1、2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)1.(2016四川,文1)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i答案C由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.2.(2016四川,文2)设集合A=x|1x5,Z为整数集,则集合AZ中元素的个数是()A.6B.5C.4D.3答案B由题意,AZ=1,2,3,4,5,故其中的元素个数为5,选B.3.(2016四川,文3)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0),故选D.4.(2016四川,文4)为了得
2、到函数y=sinx+3的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点()A.向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C.向上平行移动3个单位长度D.向下平行移动3个单位长度答案A由题意,为得到函数y=sinx+3,只需把函数y=sin x的图象上所有点向左平行移动3个单位长度,故选A.5.(2016四川,文5)设p:实数x,y满足x1且y1,q:实数x,y满足x+y2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A由题意,x1且y1,则x+y2,而当x+y2时不能得出x1且y1.故p是q的充分不必要条件,选A.6.(2016四川,文6
3、)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2答案Df(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2,易得f(x)在(-2,2)上单调递减,在(-,-2),(2,+)上单调递增,故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.7.(2016四川,文7)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30
4、)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案B设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130(1+12%)n200,1.12n200130.两边取常用对数得nlg 1.12lg200130,nlg2-lg1.3lg1.120.30-0.110.05=3.8,n4,故选B.8.(2016四川,文8)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为()A.35B
5、.20C.18D.9答案C程序运行如下n=3,x=2v=1,i=20v=12+2=4,i=10v=42+1=9,i=00v=92+0=18,i=-10,结束循环,输出v=18,故选C.9.(2016四川,文9)已知正三角形ABC的边长为23,平面ABC内的动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+634D.37+2334答案B设ABC的外心为D,则|DA|=|DB|=|DC|=2.以D为原点,直线DA为x轴,过D点的DA的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(-1,-3),C(-1,3).设P(x,y),由已知|AP|=1,得
6、(x-2)2+y2=1,PM=MC,Mx-12,y+32.BM=x+12,y+332.BM2=(x+1)2+(y+33)24,它表示圆(x-2)2+y2=1上点(x,y)与点(-1,-33)距离平方的14,(|BM|2)max=14(32+(0+33)2+1)2=494,故选B.10.(2016四川,文10)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)答案A由题意得P1,P2分别位于两段函数的图象上.设P1(x
7、1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x11,0x21,SPAB=12|yA-yB|xP|=2x11+x121+x121+x12=1.0SPAB1,故选A.11.(2016四川,文11)sin 750=.答案12解析由三角函数诱导公式sin 750=sin(720+30)=sin 30=12.12.(2016四川,文12)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案33解析由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=12231=3,高为1,所以该几何体的体积为V=13Sh=1331=33.13.(2016四川,文13)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a
8、,b,则logab为整数的概率是.答案16解析从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有34=12个不同的基本事件,其中为整数的只有log28,log39两个基本事件,所以其概率P=212=16.14.(2016四川,文14)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5,所以2x0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin A
9、cos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35.所以sin A=1-cos2A=45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.19.(2016四川,文19)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若a2
10、,a3,a2+a3成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+en2.解(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.所以a3=2a2,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=
11、1+q2(n-1).由e2=1+q2=2,解得q=3.所以e12+e22+en2=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1)=n+1+q2+q2(n-1)=n+q2n-1q2-1=n+12(3n-1).20.(2016四川,文20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P3,12在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.解(1)由已知,a=2b.又椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)过点P3,
12、12,故34b2+14b2=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是x24+y2=1.(2)设直线l的方程为y=12x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,方程的判别式为=4(2-m2).由0,即2-m20,解得-2m1时,g(x)0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立.解(1)f(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)=0有x=12a.当x0,12a时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)令s(x)=ex-1-x,则s(x)=ex-1
13、-1.当x1时,s(x)0,所以ex-1x,从而g(x)=1x-1ex-10.(3)由(2),当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-ln xg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f12a0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当a12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x1时,h(x)=2ax-1x+1x2-e1-xx-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2x2-2x+1x20.因此,h(x)在区间(1,+)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a12,+.
