 200在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=31 000+61 200=10 200.图3当W=18时,
26、(1)表示的平面区域如图3.四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1 000x+1 200y变形为y=-56x+z1 200,当x=6,y=4时,直线l:y=-56x+z1 200在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=61 000+41 200=10 800.故最大获利Z的分布列为Z8 16010 20010 800P0.30.50.2因此,E(Z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708.(2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率p1=P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天
27、最大获利超过10 000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.21.(本小题满分14分)(2015湖北,理21)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动.长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.图1图2(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点,若直线l总与曲线C有且只有一
28、个公共点,试探究:OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设点D(t,0)(|t|2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,MD=2DN,且|DN|=|ON|=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且(x0-t)2+y02=1,x02+y02=1.即t-x=2x0-2t,y=-2y0,且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=x4,y0=-y2,代入x02+y02=1,可得x216+y24=1,即所求的曲线C的方程为x216+y24=1.(2)()当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或
29、x=-4,都有SOPQ=1244=8.()当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+mk12,由y=kx+m,x2+4y2=16,消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.又由y=kx+m,x-2y=0,可得P2m1-2k,m1-2k;同理可得Q-2m1+2k,m1+2k.由原点O到直线PQ的距离为d=|m|1+k2和|PQ|=1+k2|xP-xQ|,可得SOPQ=12|PQ|d=12|m|xP-xQ|=12|m|2m1-2k+2m1+2k=2m21-4k2
30、.将代入得,SOPQ=2m21-4k2=8|4k2+1|4k2-1|.当k214时,SOPQ=84k2+14k2-1=81+24k2-18;当0k214时,SOPQ=84k2+11-4k2=8-1+21-4k2.因0k214,则01-4k21,21-4k22,所以SOPQ=8-1+21-4k28,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,SOPQ的最小值为8.综合()()可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,OPQ的面积取得最小值8.22.(本小题满分14分)(2015湖北,理22)已知数列an的各项均为正数,bn=n1+1nnan(nN+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x
31、-ex的单调区间,并比较1+1nn与e的大小;(2)计算b1a1,b1b2a1a2,b1b2b3a1a2a3,由此推测计算b1b2bna1a2an的公式,并给出证明;(3)令cn=(a1a2an)1n,数列an,cn的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn0,即x0时,f(x)单调递增;当f(x)0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+).当x0时,f(x)f(0)=0,即1+xex.令x=1n,得1+1ne1n,即1+1nne.(2)b1a1=11+111=1+1=2;b1b2a1a2=b1a1b2a2=221+122=(2+1)2=32;b1b2
32、b3a1a2a3=b1b2a1a2b3a3=3231+133=(3+1)3=43.由此推测:b1b2bna1a2an=(n+1)n.下面用数学归纳法证明.()当n=1时,左边=右边=2,成立.()假设当n=k时,成立,即b1b2bka1a2ak=(k+1)k.当n=k+1时,bk+1=(k+1)1+1k+1k+1ak+1,由归纳假设可得b1b2bkbk+1a1a2akak+1=b1b2bka1a2akbk+1ak+1=(k+1)k(k+1)1+1k+1k+1=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,也成立.根据()(),可知对一切正整数n都成立.(3)由cn的定义,算术-几何平均不等式,bn的定义及得Tn=c1+c2+c3+cn=(a1)11+(a1a2)12+(a1a2a3)13+(a1a2an)1n=(b1)112+(b1b2)123+(b1b2b3)134+(b1b2bn)1nn+1b112+b1+b223+b1+b2+b334+b1+b2+bnn(n+1)=b1112+123+1n(n+1)+b2123+134+1n(n+1)+bn1n(n+1)=b11-1n+1+b212-1n+1+bn1n-1n+1b11+b22+bnn=1+111a1+1+122a2+1+1nnanea1+ea2+ean=eSn.即TneSn.
