1、17.2 勾股定理的逆定理,第十七章 勾股定理,第2课时 勾股定理的逆定理的应用,导入新课,问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理 的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?,回顾与思考,a2+b2=c2 (a,b为直角边，c斜边）,RtABC,C是直角,勾股定理,勾股定理的逆定理,a2+b2=c2 (a,b为较短边，c为最长边）,RtABC，且C是直角.,(2)等腰 ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC 边上的高是 cm.,8,(1)已知 ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形 为 三角形， 是最大角.,直角,A,快速填一填：,思考 前面我们已经学会了
2、用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？,在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.,讲授新课,1,2,例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？,N,E,P,Q,R,问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的
3、问题是什么？,1,2,N,E,P,Q,R,161.5=24,121.5=18,30,“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.,问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？,实质是要求出两艘船航 向所成角.,勾股定理逆定理,解：根据题意得,PQ=161.5=24(海里),PR=121.5=18(海里),QR=30海里.,242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,QPR=90.,由“远航”号沿东北方向航行可知1=45. 2=45，即“海天”号沿西北方向航行.,解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用
4、数学知识求解.,【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？,分析：根据勾股定理的逆定可得ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.,解：AC=10，AB=6，BC=8， AC2=AB2+BC2， 即ABC是直角三角形. 设PQ与AC相交于点D，根据三 角
5、形面积公式有 BCAB= ACBD， 即68=10BD，解得BD= 在RtBCD中，,又该船只的速度为12.8海里/时， 6.412.8=0.5（小时）=30（分钟）， 需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.,例2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中A和DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?,D,A,B,C,4,3,5,13,12,D,A,B,C,图,图,在BCD中， BCD 是直角三角形，DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.,解：在ABD中， ABD 是直角三角形，A是直角.,D,A,B,C,4,3,5,13,12,图,1
6、.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？,解： BC2+AB2=52+122=169， AC2 =132=169， BC2+AB2=AC2， 即ABC是直角三角形， B=90. 答：C在B地的正北方向,练一练,2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？,解：ABDC8m，ADBC6m， AB2BC282626436100. 又AC29281， AB2BC2AC2， ABC90， 该农民挖的不合格,例3 如图，四边形ABCD中，B90，A
7、B3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.,解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.,解：连接AC.,在RtABC中， 在ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ACD是直角三角形， 且ACD=90. S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.,四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.,【变式题1】 如图，四边形ABCD中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4c
8、m，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.,解：连接BD. 在RtABD中, 由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， BD=5m. 又 CD=12cm，BC=13cm, BC2=CD2+BD2，BDC是直角三角形. S四边形ABCD=SRtBCDSRtABD= BDCD ABAD = (51234)=24 (cm2),C,B,A,D,【变式题2】 如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30 cm2，DC12 cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面积.,解: SACD=30 cm2，DC12 cm. AC=5 cm. 又 ABC是直角三角形, B是直角. ,例
9、4 如图，ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC 5 ，BD=2 （1）求证：BCD是直角三角形； （2）求ABC的面积,（1）证明：CD=1，BC 5 ，BD=2， CD2+BD2=BC2， BDC是直角三角形； （2）解：设腰长AB=AC=x， 在RtADB中，AB2=AD2+BD2， x2=(x-1)2+22， 解得,用到了方程的思想,1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.,65,当堂练习,2.五根小木棒，其长度分别为7，
10、15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ ）,A. B. C. D.,D,3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.,解：出发2小时，A组行了122=24(km)，B组行了92=18(km)， 又A，B两组相距30km， 且有242+182=302， A，B两组行进的方向成直角,4.如图，在ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.,解：BC=1
11、6，AD是BC边上的中线， BD=CD= BC=8. 在ABD中， AD2+BD2=152+82=172=AB2， ABD是直角三角形，即ADB=90 ADC是直角三角形. 在RtADC中， AB=AC.,5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？,解：根据题意得OA=161.5=24(海里), O
12、B=121.5=18(海里)， OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900， OB2+OA2=AB2， AOB=90. 第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40的方向向目标A的前进， BOD=50， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度,解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， 周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， 3x+4x+5x=36，解得x=3. AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. AB2+BC2=AC2， ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)， 在RtPBQ中，由勾股定理得,6.如图，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长,课堂小结,勾股定理的逆定理的应用,应用,航海问题,方法,认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题,与勾股定理结合解决不规则图形等问题,
